對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)（精講） 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng) 提升精講精練 （含答案解析）

3.4對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一對數(shù)運(yùn)算【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.【答案】（1）1；（2）1；（3）4；（4）2.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）【一隅三反】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，函數(shù)定義域滿足：，解得，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，在單調(diào)遞減，函數(shù)對稱軸為，故，解得.故選：C.【例2-2】（2022·天津·南開中學(xué)二模）已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，因?yàn)榍?，所以?dāng)時，不可能是增函數(shù)，所以函數(shù)在R上不可能是增函數(shù)，綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：B【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【答案】【解析】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?令，則，，開口向上，對稱軸為，所以在上遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞，a)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】A【解析】是增函數(shù)，在上遞減，在遞增，因此在上遞減，則有，解得．故選：A．3．（2021·天津市武清區(qū)大良中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______【答案】【解析】由，在R上單調(diào)遞增，∴在上遞增，在上也遞增，由增函數(shù)圖象特征知：不能在點(diǎn)上方，綜上，，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.4．（2022·河北）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍_____．【答案】【解析】令，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)為減函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，，解得.故答案為：.考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的值域（最值）【例3-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】由題意知的定義域?yàn)?所以，，，時等號成立．故選：A.【例3-2】（2022·四川·宜賓市教科所三模）若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，f(x)=，當(dāng)時，f(x)=，故要使的值域是，則0≤≤1，解得．故選：C．【例3-3】（2022·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以的定義域?yàn)?，解得，所以該函?shù)的定義域?yàn)?；所以，所以，所以，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以；所以函數(shù)的值域是．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)且的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，∵函數(shù)的值域?yàn)?，∴，又，∴，即，∴的取值范圍?故選：D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，函數(shù)的值域包含，當(dāng)時，符合題意；當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，顯然不符合題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，又函數(shù)的值域?yàn)镽，則，解得．故選：C．考點(diǎn)四對數(shù)式比較大小【例4-1】（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知，則正確的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B.【例4-2】（2022·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測（理））設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，令，令，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，所以，故，即，所以，綜上所述，.故選：D.【一隅三反】1．（2022·浙江·模擬預(yù)測）己知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，即，其次，，所以，又因?yàn)榍覇握{(diào)遞增，所以由可知，綜上，．故選：A2．（2022·全國·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由知：關(guān)于直線x=1對稱.當(dāng)時，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：在上單調(diào)遞增.又，而，，，所以.故選：D.3．（2022·浙江金華·三模）若函數(shù)，設(shè)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可知，故，∴函數(shù)為偶函數(shù)；易知，當(dāng)時，在為單調(diào)遞增函數(shù)；又，∴，同理，；又，，故，故.故選：A.4．（2022·廣東佛山·三模）（多選）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】選項(xiàng)A：由，可得，則，，則，則.判斷錯誤；選項(xiàng)B：由，可得為上減函數(shù)，又，則.判斷正確；選項(xiàng)C：由，可知為R上減函數(shù)，又，則由，可知為上增函數(shù)，又，則，則又為上增函數(shù)，則，則.判斷正確；選項(xiàng)D：令，則，，則，即.判斷錯誤.故選：BC考點(diǎn)五解對數(shù)式不等式【例5-1】（2022·河南濮陽）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上恒有，則不等式的解集為（

）A． B．1,e2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱，在上恒有，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，不等式需滿足，解得.故選：C．【例5-2】（2022·湖北·二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，而，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則可化為，得解得故選：D【一隅三反】1．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，當(dāng)時，由得：，解得，則，當(dāng)時，由得：，即0<x-1≤2，解得，則，所以不等式的解集為.故選：A2．（2021·江西·奉新縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知且，，令，則且定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，即為奇函數(shù)，函數(shù)與在上均單調(diào)遞增，與在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即在上也單調(diào)遞增且，又為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，，在R上單調(diào)遞增，，解得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A.3．（2021·安徽·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，，且在上遞增，當(dāng)時，，，且在上遞增，所以在上有，且函數(shù)是上的增函數(shù)，于是原不等式可化為，，，得解得，故選：B考點(diǎn)六對數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)【例6】（2021·四川·德陽五中）若函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于函數(shù)，令，解得，所以，所以函數(shù)恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)在角的終邊上，所以，所以；故選：A【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，且角的終邊經(jīng)過，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，所以，所以，.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，，函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（