天津市河北區(qū)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題【含答案】

天津市河北區(qū)2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題一、單選題（共10題；共40分）1.下列結(jié)論中，正確的是（

）A.

若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合

B.

若向量a與b都是單位向量，則a=b

C.

若向量a與b是平行向量，則a與b的方向相同

D.

若兩個(gè)向量相等，則它們的模相等2.已知向量a=(2,4)，b=(?1,1)，則A.

(5,7)

B.

(5,9)

C.

(3,7)

D.

(3,9)3.已知i是虛數(shù)單位，則2i1?iA.

?1+i

B.

1+i

C.

1?i

D.

?1?i4.如圖所示，已知在△ABC中，D是邊AB上的中點(diǎn)，則CD=A.

BC?12BA

B.

?BC+12BA5.下面給出的命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面②平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形④有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)A.

1

B.

2

C.

3

D.

46.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖△A'BA.

AB

B.

AD

C.

BC

D.

AC7.棱長(zhǎng)為a的正四面體的表面積為（

）A.

312a2

B.

38a2

C.

38.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=2，A=π6A.

無(wú)解

B.

有一個(gè)解

C.

有兩個(gè)解

D.

不能確定9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=2acosC，則A.

等腰三角形

B.

直角三角形

C.

等邊三角形

D.

以上均不正確10.如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為(

)km.A.

853

B.

4153二、填空題（共5題；共20分）11.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.12.已知向量a=(1,?2)，b=(2,λ)，若a⊥13.已知|a|=6，e為單位向量，若向量a與e的夾角為135°，則向量a在14.長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，15.在△ABC中，AB=1，AC=2，(AB三、解答題（共4題；共40分）16.已知向量|a|=3，|b|=2，a與（1）求a?b及|（2）求(a17.已知復(fù)數(shù)z=(m（1）若z為實(shí)數(shù)，求m值；（2）若z為純虛數(shù)，求m值；（3）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的范圍.18.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=2，cosB=（1）若b=4，求sinA的值及△ABC（2）若△ABC的面積為4，求b和c的值.19.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=(cosA,sinB)（1）求角A的大?。唬?）若a=7，b=2，求邊c和△ABC

答案解析部分一、單選題（共10題；共40分）1.下列結(jié)論中，正確的是（

）A.

若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合

B.

若向量a與b都是單位向量，則a=b

C.

若向量a與b是平行向量，則a與b的方向相同

D.

若兩個(gè)向量相等，則它們的模相等D【考點(diǎn)】向量的模，單位向量，平行向量與共線向量，相等向量與相反向量A．兩個(gè)向量相等，則兩個(gè)向量可以平移至起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，但兩個(gè)向量不一定起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，故錯(cuò)誤；B．單位向量的模長(zhǎng)都相等，但是方向不一定相同，故錯(cuò)誤；C．若兩個(gè)向量是平行向量，則這兩個(gè)向量的方向也可以相反，故錯(cuò)誤；D．相等向量的模長(zhǎng)相等，方向相同，故正確，故D.

【分析】利用相等向量的判斷方法結(jié)合向量的幾何意義，再利用單位向量的定義和向量相等的關(guān)系，再結(jié)合平行向量的對(duì)應(yīng)推出兩向量的方向的關(guān)系，再利用向量相等與向量的模的關(guān)系，進(jìn)而選出正確選項(xiàng)。2.已知向量a=(2,4)，b=(?1,1)，則A.

(5,7)

B.

(5,9)

C.

(3,7)

D.

(3,9)A【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算因?yàn)?a=(4,8)，所以故A.

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)乘向量的坐標(biāo)表示和兩向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算，從而求出向量2a3.已知i是虛數(shù)單位，則2i1?iA.

?1+i

B.

1+i

C.

1?i

D.

?1?iA【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算因?yàn)?i1?i故A．

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)。4.如圖所示，已知在△ABC中，D是邊AB上的中點(diǎn)，則CD=A.

BC?12BA

B.

?BC+12BAB【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義CD=故B

【分析】根據(jù)題意由向量的加、減運(yùn)算法則整理即可得出答案。5.下面給出的命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面②平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形④有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體是棱臺(tái)A.

1

B.

2

C.

3

D.

4C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的特征可得，一個(gè)棱柱的底面至少有三條邊，所以至少有5個(gè)面；即①正確；由平行六面體的概念和性質(zhì)，可知：平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形；即②正確；根據(jù)正棱錐的特征可得，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形；即③正確；根據(jù)棱臺(tái)的特征可知：棱臺(tái)是棱錐截得的，側(cè)棱的延長(zhǎng)線要交于同一點(diǎn)。有兩個(gè)面平行且相似，其他各個(gè)面都是梯形的多面體，不能保證側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于同一點(diǎn)，因此該多面體不一定是棱臺(tái)，即④錯(cuò)；因此正確的個(gè)數(shù)有3個(gè).故C.

【分析】利用棱柱、棱錐和棱臺(tái)以及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而找出正確命題的個(gè)數(shù)。6.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖△A'BA.

AB

B.

AD

C.

BC

D.

ACD【考點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法直觀圖根據(jù)△A'B由圖可知，最長(zhǎng)的線段為AC。故D.

【分析】利用已知條件結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)直觀圖的方法，進(jìn)而還原原平面圖形，進(jìn)而找出在△ABC的三邊及中線AD中的最長(zhǎng)的線段。7.棱長(zhǎng)為a的正四面體的表面積為（

）A.

312a2

B.

38a2

C.

3D【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積因?yàn)檎拿骟w是各面都是全等的等邊三角形，又因?yàn)樵撜拿骟w的棱長(zhǎng)為a，所以該正四面體的表面積為S=4×1故D.

【分析】因?yàn)檎拿骟w是各面都是全等的等邊三角形，又因?yàn)樵撜拿骟w的棱長(zhǎng)為a，再結(jié)合正四面體的表面積公式，進(jìn)而求出棱長(zhǎng)為a的正四面體的表面積。8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=2，A=π6A.

無(wú)解

B.

有一個(gè)解

C.

有兩個(gè)解

D.

不能確定C【考點(diǎn)】正弦定理因?yàn)閍=2<b=2，由正弦定理可得asinA=bsin因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，所以π6<B<56π若B=π4，則C=7π12符合題意；若因此△ABC有兩個(gè)解；故C.

【分析】利用已知條件結(jié)合正弦定理，從而結(jié)合三角形中角之間的大小關(guān)系和三角形中內(nèi)角的取值范圍，再結(jié)合分類(lèi)討論的方法和三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，進(jìn)而得出滿足條件的三角形的解的個(gè)數(shù)。9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b=2acosC，則A.

等腰三角形

B.

直角三角形

C.

等邊三角形

D.

以上均不正確A【考點(diǎn)】余弦定理，三角形的形狀判斷由b=2acosC，根據(jù)余弦定理，可得整理得a2?c即△ABC為等腰三角形。故A.

【分析】利用已知條件結(jié)合余弦定理，可得b=a2+10.如圖所示，隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，現(xiàn)在岸邊取相距4km的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，則兩目標(biāo)A，B間的距離為(

)km.A.

853

B.

4153B【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用由已知，ΔACD中，∠CAD=30°，∠ACD=120°，由正弦定理，CDsin所以AD=CD·在ΔBCD中，∠CBD=60°，由正弦定理，CDsin所以BD=CD·在ΔABD中，由余弦定理，AB2=A所以A與B的距離AB=4故B

【分析】先由已知利用正弦定理列式，得到AD與BD，再利用余弦定理列式，即可求出兩目標(biāo)A，B間的距離.二、填空題（共5題；共20分）11.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.（1,2）【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義復(fù)數(shù)1+2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,2）。故（1,2）。

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。12.已知向量a=(1,?2)，b=(2,λ)，若a⊥1【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式因?yàn)橄蛄縜=(1,?2)，b=(2,λ)，若a⊥解得λ=1。故1。

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)λ的值。13.已知|a|=6，e為單位向量，若向量a與e的夾角為135°，則向量a在?3【考點(diǎn)】向量的投影因?yàn)閨a所以向量a在e上的投影向量為：|a故?32

【分析】利用單位向量的定義結(jié)合已知條件，從而結(jié)合向量投影公式，進(jìn)而求出向量a在e上的投影向量。14.長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，1【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A因此DD1即為三棱錐所以三棱錐D1?ABC的體積為故1。

【分析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C15.在△ABC中，AB=1，AC=2，(ABπ【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算由題意(ABcosA=12，又因?yàn)锳∈(0,π)故π3

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則，再結(jié)合數(shù)量積的定義，進(jìn)而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范圍，進(jìn)而求出角A的值。三、解答題（共4題；共40分）16.已知向量|a|=3，|b|=2，a與（1）求a?b及|（2）求(a（1）解：a?|====

（2）解：(===?18【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】（1）利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的定義，從而求出數(shù)量積a?b的值；再利用數(shù)量積求模公式結(jié)合已知條件，從而求出向量的模。

（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積的定義，再結(jié)合已知條件求出(

17.已知復(fù)數(shù)z=(m（1）若z為實(shí)數(shù)，求m值；（2）若z為純虛數(shù)，求m值；（3）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的范圍.（1）解：∵復(fù)數(shù)z=(m2?m)+(m?1)i為實(shí)數(shù)，則m?1=0，解得m=1

（2）解：∵復(fù)數(shù)z=(m2?m)+(m?1)i為純虛數(shù)，則{m2?m=0m?1≠0，解得因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,+∞)【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【分析】（1）利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的判斷方法，進(jìn)而求出m的值。

（2）利用復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的判斷方法，進(jìn)而求出m的值。（3）利用復(fù)數(shù)的幾何意義，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)所在的象限，再利用已知條件復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，進(jìn)而求出m的取值范