2015年二次函數(shù)壓軸題解題思路

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)二次函數(shù)壓軸題解題思路一、基本知識(shí)1會(huì)求解析式2.會(huì)利用函數(shù)性質(zhì)和圖像3.相關(guān)知識(shí)：如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)、方程。圖形中的三角形、四邊形、圓及平行線、垂直。一些方法：如相似、三角函數(shù)、解方程。一些轉(zhuǎn)換：如軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)。二、典型例題：（一）、求解析式1.（2014?萊蕪）過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；2.（2012?萊蕪）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；練習(xí)：（2014蘭州）把拋物線y=﹣2x2先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)的表達(dá)式為（）Ay=﹣2（x+1）2+2By=﹣2（x+1）2﹣2Cy=﹣2（x﹣1）2+2Dy=﹣2（x﹣1）2﹣2（二）、二次函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用第一類：面積問題例題.（2012?萊蕪）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（拋物線的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求△ACD的面積；xxyOACBDEF練習(xí)：1.（2010?萊蕪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求此拋物線的解析式；（拋物線的解析式為：.）（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩部分.2.（2014?萊蕪）如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+x．）（3）若△AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．3.（2014?蘭州）如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．k|B|1.c|O|m第二類：.構(gòu)造問題（1）構(gòu)造線段（2013?萊蕪）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點(diǎn)M．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）構(gòu)造相似三角形（2013?萊蕪）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y軸于點(diǎn)M．（1）求拋物線的表達(dá)式；（拋物線的表達(dá)式為y=．）（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）構(gòu)造平行四邊形（2014?萊蕪）如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）構(gòu)造等腰三角形（2013?泰安）如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）（1）求該拋物線的解析式．

（2）若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．（3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且△OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．練習(xí)：（2014遵義）如圖，二次函數(shù)的圖象與交于（3,0）、(-1,0),與軸交于點(diǎn).若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿，邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng).（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo).（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在軸上是否得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出的坐標(biāo)若不存在請(qǐng)說明理由（3）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，△沿翻折，點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形的形狀,并求出點(diǎn)坐標(biāo).（5）構(gòu)造直角三角形22．（2014?四川內(nèi)江）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3.0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．（6）構(gòu)造角相等（2014?婁底）如圖，拋物線y=x2+mx+（m﹣1）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，c），且滿足x12+x22+x1x2=7．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上能不能找到一點(diǎn)P，使∠POC=∠PCO？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．（7）構(gòu)造梯形（2011萊蕪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－2，－4)，OB＝2，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AM＋OM的最小值；ACB(3)在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．若存在，求點(diǎn)ACB練習(xí)：（2010臨沂）如圖：二次函數(shù)y=﹣x2+ax+b的圖象與x軸交于A（-，0），B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；（2）在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（8）構(gòu)造菱形（2013?棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．（9）構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)（2011萊蕪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－2，－4)，OB＝2，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AM＋OM的最小值；(3)在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（10）構(gòu)造平行線（2013?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+與直線y=x交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線y=x+上，∠BOA=90°．拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A，O，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線y=x與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，直線BC交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作FE∥x軸，交直線AB于點(diǎn)F，連接OD，CF，CF交x軸于點(diǎn)M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．練習(xí)：（2014?山東煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB=90°，OA=，拋物線y=ax2﹣ax﹣a經(jīng)過點(diǎn)B（2，），與y軸交于點(diǎn)D．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由；（3）延長(zhǎng)BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明ED∥AC的理由．（11）構(gòu)造垂直第24題圖（2014宜賓市）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(0，–1)，與x軸交于A、B兩點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)判斷△MAB的形狀，并說明理由；(3)過原點(diǎn)的任意直線(不與y軸重合)交拋物線于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)MC、MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由．第24題圖（12）構(gòu)造圓(2014年淄博)如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）使∠APB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)；（2）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明此時(shí)∠APB最大的理由；若沒有，也請(qǐng)說明理由．（13）軸對(duì)稱（2012浙江麗水）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y＝x2在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，矩形AOBC是正方形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②將拋物線y＝x2作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y＝－x2，試判斷拋物線y＝－x2經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由．（14）規(guī)律（2014?江西撫州，第23題，10分）如圖，拋物線()位于軸上方的圖象記為1，它與軸交于1、兩點(diǎn)，圖象2與1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，2與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為2，將1與2同時(shí)沿軸向右平移12的長(zhǎng)度即可得3與4；再將3與4同時(shí)沿軸向右平移12的長(zhǎng)度即可得5與6；……按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象1,2,……，n,我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”.=1\*GB2⑴當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①求圖象1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；=2\*GB3②點(diǎn)(2014,－3)不在(填“在”或“不在”)該“波浪拋物線”上；若圖象n的頂點(diǎn)n的橫坐標(biāo)為201，則圖象n對(duì)應(yīng)的解析式為，其自變量的取值范圍為.=2\*GB2⑵設(shè)圖象m、m+1的頂點(diǎn)分別為m、m+1(m為正整數(shù)),軸上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(12,0).試探究：當(dāng)為何值時(shí)，以、m、m+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？并直接寫出此時(shí)m的值.解析：(1)當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①，∴F1的頂點(diǎn)是（-1,1)；=2\*GB3②由=1\*GB3①知：“波浪拋物線”的值的取值范圍是-1≤≤1，∴點(diǎn)H(2014,-3)不在“波浪拋物線”上；由平移知：F2：F3：，…，∵Fn的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是201，∴Fn的解析式是：，此時(shí)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（200,0)、(202,0),∴200≤≤202.(2)如下圖，取OQ的中點(diǎn)O′,連接TmTm+1,∵四邊形OTmQTm+1是矩形，∴TmTm+1=OQ=12,且TmTm+1經(jīng)過O′,∴OTm+1=6,∵F1：∴Tm+1的縱坐標(biāo)為，∴()2+12=62,∴=±,已知＜0，∴.∴當(dāng)時(shí)，以以O(shè)、Tm、Tm+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形.此時(shí)m=4.解：（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴拋物線的對(duì)稱軸是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x軸于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得：，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣a+2），F(xiàn)（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2時(shí)，S四邊形CDBF的面積最大=，∴E（2，1）．（2014?萊蕪）解：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx．∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+x．（2）存在．設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入求得k=，∴直線OD解析式為y=x．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x），N（x，﹣x2+x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=．∴存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或．（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y=x．如解答圖所示，設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．設(shè)直線O′C′的解析式為y=3x+b，將C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直線O′C′的解析式為y=3x﹣4t．∴E（t，0）．聯(lián)立y=3x﹣4t與y=x，解得x=t，∴P（t，t）．過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=t．∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF?FQ﹣OE?PG=（1+t）（+t）﹣?t?t=﹣（t﹣1）2+當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為．∴S的最大值為．（2013?萊蕪）解：由題意可知．解得．∴拋物線的表達(dá)式為y=．（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則．解得．∴直線MA的表達(dá)式為y=x+1．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）．DF==．當(dāng)時(shí)，DF的最大值為．此時(shí)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）．（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似．設(shè)P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限．①設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)不存在．②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）．③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，若AN=3PN時(shí)，則﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．當(dāng)m=2時(shí)，．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）．若PN=3NA，則﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，﹣39）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（2012?萊蕪）解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，代入C（O，3）后，得：a（0﹣2）2﹣1=3，a=1∴拋物線的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后，得：3k+3=0，k=﹣1∴直線BC：y=﹣x+3；由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸：x=2，則D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=AD?CD=××2=2．（3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有：①∠DFE=90°，即DF∥x軸；將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：x2﹣4x+3=1，解得x=2±；當(dāng)x=2+時(shí)，y=﹣x+3=1﹣；當(dāng)x=2﹣時(shí)，y=﹣x+3=1+；∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．②∠EDF=90°；易知，直線AD：y=x﹣1，聯(lián)立拋物線的解析式有：x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣x+3=2；當(dāng)x=4時(shí)，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；綜上，存在符合條件的點(diǎn)E，且坐標(biāo)為：（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2011萊蕪）解得：∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。（2）由，可得，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且對(duì)稱軸是線段OB的垂直平分線，連結(jié)AB交直線于點(diǎn)M，即為所求。∴MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值為。（3）①若OB∥AP，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，[來源:學(xué)由A(－2，－4),得P(4,－4),則得梯形OAPB。②若OA∥BP，設(shè)直線OA的表達(dá)式為，由A(－2，－4)得，。設(shè)直線BP的表達(dá)式為，由B(2,0)得，，即，∴直線BP的表達(dá)式為由，解得，（不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P()，則得梯形OAPB。③若AB∥OP，設(shè)直線AB的表達(dá)式為，則，解得，∴AB的表達(dá)式為?！嘀本€OP的表達(dá)式為。由，得，解得，（不合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P不存在。綜上所述，存在兩點(diǎn)P(4,－4)或P()使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形。（2014?山東臨沂）解：（1）直線y=2x﹣1，當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣1）．設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在拋物線上，∴，解得，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1．（2）如答圖2所示，直線y=2x﹣1，當(dāng)y=0時(shí)，x=；設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，則E（，0）．在Rt△OCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：CE=，設(shè)∠OEC=θ，則sinθ=，cosθ=．過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則AF=AE?sinθ=（OA+OE）?sinθ=（1+）×=，∴點(diǎn)A到直線CD的距離為．（3）∵平移后拋物線的頂點(diǎn)P在直線y=2x﹣1上，∴設(shè)P（t，2t﹣1），則平移后拋物線的解析式為y=（x﹣t）2+2t﹣1．聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：x2﹣（2t+2）x+t2+2t=0，解得：x1=t，x2=t+2，即點(diǎn)P、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相差2，∴PQ===．△GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3①所示，則PG=PQ=．∴CG====10，∴OG=CG﹣OC=10﹣1=9，∴G（0，9）；ii）若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，如答圖3②所示，則QG=PQ=．同理可得：Q（0，9）；iii）若點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，如答圖3③所示，此時(shí)PQ=，則GP=GQ=．分別過點(diǎn)P、Q作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．易證Rt△PMG≌Rt△GNQ，∴GN=PM，GM=QN．在Rt△QNG中，由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，即PM2+QN2=10①∵點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)相差2，∴NQ=PM+2，代入①式得：PM2+（PM+2）2=10，解得PM=1，∴NQ=3．直線y=2x﹣1，當(dāng)x=1時(shí)，y=1，∴P（1，1），即OM=1．∴OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，∴G（0，4）．綜上所述，符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè)，其坐標(biāo)為（0，4）或（0，9）．（2010臨沂）（1）根據(jù)題意，將，B（2，0）代入中，得解這個(gè)方程，得∴該拋物線的解析式為當(dāng)時(shí)，.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∴在中，.在中，..∵，∴是直角三角形.（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）存在.由（1）知，.①若以BC為底邊，則BC∥AP，如圖5所示.可求得直線BC的解析式為.直線AP可以看作是由直線BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為.把點(diǎn)代入直線的解析式，求得，∴直線AP的解析式為.∵點(diǎn)既在拋物線上，又在直線上,∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即解得(不合題意，舍去).當(dāng)時(shí)，.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.②若以為底邊，則BP∥AC，如圖6所示.可求得直線的解析式為.直線可以看作是由直線平移得到的，所以直線的解析式為.把點(diǎn)代入直線的解析式，求得∴直線的解析式為.∵點(diǎn)既在拋物線上，又在直線上.∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,即.解得(不合題意，舍去).當(dāng)時(shí)，.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)為或.（2014遵義）（2）存在分三種情況討論如下：①以為圓心，為半徑畫弧，交軸于點(diǎn),.=4，=3，=1，=3+4=7.∴,②以為圓心，為半徑畫弧，交軸于,(與點(diǎn)重合，不合題意)過作⊥軸于點(diǎn),則∥軸，即，∴,,,∴,.③作的中垂線交軸于點(diǎn),垂足為,=,==.∴∽∴即，,∴綜上，這樣的點(diǎn)有四個(gè)，,，，.（3）（6分）四邊形是菱形.解法一：過作⊥軸于點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則==.∵∥,∴=,==.∴∽,∴,∵,即，∴，,∵，∴∴∵點(diǎn)在拋物線上，∴解得（舍去），，∴（2014婁底）解（1）依題意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1，∵x1+x2+x1x2=7，∴（x1+x2）2﹣x1x2=7，∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7，即m2﹣m﹣6=0，解得m1=﹣2，m2=3，∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合題意∴m=﹣2拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）能如圖，設(shè)p是拋物線上的一點(diǎn)，連接PO，PC，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D．若∠POC=∠PCO則PD應(yīng)是線段OC的垂直平分線∵C的坐標(biāo)為（0，﹣3）∴D的坐標(biāo)為（0，﹣）∴P的縱坐標(biāo)應(yīng)是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，﹣），（，﹣）(2014年淄博)（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點(diǎn)P1、P2．在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)P，如圖1，則∠APB=∠ACB=×60°=30°．∴使∠APB=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)．故答案為：無數(shù)．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0），∴OA=1，OB=5．∴AB=4．∵點(diǎn)C為圓心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2．∴OG=OA+AG=3．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB=4．∴CG===2．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）．過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP2，如圖1，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴CD=3，OD=2．∵P1、P2是⊙C與y軸的交點(diǎn)，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．∵點(diǎn)C為圓心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=．∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．（3）當(dāng)過點(diǎn)A、B的⊙E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四邊形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH===∴OP=∴P（0，）．②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：P（0，﹣）．理由：①若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連接MA，MB，交⊙E于點(diǎn)N，連接NA，如圖2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，同理可證得：∠APB＞∠AMB．綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，﹣）．2014泰安解：（1）由題設(shè)可知A（0，1），B（﹣3，），根據(jù)題意得：，解得：，則二次函數(shù)的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）設(shè)N（x，﹣x2﹣x+1），則M、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x，﹣x+1），（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，則當(dāng)x=﹣時(shí)，MN的最大值為；（3）連接MN、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故當(dāng)N（﹣1，4）時(shí)，MN和NC互相垂直平分．（2014?四川內(nèi)江，第28題，12分）解：（1）如圖1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4）．∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，∴解得：∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4．（2）如圖2，設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直線AB上，∴解得：∴直線AB的解析式為y=x+．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（﹣3≤t≤5），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)也為t．∴yP=t+，yQ=﹣t2+t+4．∴PQ=yQ﹣yP=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴當(dāng)t=1時(shí)，PQ取到最大值，最大值為．∴線段PQ的最大值為．（3）①當(dāng)∠BAM=90°時(shí)，如圖3所示．拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．∴yG=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解：MH=11．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣11）．②當(dāng)∠ABM=90°時(shí)，如圖4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）．綜上所述：符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）和（，﹣11）．（2014宜賓市）解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，﹣1），∴b=0，c=﹣1，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣1．（2）△MAB是等腰直角三角形，由拋物線的解析式為：y=x2﹣1可知A（﹣1，0），B（1，0），∴OA=OB=OC=1，∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠BOM=45°，∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°∵y軸是對(duì)稱軸，∴A、B為對(duì)稱點(diǎn)，∴AM=BM，∴△MAB是等腰直角三角形．（3）MC⊥MF；分別過C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D（m，m2﹣1），C（n，n2﹣1），∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，∵OM=1，∴CG=n2，DH=m2，∵FG∥DH，∴=，即=解得m=﹣，∵==﹣n，==，∴=，∵∠CGM=∠MHD=90°，∴△CGM∽△MHD，∴∠CMG=∠MDH，∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°，∴∠CMD=90°，即MC⊥MF．（2013?泰安）解：（1）把點(diǎn)C（0，-4），B（2，0）分別代入y=x2+bx+c中，得，解得?！嘣搾佄锞€的解析式為y=x2+x-4．（2）令y=0，即x2+x-4=0，解得x1=-4，x2=2，∴A（-4，0），S△ABC=AB?OC=12．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2-x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化簡(jiǎn)得：S△PBE=（2-x）2．S△PCE=S△PCB-S△PBE=PB?OC-S△PBE=×（2-x）×4-（2-x）2=-x2-x+=-（x+1）2+3∴當(dāng)x=-1時(shí)