高中數(shù)學(xué) 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 新人教A必修3

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2.標(biāo)準(zhǔn)差1整理ppt眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)2整理ppt一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即

x=3整理ppt

練習(xí):在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(單位:米)1．501．601．651．701．751．801．851．90人數(shù)23234111

分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)

解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；4整理ppt

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.5整理ppt頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問(wèn)題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：

二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。6整理ppt

2、在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2.02t.

頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)中位數(shù)是把直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于縱軸的直線橫坐標(biāo)7整理ppt

3、平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。下圖顯示了居民月均用水量的平均數(shù):x=2.02頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)8整理ppt練習(xí)已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下，求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。

900.030頻率/組距頻率/組距頻率/組距O506070801000.0050.0100.0150.040數(shù)據(jù)頻率/組距解：由頻率分布直方圖可知，眾數(shù)為65，中位數(shù)為65，平均數(shù)為55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=679整理ppt三三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn)

1、眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但它對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征.如上例中眾數(shù)是2.25t,它告訴我們,月均用水量為2.25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多,但它并沒(méi)有告訴我們多多少.10整理ppt

2、中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)。如上例中假設(shè)有某一用戶月均用水量為10t，那么它所占頻率為0.01,幾乎不影響中位數(shù),但顯然這一極端值是不能忽視的。11整理ppt

3、由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。也正因如此，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)時(shí)可靠性降低。12整理ppt標(biāo)準(zhǔn)差13整理ppt

如：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià)?如果看兩人本次射擊的平均成績(jī),由于

兩人射擊的平均成績(jī)是一樣的.那么兩個(gè)人的水平就沒(méi)有什么差異嗎?14整理ppt(甲)45678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3頻率(乙)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù)

直觀上看,還是有差異的.如:甲成績(jī)比較分散,乙成績(jī)相對(duì)集中(如上圖所示).

因此,我們還需要從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù).例如:在作統(tǒng)計(jì)圖表時(shí)提到過(guò)的極差.甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4.

但是極差對(duì)極端值非常敏感15整理ppt

由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．一個(gè)樣本中的個(gè)體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示:考慮一個(gè)容量為2的樣本:16整理ppt

考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.用計(jì)算器可算出甲,乙兩人的的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差由可以知道,甲的成績(jī)離散程度大,乙的成績(jī)離散程度小.由此可以估計(jì),乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定.上面兩組數(shù)據(jù)的離散程度與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系可用圖直觀地表示出來(lái).4567891017整理ppt例題1:畫(huà)出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖,說(shuō)明它們的異同點(diǎn).(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8;解:四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖是:頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=0.00(1)18整理ppt整理ppt0.20.30.40.50.60.70.80.91.0(2)頻率o12345678S=0.82頻率o123456780.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=2.83頻率31245678o0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0S=1.49（3）（4）四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5.0,標(biāo)準(zhǔn)差分別是0.00,0.82,1.49,2.83.雖然它們有相同的平均數(shù),但是它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差,說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的.20整理ppt例2甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件.為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比,從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件,量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位:mm)甲25.46,25.32,25.45,25.39,25.3625.34,25.42,25.45,25.38,25.4225.39,25.43,25.39,25.40,25.4425.40,25.42,25.35,25.41,25.39乙25.40,25.43,25.44,25.48,25.4825.47,25.49,25.49,25.36,25.3425.33,25.43,25.43,25.32,25.4725.31,25.32,25.32,25.32,25.48從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高?21整理ppt解:用計(jì)算器計(jì)算可得:0.068s

0.037,s25,406;x

25.4005,x乙甲乙甲====--22整理ppt標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋.例如:在關(guān)于居民月均用水量的例子中,平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868

所以23整理ppt2.一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都減去80，得一組新數(shù)據(jù)，若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來(lái)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是__________81.24.41.某中學(xué)人數(shù)相等的甲、乙兩班學(xué)生參加同一次數(shù)學(xué)測(cè)試，兩班平均分和方差分別為甲=82分，乙=82分，甲=245,乙=190，那么成績(jī)較為整齊的是（）A.甲班B.乙班C.兩班一樣齊D.無(wú)法確定B練習(xí)24整