數(shù)字信號處理(第三版)高西全丁玉美課后答案

西安電子(高西全丁美玉第三版 )數(shù)字信號處理課后答案1.2 教材第一章習(xí)題解答用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。解：x(n)(n4)2(n2)(n1)2(n)(n1)2(n2)4(n3)0.5(n4)2(n6)2n5,4n12.給定信號：x(n)6,0n40,其它（1）畫出x(n)序列的波形，標(biāo)上各序列的值；（2）試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；（3）令x1(n)2x(n2)，試畫出x1(n)波形；（4）令x2(n)2x(n2)，試畫出x2(n)波形；（5）令x3(n)2x(2n)，試畫出x3(n)波形。解：1）x(n)的波形如題2解圖（一）所示。2）x(n)

3(n

4)

(n

3)

(n

2)

3(n

1)

6(n)6(n

1)

6(n

2)

6(n

3)

6(n

4)（3）

x1(n)的波形是

x(n)的波形右移

2位，在乘以

2，畫出圖形如 題2解圖（二）所示。（4）

x2(n)的波形是

x(n)的波形左移

2位，在乘以

2，畫出圖形如題

2解圖（三）所示。（5）畫

x3(n)時(shí)，先畫

x(-n)的波形，然后再右移

2位，

x3(n)

波形如題

2解圖（四）所示。判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1）x(n)Acos(3n)，A是常數(shù)；78（2）x(n)j(1n)e8。解：（1）w3,214，這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是T=14；7w3（2）w1,216，這是無理數(shù)，因此是非周期序列。8w5.設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。（1）y(n) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2)；（3）y(n)x(nn0)，n0為整常數(shù)；（5）y(n)x2(n)；n（7）y(n)x(m)。m0解：（1）令：輸入為 x(n n0)，輸出為y'(n)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y(nn0)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y'(n)故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。y(n)T[ax1(n)bx2(n)]ax1(n)bx2(n)2(ax1(n1)bx2(n1))3(ax1(n2)bx2(n2))T[ax1(n)]ax1(n)2ax1(n1)3ax1(n2)T[bx2(n)]

bx2(n)

2bx2(n 1)

3bx2(n

2)T[ax1(n)

bx2(n)]

aT[x1(n)]

bT[x2

(n)]故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。3）這是一個(gè)延時(shí)器，延時(shí)器是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，下面予以證明。令輸入為x(nn1)，輸出為y'(n)x(nn1n0)，因?yàn)閥(nn1)x(nn1n0)y'(n)故延時(shí)器是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)門[ax1(n)bx2(n)]ax1(nn0)bx2(nn0)aT[x1(n)]bT[x2(n)]故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。（5）y(n)2x(n)令：輸入為x(nn0)，輸出為y'(n)x2(nn0)，因?yàn)閥(nn0)x2(nn0)y'(n)故系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)門[ax1(n)bx2(n)](ax1(n)bx2(n))2aT[x1(n)]bT[x2(n)]ax12(n)bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。n（7）y(n)x(m)m0n令：輸入為x(nn0)，輸出為y'(n)x(mn0)，因?yàn)閙0nn0y'y(nn)x(m)(n)0m0故該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。又因?yàn)閚T[ax1(n)bx2(n)](ax1(m)bx2(m))aT[x1(n)]bT[x2(n)]m0故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由。1N1（1）y(n)x(nk)；Nk0nn0（3）y(n) x(k)；k nn05）y(n)ex(n)。解：（1）只要N1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果x(n)M，則y(n)M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。nn0（3）如果x(n)M，y(n)x(k)2n01M，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因knn0果的，因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來值有關(guān).（5）系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果x(n)M，則y(n)ex(n)ex(n)eM，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示，要求畫出輸出輸出y(n)的波形。解：解法（1）:采用圖解法y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)m0圖解法的過程如題7解圖所示。解法（2）:采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式:x(n)(n2)(n1)2(n3)h(n)2(n)(n1)1(n2)2x(n)*(n)x(n)因?yàn)锳(nk)Ax(nk)x(n)*y(n)x(n)*[2(n)(n1)1(n2)]所以122x(n)x(n1)2)x(n2將x(n)的表達(dá)式代入上式，得到y(tǒng)(n)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2)4.5(n3)2(n4)(n5)設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。（1）h(n)R4(n),x(n)R5(n)；（2）h(n)2R4(n),x(n)(n)(n2)；（3）h(n)0.5nu(n),xnR5(n)。解：（1）y(n)x(n)*h(n)R4(m)R5(nm)m先確定求和域，由R4(m)和R5(nm)確定對于m的非零區(qū)間如下：0m3,n4mn根據(jù)非零區(qū)間，將n分成四種情況求解：①n0,y(n)0n②0n3,y(n)1n1m03③4n7,y(n)18nmn4④7n,y(n)0最后結(jié)果為0,n0,n7y(n)n1,0n38n,4n7y(n)的波形如題8解圖（一）所示。2）y(n)2R4(n)*[(n)(n2)]2R4(n)2R4(n2)2[(n)(n1)(n4)(n5)]y(n)的波形如題8解圖（二）所示.3）y(n)

x(n)*h(n)R5(m)0.5nmu(n

m)

0.5n

R5(m)0.5

mu(n

m)m

my(n)對于m的非零區(qū)間為0m4,mn。①n0,y(n)0n10.5n1②0n4,y(n)0.5n0.5m0.5n(10.5n1)0.5n20.5nm010.51410.55③5n,y(n)0.5n0.5m10.5n310.5nm010.5最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式：y(n)(20.5n)R5(n)310.5nu(n5)設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：y(n) 1y(n1)x(n)1x(n1)；2 2設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。解：令：x(n)(n)h(n)1h(n1)(n)1(n1)22n0,h(0)1h(1)(0)1(1)122n1,h(1)111h(0)(1)(0)22n2,h(2)11h(1)22n3,h(3)1h(2)(1)222歸納起來，結(jié)果為h(n)(1)n1u(n1)(n)212.有一連續(xù)信號xa(t)cos(2ft),式中，f20Hz,2（1）求出xa(t)的周期。（2）用采樣間隔T0.02s對xa(t)進(jìn)行采樣，試寫出采樣信號xa(t)的表達(dá)式。（3）畫出對應(yīng)xa(t)的時(shí)域離散信號(序列)x(n)的波形，并求出x(n)的周期?！诙隆滩牡诙铝?xí)題解答設(shè)X(ejw)和Y(ejw)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：1）x(nn0)；2）x(n)；3）x(n)y(n)；4）x(2n)。解：（1）FT[x(nn0)]x(nn0)ejwnn令n'nn0,nn'n0，則FT[x(nn0)]x(n')ejw(n'n0)ejwn0X(ejw)njwn（2）FT[x*(n)]x*(n)e[x(n)ejwn]*X*(ejw)nn（3）FT[x(n)]x(n)ejwnn令n' n，則4）證明：

jwn'FT[x(n)] x(n')e X(ejw)n'FT[(n)*()]X(ejw)(ejw)xynYx(n)*y(n)x(m)y(nm)mFT[x(n)*y(n)] [ x(m)y(n m)]ejwnn m令k=n-m，則FT[x(n)*y(n)][x(m)y(k)]ejwkejwnkmy(k)ejwkx(m)ejwnkmX(ejw)Y(ejw)2.已知X(ejw)1,ww00,w0w求X(ejw)的傅里葉反變換x(n)。解：x(n)1ejwndwsinw0nw02w0n3.線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(傳輸函數(shù))H(ejw)H(ejw)ej(w),如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實(shí)序列，試證明輸入x(n)Acos(w0n)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為y(n)AH(ejw)cos[w0n(w0)]。解：假設(shè)輸入信號x(n)ejw0n，系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為h(n)，系統(tǒng)輸出為jw0ny(n)h(n)*x(n)h(m)ejw0(nm)ejw0nh(m)ejw0mH(ejw0)emm上式說明，當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時(shí)，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。x(n)Acos(w0n)1A[ejw0nejejw0nej]2y(n)1A[ejejw0nH(ejw0)ejejw0nH(ejw0)]21A[ejejw0nH(ejw0)ej(w0)ejejw0nH(ejw0)ej(w0)]2上式中H(ejw)是w的偶函數(shù)，相位函數(shù)是w的奇函數(shù)，H(ejw)H(ejw),(w)(w)y(n)1AH(ejw0)[ejejw0nej(w0)ejejw0nej(w0)]2AH(ejw0)cos(w0n(w0))1,n0,1為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列x(n)，畫出x(n)和4.設(shè)x(n)將x(n)以40,其它x(n)的波形，求出x(n)的離散傅里葉級數(shù)X(k)和傅里葉變換。解：畫出x(n)和x(n)的波形如題4解圖所示。3j2kn1jknjkX(k)DFS[x(n)]x(n)e4e21e2n0n0,jkjkjk2cos(k)ejke4(e4e4)44X(k)以4為周期，或者1jkn1ejkeX(k)e2jkn01e2eX(k)以4為周期

j1 k(ej1 k(e

j1k2j1k4

ee

j1k2j1k4

)j1ksin1ke42,)sin1k4X(ejw)FT[x(n)]2X(k)(w2k)4k42kX(k)(wk)2cos(jkk)k)e4(wk42設(shè)如圖所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列運(yùn)算：（1）X(ej0)；（2） X(ejw)dw；X(ejw2dw（5）)解：（1）X(ej0)7x(n)6n3（2）X(ejw)dwx(0)24272（5）dw2X(ejw)x(n)28n3試求如下序列的傅里葉變換:（2）x2(n)1(n1)(n)1(n1)；22（3）x3(n)anu(n),0a1解：（2）X2(ejw)x2(n)ejwn1ejw11ejwn2211(ejwejw)1cosw2（3）X3(ejw)anu(n)ejwnanejwn11nn0aejw7.設(shè):（1）x(n)是實(shí)偶函數(shù)，（2）x(n)是實(shí)奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。解：令X(ejw)x(n)ejwnn（1）x(n)是實(shí)、偶函數(shù)，X(ejw)x(n)ejwnn兩邊取共軛，得到X*(ejw)x(n)ejwnx(n)ej(w)nX(ejw)nn因此X(ejw)X*(ejw)上式說明 x(n)是實(shí)序列， X(ejw)具有共軛對稱性質(zhì)。X(ejw)

x(n)e

jwn

x(n)[coswn

jsinwn]n

n由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sinwn是奇函數(shù)，那么x(n)sinwn 0n因此

X(ejw)

x(n)coswnn該式說明X(ejw)是實(shí)函數(shù)，且是 w的偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上 x(n)是實(shí)、偶函數(shù)時(shí)，對應(yīng)的傅里葉變換 X(ejw)是實(shí)、偶函數(shù)。（2）x(n)是實(shí)、奇函數(shù)。上面已推出，由于 x(n)是實(shí)序列， X(ejw)具有共軛對稱性質(zhì)，即X(ejw) X*(ejw)X(ejw)

x(n)e

jwn

x(n)[coswn

jsinwn]n

n由于x(n)是奇函數(shù)，上式中x(n)coswn是奇函數(shù)，那么x(n)coswn0n因此X(ejw)jx(n)sinwnn這說明X(ejw)是純虛數(shù)，且是w的奇函數(shù)。10.若序列h(n)是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式:HR(ejw)1cosw求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejw)。解：HR(ejw)1cosw11ejw1ejwFT[he(n)]he(n)ejwn22n1,n12he(n)1,n01,n120,n01,n0h(n)he(n),n01,n12he(n),n00,其它nH(ejw)h(n)ejwn1ejw2ejw/2coswn212.設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)anu(n),0a1，輸入序列為x(n)(n)2(n2)，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；（2）分別求出 x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解：1）ny(n) h(n)*x(n) au(n)*[ (n) 2(n 2)]n n2au(n) 2a u(n 2)2）X(ejw)[(n)2(n2)]ejwn12ej2wnH(ejw)anu(n)ejwnanejwn1nn01aejwY(ejw)jwjw)12ej2wH(e)X(e1aejw13.已知xa(t)2cos(2f0t)，式中f0100Hz，以采樣頻率fs400Hz對xa(t)進(jìn)行采樣，得到采樣信號 xa(t)和時(shí)域離散信號 x(n)，試完成下面各題：1）寫出xa(t)的傅里葉變換表示式Xa(j)；2）寫出xa(t)和x(n)的表達(dá)式；3）分別求出xa(t)的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。解：（1）Xa(j)xa(t)ejtdt2cos(0t)ejtdt(ej0tej0t)ejtdt上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：Xa(j)2[(0)(0)])（2）?(t)xa(t)(tnT)2cos(0nT)(tnT)xannx(n)2cos(0nT),n2f0200rad,T102.5msfs3）? 1Xa(j )T2T

Xa(j jk s)k[( 0 k s) ( 0 k s)]k式中s2fs800rad/sX(ejw)x(n)ejwn2cos(0nT)ejwn2cos(w0n)ejwnnnn[ejw0nejw0n]ejwn2[(ww02k)(ww02k)]nk式中w00T0.5rad上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)函數(shù)，才能寫出它的傅里葉變換表達(dá)式。求以下序列的Z變換及收斂域：（2）2nu(n1)；3）2nu(n)；6）2n[u(n)u(n10)]解：（2）nnnnn11ZT[2u(n)]2u(n)z2z121z1,z2nn0（3）ZT[2nu(n1)]2nu(n1)zn2nzn2nznnn1n12z1,z112z121z126）9ZT[2nu(n)u(n10)]2nznn01210z10121z1,0z已知:X(z)321112z1z12求出對應(yīng)X(z)的各種可能的序列的表達(dá)式。解：有兩個(gè)極點(diǎn)，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有以下三種情況：三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。（1）當(dāng)收斂域z0.5時(shí)，x(n)1X(Z)zn1dz2jc令F(z)X(z)zn157z1zn15z7zn(10.5z1)(12z1(z0.5)(z)2)0，因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn)，x(n)=0；1，C內(nèi)有極點(diǎn)0，但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有z1 0.5,z2 2，那么x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2](5z7)zn0.5)z0.5(5z7)zn(z0.5)(z(z(z0.5)(z2)[3(1)n22n]u(n1)2

2)

(z 2)z2（2）當(dāng)收斂域0.5z2時(shí)，F(xiàn)(z)(5z7)zn0.5)(z2)(zn0，C內(nèi)有極點(diǎn)0.5；x(n)Res[F(z),0.5]3(1)nn02，C內(nèi)有極點(diǎn)0.5，0，但0是一個(gè)n階極點(diǎn)，改成求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有一個(gè)，即2，x(n)Res[F(z),2]22nu(n1)最后得到x(n)3(1)nu(n)22nu(n1)2（3）當(dāng)收斂域2z時(shí)，F(xiàn)(z)(5z7)zn0.5)(z2)(zn0，C內(nèi)有極點(diǎn)0.5，2；x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]3(1)n22n2n<0，由收斂域判斷，這是一個(gè)因果序列，因此 x(n)=0。或者這樣分析，無極點(diǎn)，所以最后得到

C內(nèi)有極點(diǎn)x(n)=0。

0.5，2，0，但

0是一個(gè)

n階極點(diǎn)，改成求

c外極點(diǎn)留數(shù)，

c外x(n)

[3(1)n2

22n]u(n)17.已知

x(n)

anu(n),0

a 1，分別求：1）x(n)的Z變換；2）nx(n)的Z變換；3）anu(n)的z變換。解：（1）X(z)ZT[anu(n)]anu(n)zn1,zan1az1（2）ZT[nx(n)]zdX(z)(1az11)2,zadzaz（3）ZT[anu(n)]anznanzn11,za1n0n0az18.已知X(z)3z1，分別求：25z12z2（1）收斂域0.5z2對應(yīng)的原序列x(n)；2）收斂域z2對應(yīng)的原序列x(n)。解：x(n)1cX(z)zn1dz2jF(z)X(z)zn13z1zn12(z3zn25z12z20.5)(z2)（1）當(dāng)收斂域0.5z2時(shí)，n0，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，x(n)Res[F(z),0.5]0.5n2n,n0,c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,0,但0是一個(gè)n階極點(diǎn),改求c外極點(diǎn)留數(shù),c外極點(diǎn)只有 2,x(n) Res[F(z),2] 2n,最后得到x(n) 2nu(n) 2nu(n 1) 2n（2（當(dāng)收斂域 z 2時(shí)，0,c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]0.n3zn2)52(z0.z(5z)(2)z20.nn520,c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,0,但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn),改成求c外極點(diǎn)留數(shù),可是c外沒有極點(diǎn),因此x(n) 0,最后得到x(n) (0.5n 2n)u(n)已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)anu(n),h(n)bnu(n),0a1,0b1，試：（1）用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)；（2）用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。解：（1）用卷積法求y(n)y(n)h(n)x(n)bmu(m)anmu(nm)，n0,mnnambman1an1n1n1n1y(n)anmbmanbab，n0，y(n)0m0m01a1bab最后得到y(tǒng)(n)an1bn1u(n)ab（2）用ZT法求y(n)X(z)1,H(z)11az11bz1Y(z)X(z)H(z)11az11bz1y(n)1Y(z)zn1dz2jc令F(z)Y(z)zn1zn1(zzn1b)1az11bz1a)(zn 0,c內(nèi)有極點(diǎn)a,by(n)Res[F(z),a]an1bn1an1bn1Res[F(z),b]baabab因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng)，n0,y(n)0，最后得到an1bn1y(n)u(n)ab若序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：HR(ejw)11acosw,a1a22acosw求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejw)。解：HR(ejw)11acosw10.5a(ejwejw)a22acosw1a2a(ejwejw)HR(z)10.5a(zz1)10.5a(ejwejw)1a2a(zz1)(1az1)(1az)求上式IZT，得到序列h(n)的共軛對稱序列he(n)。h(n)1HR(z)zn1dze2jcF(z)HR(z)zn10.5az2z0.5azn1a(za)(za1)因?yàn)閔(n)是因果序列，he(n)必定是雙邊序列，收斂域取：aza1。n1時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)a,0.5az2z0.5azn1(za)1nhe(n)Res[F(z),a]a1)za2aa(za)(zn=0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)a,0，F(xiàn)(z)HR(z)zn10.5az2z0.5az1a(za)(za1)所以he(n) Res[F(z),a] Res[F(z),0] 1又因?yàn)閔e(n) he(n)所以1,n0he(n)0.5an,n00.5an,n0he(n),n01,n0h(n)2he(n),n0an,n0anu(n)0,n00,n0H(ejw)anejwn1n01aejw3.2 教材第三章習(xí)題解答1.計(jì)算以下諸序列的N點(diǎn)DFT,在變換區(qū)間0nN1內(nèi),序列定義為（2）x(n)(n)；（4）x(n)Rm(n),0mN；（6）x(n)cos(2nm),0mN；N（8）x(n)sin(w0n)RN(n)；（10）x(n)nRN(n)。解：N1N1（2）X(k)(n)WNkn(n)1,k0,1,,N1n0n0N1kmjk(m1)kn1WNe（4）X(k)WN1WNkNn0

sin(mk)N,k0,1,,N1sin(m)N1N1j2(mk)n1N1j2(mk)neNeN2n02n011j2(mk)NeeN12j2(mk)e1eN1

2j (m k)Nj2 (mk)N1,km且kNm0kN1N,0,km或kNmN1N1j22mn2cos2mnWNkn1mnjjkn（6）X(k)(eNeN)eNn0Nn02（8）解法1直接計(jì)算x8(n)sin(w0n)RN(n)1ejw0nejw0nRN(n)2jN1x(n)WNkn1X8(k)n02j

N1j2ejw0nejw0nkneNn01N1j（w2）nj（w2）n2jn0ee解法2由DFT的共軛對稱性求解因?yàn)?/p>

11ejw0N1ejw0N2jj(w2k)j(w2k)1e01e0x7(n)ejw0nRN(n)cos(w0n)jsin(w0n)RN(n)x8(n)sin(w0n)RN(n)Imx7(n)所以DFTjx8(n) DFTjImx7(n)即X8(k)jX70(k)j1X7(k)X7(Nk)211ejw0N(1ejw0N)2jj(w02k)j(w02(Nk)eN1eN1

X70(k)11ejw0N(1ejw0N)2jj(w02k)j(w02k)eN1eN1結(jié)果與解法 1所得結(jié)果相同。此題驗(yàn)證了共軛對稱性。10）解法1X(k)N1nWNknk0,1,,N1n0上式直接計(jì)算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。因?yàn)閤(n)nRN(n)所以x(n)x((n1))NRN(n)N(n)RN(n)等式兩邊進(jìn)行DFT得到X(k)X(k)WNkNN(k)故X(k)N[(k)1],k1,2,N11WNk當(dāng)k0時(shí)，可直接計(jì)算得出X（0）N1WN0N1N(N1)X(0)nnn0n02這樣，X（k）可寫成如下形式：N(N1),k0X(k)2N,k1,2,N1k1WN解法2k0時(shí)，N1N(N1)X(k)n2n0k0時(shí)，X(k)0WNk2WN2k3WN3k(N1)WN(N1)kWNknX(k)0WN2k2WN3k3WN4k(N2)WN(N1)k(N1)N1N1X(k)WNknX(k)WNkn(N1)WNkn1(N1)Nn1n0所以，X(k)Nk,k01WN即N(N1)02,kX(k)N,k1,2,N11WNk2.已知下列X(k)，求x(n)IDFT[X(k)];Nej,km2（1）X(k)Nej,kNm;20,其它kNjej,kmN2（2）X(k)jej,kNm20,其它k解：1）1N11Nej2Nej2x(n)IDFT[X(k)]WNknjmnj(Nm)neNeNNn0N22e

j(2mn)ej(2mn)2NNcos(mn),n0,1,N1N（2）x(n)1NjejWNmnNejWN(Nm)nN221j(2mn)ej(2mn)sin(2mn),n0,1,N1eNN2jN長度為N=10的兩個(gè)有限長序列1,0n41,0n4x1(n)nx2(n)n90,591,5作圖表示x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)。解：x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)分別如題3解圖（a）、（b）、（c）所示。14.兩個(gè)有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為:x(n)0,n0,8ny(n)0,n0,20n對每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT,即X(k)DFT[x(n)],k0,1,,19Y(k)DFT[y(n)],k0,1,,19如果F(k)X(k)Y(k),k0,1,,19f(n)IDFT[F(k)],k0,1,,19試問在哪些點(diǎn)上 f(n) x(n)*y(n)，為什么？解：如前所示，記 f(n) x(n)*y(n)，而f(n) IDFT[F(k)] x(n) y(n)。fl(n)長度為27，f(n)長度為20。已推出二者的關(guān)系為f(n)fl(n20m)R20(n)m只有在如上周期延拓序列中無混疊的點(diǎn)上，才滿足f(n)fl(n)所以f(n)fl(n)x(n)y(n),7n1915.用微處理機(jī)對實(shí)數(shù)序列作譜分析,要求譜分辨率F50Hz，信號最高頻率為1kHZ，試確定以下各參數(shù)：（1）最小記錄時(shí)間Tpmin；（2）最大取樣間隔T；max（3）最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin；（4）在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知F50HZTpmin11F0.02s501110.5ms（2）Tmax2fmax2103fminTp0.02s40（3）Nmin0.5103T（4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大一倍為0.04s實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高一倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）Nmin0.04s800.5ms18.我們希望利用h(n)長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波處理，要求采用重疊保留法通過 DFT來實(shí)現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進(jìn)行分段（本題設(shè)每段長度為 M=100個(gè)采樣點(diǎn)），但相鄰兩段必須重疊 V個(gè)點(diǎn)，然后計(jì)算各段與 h(n)的L點(diǎn)（本題取 L=128）循環(huán)卷積，得到輸出序列 ym(n)，m表示第m段計(jì)算輸出。最后，從ym(n)中取出Ｂ個(gè)，使每段取出的Ｂ個(gè)采樣點(diǎn)連接得到濾波輸出 y(n)。1）求V；2）求B；3）確定取出的B個(gè)采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些采樣點(diǎn)。解：為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標(biāo)號為0，1，2，,127。先以h(n)與各段輸入的線性卷積ylm(n)考慮，ylm(n)中，第0點(diǎn)到48點(diǎn)（共49個(gè)點(diǎn)）不正確，不能作為濾波輸出，第49點(diǎn)到第99點(diǎn)（共51個(gè)點(diǎn)）為正確的濾波輸出序列y(n)的一段，即B=51。所以，為了去除前面49個(gè)不正確點(diǎn)，取出51個(gè)正確的點(diǎn)連續(xù)得到不間斷又無多余點(diǎn)的y(n)，必須重疊100-51=49個(gè)點(diǎn)，即V=49。下面說明，對128點(diǎn)的循環(huán)卷積()，上述結(jié)果也是正確的。我們知道ymnym(n)ylm(n128r)R128(n)r因?yàn)閥lm(n)長度為N+M-1=50+100-1=149所以從n=20到127區(qū)域，ym(n)ylm(n)，當(dāng)然，第49點(diǎn)到第99點(diǎn)二者亦相等，所以，所取出的第51點(diǎn)為從第49到99點(diǎn)的ym(n)。綜上所述，總結(jié)所得結(jié)論V=49,B=51選取ym(n)中第49~99點(diǎn)作為濾波輸出。5.2 教材第五章習(xí)題解答設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述：y(n)3y(n1)1y(n2)x(n)1x(n1)，483試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：y(n)3y(n1)1y(n2)x(n)1x(n1)483將上式進(jìn)行Z變換Y(z)3Y(z)z11Y(z)z2X(z)1X(z)z148311z1H(z)313z11z248（1）按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)，根據(jù)Masson公式，畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖（一）所示。（2）將H(z)的分母進(jìn)行因式分解11z1H(z)313z11z2481 1z13(11z1)(11z1)24按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：11z11(a)H(z)31z1)(11z1)(124畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如 題1解圖（二）（a）所示111z13(b)H(z)1z1)(11z1)(124畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如 題1解圖（二）（b）所示（3）將H(z)進(jìn)行部分分式展開11z1H(z)3(11z1)(11z1)24H(z)z1AB3z(z1)(z1)z1z12424z1110A3(z111)z3)(z2(z)224z117B131(z)14z34(z)(z)24H(z)10733zz1z12410z7z107H(z)3333z1z111z111z12424根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為y(n) (a b)y(n 1) aby(n 2) x(n 2) (a b)x(n 1) abx(n)，試畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：將差分方程進(jìn)行 Z變換，得到Y(jié)(z) (a b)Y(z)z1 abY(z)z2 X(z)z2 (a b)X(z)z1 abX(z)Y(z)ab(ab)z1zH(z)1(ab)z1abzX(z)

22（1）按照Massion公式直接畫出直接型結(jié)構(gòu)如 題2解圖（一）所示。（2）將H(z)的分子和分母進(jìn)行因式分解：(az1)(bz1)(z)H2(z)H(z)az1)(1H1(1bz1)按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)：(a)z1aH1(z)az11H2z1b(z)bz11畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖（二）（a）所示。(b)z1aH1(z)bz11H2z1b(z)az11畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如 題2解圖（二）（b）所示●。設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為4(1z1)(11.414z1z2)，H(z)0.5z1)(10.9z10.18z2)(1試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解：由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個(gè)因式，可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。H(z)H1(z)H2(z)（1）H1(z)41z1，10.5z111.414z1z2H2(z)0.9z10.81z21畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（a）所示●。（2）11.414z1z2H1(z)10.5z1,H2(z)41z10.9z10.81z21畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖（b）所示。4.圖中畫出了四個(gè)系統(tǒng)，試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。圖d解：(d)

h(n)

h1(n)

[h2(n)

h3(n) h4(n)]

h5(n)h1(n)

h2(n)

h1(n) h3(n) h4(n)

h5(n)H(z)H1(z)H2(z)H1(z)H3(z)H4(z)H5(z)5.寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。圖d解：(d)H(z)rsinz1rcosz1rcosz1r2sin2z2r2cos2z21rsinz112rcosz1r2z2y(n)2rcosy(n1)r2y(n2)rsinx(n1)寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f解：21z1221z1(f)H(z)43z223z211z111z148488．已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h(n)(n)(n1)(n4)，試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器。設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)N=5，要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，寫出濾波器參數(shù)的計(jì)算公式。解：已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為H(z)(1zN)1N1H(k)Nk01WNkz1式中，N=5N14H(k)DFT[h(n)]h(n)WNkn[(n)(n1)(n4)]WNknn0n01j2kj8k0,1,2,3,4e5e5,k它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如題8解圖所示。6.2 教材第六章習(xí)題解答1.設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率fp6kHz，通帶最大衰減ap3dB，阻帶截止頻率fskHzas3dB。求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)以12，阻帶最小衰減及實(shí)際的Ha(s)。解：（1）求階數(shù) N。N

lgksplg sp0.1ap10.31ksp1010100.1as1102.50.05621sps212103226103p將ksp和sp值代入N的計(jì)算公式得Nlg0.05624.15lg2所以取N=5（實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)具體要求，也可能取N=4，指標(biāo)稍微差一點(diǎn)，但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)電路得到簡化。）（2）求歸一化系統(tǒng)函數(shù) Ha(p)，由階數(shù)N=5直接查表得到 5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)為Ha(p)13.2361p45.2361p35.2361p23.2361p1p5或Ha(p)1(p20.618p1)(p21.618p1)(p1)當(dāng)然，也可以按（ 6.12）式計(jì)算出極點(diǎn) :j (12k1)pk e 2 2N ,k 0,1,2,3,4按（6.11）式寫出Ha(p)表達(dá)式Ha(p)14(ppk)k0代入pk值并進(jìn)行分母展開得到與查表相同的結(jié)果。（3）去歸一化（即 LP-LP頻率變換），由歸一化系統(tǒng)函數(shù) Ha(p)得到實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。由于本題中ap3dB，即cp26103rad/s，因此Ha(s)Ha(p)spc5cs53.2361cs45.23612cs35.23613cs23.23614cs5c對分母因式形式，則有Ha(s)Ha(p)spc5c(s20.6180s222s)()cs)(1.61s80cccc如上結(jié)果中，c的值未代入相乘，這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后，3dB截止頻率對歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。2.設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率fpkHz，通帶最在衰減速3ap0.2dB，阻帶截止頻率fs12kHz，阻帶最小衰減as50dB。求出歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)和實(shí)際的Ha(s)。解：（1）確定濾波器技術(shù)指標(biāo)：ap0.2dB，p2fp6103rad/sas50dB,s2fs24103rad/sp1,ss4p（2）求階數(shù)N和：Arch(k1)NArch(s)k1100.1as11456.650.1ap110Arch(1456.65)N 3.8659Arch(4)為了滿足指標(biāo)要求，取 N=4。100.1ap 1 0.2171（2）求歸一化系統(tǒng)函數(shù) Ha(p)Ha(p)11N42N1(ppk)1.7386(ppk)k1k1其中，極點(diǎn)pk由(6.2.38)式求出如下：pkch()sin((2k1))jch()cos((2k1)),k1,2,3,42N2N1Arsh(1)1Arsh(1)0.5580N40.2171p1ch(0.5580)sin()jch(0.5580)cos()0.4438j1.071588p2ch(0.5580)sin(3)jch(0.5580)cos(3)1.0715j0.443888p3ch(0.5580)sin(5)jch(0.5580)cos(5)1.0715j0.443888p4ch(0.5580)sin(7)jch(0.5580)cos(7)0.4438j1.071588（3）將Ha(p去歸一化，求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s))Ha(s)Ha(p)spc44pp441.7368(sppk)1.7368(ssk)k1k1其中skppk6103pk,k1,2,3,4，因?yàn)閜4p1,p3p2，所以s4s1,s3s2。將兩對共軛極點(diǎn)對應(yīng)的因子相乘，得到分母為二階因子的形式，其系數(shù)全為實(shí)數(shù)。Ha(s)7.2687101622Re[s2]s2)(s22Re[s1]ss1)(s2s27.2687 1016(s2 1.6731104s 4.7791108)(s2 4.0394 104s 4.7790 108)已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為：(1)Ha(s)sa；a)2b2(s(2)Ha(s)b。式中，a,b為常數(shù)，設(shè)Has(sa)2b2()因果穩(wěn)定，試采用脈沖響應(yīng)不變法，分別將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器 H(z)。解：該題所給Ha(s)正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以，求解該題具有代表性，解該題的過程，就是導(dǎo)出這兩種典型形式的 Ha(s)的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式， 設(shè)采樣周期為T。sa（1）Ha(s)2b2(sa)Ha(s)的極點(diǎn)為：s1ajb，s2ajb將Ha(s)部分分式展開（用待定系數(shù)法） ：saA1A2Ha(s)2b2ss1ss2(sa)A1(ss2)A2(ss1)(A1A2)sA1s2A2s1(sa)2b2(sa)2b2比較分子各項(xiàng)系數(shù)可知：A、B應(yīng)滿足方程：A1 A2 1A1s2 A2s1 a解之得A11,A2122所以2Ak0.50.5H(z)1e(ajb)Tz11e(ajb)Tz1k11eskTz111Ha(s)22s(ajb)s(ajb)2Ak0.50.5H(z)1e(ajb)Tz11e(ajb)Tz1k11eskTz1按照題目要求，上面的 H(z)表達(dá)式就可作為該題的答案。但在工程實(shí)際中，一般用無復(fù)數(shù)乘法器的二階基本結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。由于兩個(gè)極點(diǎn)共軛對稱，所以將 H(z)的兩項(xiàng)通分并化簡整理，可得1z1eaTcos(bT)H(z)aTcos(bT)z1e2aTz212e用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時(shí)，直接套用上面的公式即可，且對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無復(fù)數(shù)乘法器，便于工程實(shí)際中實(shí)現(xiàn)。（2）bHa(s)2b2(sa)Ha(s)的極點(diǎn)為：s1 a jb，s2 a jb將Ha(s)部分分式展開：1j1jHa(s)22s(ajb)s(ajb)H(z)0.5j0.5j1e(ajb)Tz11e(ajb)Tz1通分并化簡整理得H(z)z1eaTsin(bT)aTcos(bT)z1e2aTz212e已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為：（1）Ha(s)1；s2s1（2）Ha(s)1試用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波3s2s21器，設(shè)T=2s。解：（1）用脈沖響應(yīng)不變法①Ha(s)1s1s2方法1直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式，Has()的極點(diǎn)為：s10.5j30.5j3，s222j3j33Ha(s)33)3)s(0.5js(0.5j22j333jH(z)3(0.5j3)T(0.5j3)T111e2z1e2z代入T=2sj3j33H(z)31e(1j3)z11e(1j3)z123z1e1sin3312z1e1cos3e2z2方法2直接套用4題(2)所得公式，為了套用公式，先對Has的分母配方，將Ha(s)()化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式：Ha(s)bc,c為一常數(shù)，(s22a)b由于s2s1(s1)23(s1)2(3)22422所以Ha(s)s21s3/223s31(3)2(s1)222對比可知，13a,b，套用公式得2223z1eaTsin(bT)H(z)312eaTcos(bT)z1e23z1e1sin3312z1e1cos3e2z

2aTz2 T=22②Ha(s)11=1+-12s23ss+0.5s+1H(z)=1-1+-1-0.5Tz-Tz-1T=21-e1-e=1+-1-1z-1-2z-11-e1-e或通分合并兩項(xiàng)得H(z)=

(e-1-e-2)z-11-(e-1+e-2)z-1+e-3z2（2）用雙線性變換法①H(z)Ha(s)21z1,T2s1T1z1(1z11z1)21z1z

11(1 z1)2(1 z1)2 (1 z1)(1 z1) (1 z1)21 2z1 z23 z

2②H(z)Ha(s)121z,T2sT1z112(1z131z1)21z1z

11(1 z1)22(1 z1)2 3(1 z2) (1 z1)21 2z1 z26 2z17.假設(shè)某模擬濾波器HasH(z)Ha(s)sz1，數(shù)字濾波器()是一個(gè)低通濾波器，又知z1(z)的通帶中心位于下面的哪種情況？并說明原因。1）w0(低通)；（2）w （高通）；3）除0或外的某一頻率（帶通）。解：按題意可寫出H(z)Ha(s)z1s1z故z1ejw1cosww2sj1zejwejw1jwjcotzsin22即cot

w2原模擬低通濾波器以

0為通帶中心，由上式可知，

0時(shí)，對應(yīng)于

w

，故答案為（2）。9.設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求通帶內(nèi)頻率低于 0.2rad時(shí)，容許幅度誤差在 1dB率在0.3 到 之間的阻帶衰減大于 10dB；試采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)，響應(yīng)不變法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，采樣間隔 T=1ms。解：

之內(nèi)；頻用脈沖本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計(jì)，

所以，由巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性，

數(shù)字濾波器指標(biāo)描述如下：wp

0.2rad,ap

1dBws

0.3rad,as

10dB采用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，所以，相應(yīng)模擬低通巴特沃斯濾波器指標(biāo)為：wp0.21000200(rad/s),ap1dBpTsws0.31000300(rad/s),as10dBT（1）求濾波器階數(shù) N及歸一化系統(tǒng)函數(shù)0.1a10 ksp 0.1a10 ssp

Ha(p)：Nlgks