分析力學(xué)課件

第五章分析力學(xué)§5.1約束與廣義坐標(biāo)§5.2虛功原理§5.3拉格朗日方程§5.5哈密頓正則方程§5.6泊松括號(hào)與泊松定理§5.7哈密頓原理1第五章分析力學(xué)§5.1約束與廣義坐標(biāo)1§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(哈密頓)拉格朗日:1788年:《分析力學(xué)》.全書(shū)沒(méi)有一張圖,是完全用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決所有的力學(xué)問(wèn)題.哈密頓:1834年：哈密頓正則方程；1843年：哈密頓原理。其它人的貢獻(xiàn)：如莫培督、歐拉、高斯、雅科畢等人2§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(分析力學(xué)：以變分原理為基礎(chǔ)，以動(dòng)能和勢(shì)能為基本量，從力學(xué)體系的一切可能運(yùn)動(dòng)中尋找真實(shí)運(yùn)動(dòng)的學(xué)科變分原理虛功原理達(dá)朗伯原理哈密頓原理一切可能運(yùn)動(dòng)：指力學(xué)體系在約束許可下可能存在的運(yùn)動(dòng)基本量均是標(biāo)量3分析力學(xué)：以變分原理為基礎(chǔ)，以動(dòng)能和勢(shì)能為基本量，從力學(xué)變分矢量力學(xué)和分析力學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系4矢量力學(xué)和分析力學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系4§5.1約束與廣義坐標(biāo)一、約束及分類(lèi)1.力學(xué)體系：有相互作用的大量質(zhì)點(diǎn)組成的體系。2.約束：加在體系上限制其運(yùn)動(dòng)（位置和速度）的條件。約束方程：如：小蟲(chóng)在吹著的氣球上運(yùn)動(dòng)，自由體系：力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由主動(dòng)力和初始條件決定非自由體系：力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受某些預(yù)先給定的幾何上或運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制。5§5.1約束與廣義坐標(biāo)一、約束及分類(lèi)1.力學(xué)體系：有3.分類(lèi)：1)幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束僅限制體系位置——幾何約束不僅限制位置，且限制速度——運(yùn)動(dòng)約束，或稱(chēng)微分約束xyoCm63.分類(lèi)：1)幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束僅限制體系位置——幾何約AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束不是時(shí)間的函數(shù)不穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束是時(shí)間的函數(shù)3）可解和不可解約束o點(diǎn)固定不動(dòng)nmolnmol7AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體

例:冰面上滑行的冰刀的簡(jiǎn)化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),并設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等,桿長(zhǎng)為l,當(dāng)冰刀在冰面上運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)心(桿的中點(diǎn))的速度只能沿桿的方向.選兩質(zhì)點(diǎn)在冰面上的坐標(biāo)為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為OyxvABAy1y2x1x24）完整約束和非完整約束

完整約束：幾何約束和可積的運(yùn)動(dòng)約束非完整約束：不可積的運(yùn)動(dòng)約束完整體系，非完整體系8例:冰面上滑行的冰刀的簡(jiǎn)化模型.假定將冰刀抽象為以剛n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由n個(gè)位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個(gè)直角坐標(biāo)，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統(tǒng)存在k個(gè)完整約束:二、自由度、廣義坐標(biāo)

獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)：3n-kl1xyO如何選擇獨(dú)立坐標(biāo)？①④②③9n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由n個(gè)位矢rl,r2,…,rn確定，或由自由度：確定一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)（或位形）所需求的獨(dú)立坐標(biāo)變量個(gè)數(shù)，叫體系的自由度。廣義坐標(biāo)：若體系有k個(gè)完整約束，則有3n-k個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，引進(jìn)s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)q1,q2…qs稱(chēng)q1,q2…qs為廣義坐標(biāo)注：1）qα不一定是線量

2）qα可自由選取，不一定是3n中的s個(gè)，但必須方便確定體系的位置，選擇不止一種。

3）幾何約束下，獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)=自由度=廣義坐標(biāo)數(shù)=3n-k10自由度：確定一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)（或位形）所需求的獨(dú)立坐標(biāo)變量個(gè)§5.2虛功原理一、實(shí)位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo虛位移：在約束許可下，某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生的微小位移說(shuō)明：(1).虛位移的產(chǎn)生不需要時(shí)間dt=0,而實(shí)位移必須有時(shí)間間隔；(2).只要滿足約束條件，虛位移可能不止一個(gè)；11§5.2虛功原理一、實(shí)位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo(3).

對(duì)于穩(wěn)定約束，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)；對(duì)于不穩(wěn)定約束，實(shí)位移不在虛位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’mmt時(shí)刻t+dt時(shí)刻12(3).對(duì)于穩(wěn)定約束，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)；f(x,y,二、理想約束3.常見(jiàn)理想約束1)光滑曲面，曲線4)光滑鉸鏈3)不可伸長(zhǎng)的輕繩2)剛性桿hnnnABC13二、理想約束3.常見(jiàn)理想約束4)光滑鉸鏈3)不可伸長(zhǎng)的輕繩三、虛功原理：2.證明:a.必要性

（1）有一受k個(gè)穩(wěn)定的約束體系，處于平衡狀態(tài)，對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)均有b.充分性。反證法結(jié)果與（1）矛盾，因此，體系應(yīng)該靜止14三、虛功原理：2.證明:a.必要性（1）有一例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby15例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby13.廣義坐標(biāo)下的虛功原理（3）(4)（5）163.廣義坐標(biāo)下的虛功原理（3）(4)（5）16若作用在體系上的主動(dòng)力均為保守力，則體系的勢(shì)能為相應(yīng)的主動(dòng)力：（6）(5)說(shuō)明：（1）廣義力的個(gè)數(shù)=自由度個(gè)數(shù)=廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)；（2）廣義力的量綱可以是力，力矩等的量綱17若作用在體系上的主動(dòng)力均為保守力，則體系的勢(shì)能為相應(yīng)的主動(dòng)力p206例1：求平衡時(shí)，α，β與主動(dòng)力之間的關(guān)系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB解一：18p206例1：求平衡時(shí)，α，β與主動(dòng)力之間的關(guān)系oyxP2解二：19解二：19例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個(gè)重為P和Q的小球，此二球用長(zhǎng)為2l的不伸長(zhǎng)繩子連接，不計(jì)摩擦。求平衡時(shí)繩與水平線所成之角nnoxy解：（1）確定自由度s=1,廣義坐標(biāo)（3）寫(xiě)出主動(dòng)力作用點(diǎn)坐標(biāo)（1）(2)（3）20例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個(gè)重為P和Q的小§5.3Lagrange方程一、動(dòng)力學(xué)的普遍方程1.D’Alembert-Lagrenge方程體系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)有稱(chēng)為D’Alembert-Lagrenge方程稱(chēng)達(dá)朗伯原理21§5.3Lagrange方程一、動(dòng)力學(xué)的普遍方程1Chapter222二、基本的拉格朗日方程

廣義力22Chapter222二、基本的拉格朗日方程廣義力2223232323證明：24證明：24各項(xiàng)的物理意義：可見(jiàn)L方程是以qα為變量的s個(gè)二階線性微分方程組,方程個(gè)數(shù)=自由度數(shù)，約束越多，自由度越少，方程越少，只要寫(xiě)出T，Qα，代入方程即可得到運(yùn)動(dòng)方程.適用條件：理想的完整體系25各項(xiàng)的物理意義：可見(jiàn)L方程是以qα為變量的ξηζryx0例1.質(zhì)點(diǎn)P受力F，求相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程（非保守系）（P217）解：1）選廣義坐標(biāo)x,y,z;2)求T,Qα3)代入L-方程26ξηζryx0例1.質(zhì)點(diǎn)P受力F，求相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方解：1）例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣義坐標(biāo)2）寫(xiě)出T，Qα

27例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣3)代入方程283)代入方程282929三、保守系的L-方程保守體系的L方程30三、保守系的L-方程保守體系的L方程30例子：在光滑的水平面上放置一質(zhì)量為M的三棱柱，一個(gè)質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱嚴(yán)三棱柱的斜面無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)。已經(jīng)斜面傾角為α，求三棱柱的加速度。解：（1）分析約束：三個(gè)約束；確定自由度

s=2，確定廣義坐標(biāo)：x,x1(2)分析受力情況(3)寫(xiě)出T，V，Lαhh(x,y)mMyxo31例子：在光滑的水平面上放置一質(zhì)量為M的三棱柱，一個(gè)質(zhì)量為m的(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)。運(yùn)用L-方程求解問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：i).使用的條件：（a）理想、完整約束；（b）保守、理想、完整約束。ii).動(dòng)能的表達(dá)式T應(yīng)是廣義坐標(biāo)、廣義速度及時(shí)間的函數(shù)；動(dòng)能是對(duì)慣性系而言的，應(yīng)為絕對(duì)動(dòng)能。33四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)如有心力場(chǎng)中，θ為循環(huán)坐標(biāo)又如上例：水平方向動(dòng)量守恒34如有心力場(chǎng)中，θ為循環(huán)坐標(biāo)又如上例：水平方向動(dòng)量守恒34四、能量積分設(shè)一完整保守系，有s個(gè)自由度35四、能量積分設(shè)一完整保守系，有s個(gè)自由度351.齊次歐拉定理：應(yīng)用齊次歐拉定理：361.齊次歐拉定理：應(yīng)用齊次歐拉定理：362.廣義能量積分令廣義能量372.廣義能量積分令廣義能量37則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t表明時(shí)間變更不影響L，表明L的時(shí)間均勻性——廣義能量守恒。能量守恒38則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t例:習(xí)題5.6解:選q=θ為廣義坐標(biāo)約束方程：是非穩(wěn)定約束θ不是循環(huán)坐標(biāo)，L中不顯含t,有廣義能量積分.oxyθcM(x,y)aωtω39例:習(xí)題5.6解:選q=θ為廣義坐標(biāo)約束方程：是非穩(wěn)定約束例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動(dòng)，二另一物體P2則由一無(wú)重量的桿子與之相連，并在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。假設(shè)二物體的質(zhì)量分別為m1和m2,輕桿長(zhǎng)為l,求體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。no

yx解：分析約束，s=2,廣義坐標(biāo)：保守、理想、完整體系為循環(huán)坐標(biāo),因此有：積分一次上式(1)40例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動(dòng)，二另一物體P2則由一無(wú)重代人L-方程(2)41代人L-方程(2)41例5.9：求運(yùn)動(dòng)方程zyxoθαrz42例5.9：求運(yùn)動(dòng)方程zyxoθαrz425.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’435.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv4444§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入新變量引入新函數(shù)G：比較（4）和（5），有：45§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入二、哈密頓正則方程引入新變量引入新函數(shù)H為哈密頓函數(shù)46二、哈密頓正則方程引入引入H為哈密頓函數(shù)46哈密頓正則方程47哈密頓正則方程47Example148Example148說(shuō)明：正則方程與L-方程完全等價(jià)。具有更廣泛的適用性廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量組成2s維的相空間三、能量積分和循環(huán)積分1.H函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于穩(wěn)定約束：H為總能量49說(shuō)明：正則方程與L-方程完全等價(jià)。具有更廣泛的適用性廣義坐標(biāo)2.能量積分2.循環(huán)積分502.能量積分2.循環(huán)積分50rRθOO’AA’φD5.2451rRθOO’AA’φD5.24515252§5.6泊松括號(hào)一、泊松括號(hào)的定義和性質(zhì)泊松括號(hào)：53§5.6泊松括號(hào)一、泊松括號(hào)的定義和性質(zhì)泊松括號(hào)：53二、泊松括號(hào)與正則方程1.正則方程的泊松表達(dá)式正則方程54二、泊松括號(hào)與正則方程1.正則方程的泊松表達(dá)式正則方程542.運(yùn)動(dòng)積分定理：若函數(shù)，則為哈密頓正則方程的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分證明：先從線性偏微分方程：u=c（constant)的偏微分方程的解552.運(yùn)動(dòng)積分定理：若函數(shù)三、泊松定理定理：若和是正則方程的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，那么和組成的泊松括號(hào)也是正則方程的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分。證明：？56三、泊松定理定理：若example57example57§5.7哈密頓原理力學(xué)原理變分原理：從一切可能的運(yùn)動(dòng)中尋找真實(shí)運(yùn)動(dòng)。變分不變分微分（虛功原理）積分（哈密頓原理）微分（達(dá)朗伯原理）積分（機(jī)械能守恒）公元二世紀(jì)提出光的量小化原理，1657費(fèi)馬修訂1747年莫培督提出最小作用量原理1828年高斯-最小拘束原理赫芝-最小曲率原理1834年-Hamiltonprinciple58§5.7哈密頓原理力學(xué)原理變分原理：從一切可能的運(yùn)動(dòng)中尋找一、變分法的基本運(yùn)算運(yùn)算法則：59一、變分法的基本運(yùn)算運(yùn)算法則：59二、哈密頓原理1.位形空間：以s個(gè)廣義坐標(biāo)組成的s維空間，每一個(gè)點(diǎn)表示體系各質(zhì)點(diǎn)的獨(dú)立位置。2.保守系的哈密頓原理哈密頓作用量：也稱(chēng)力學(xué)體系的主函數(shù)。哈密頓原理：適用條件：保守完整系60二、哈密頓原理1.位形空間：以s個(gè)廣義坐標(biāo)組成的s維空間，例.由L方程推出哈密頓原理61例.由L方程推出哈密頓原理61例.由H原理推出L方程62例.由H原理推出L方程62例：5.31zyxoθαrz63例：5.31zyxoθαrz63646465651.24)質(zhì)量為m與2m的兩質(zhì)點(diǎn),為一不可伸長(zhǎng)的輕繩所聯(lián)結(jié),繩掛在一光滑的滑輪上.在m的下端又用固有長(zhǎng)度為a倔強(qiáng)系數(shù)k為mg/a的彈性繩掛上另外一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn).在開(kāi)始時(shí),全體保持豎立,原來(lái)的非彈性繩拉緊,而有彈性的繩則處在固有長(zhǎng)度上.由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后,求證這運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧的,并求出其振動(dòng)周期τ及任何時(shí)刻兩段繩中的張力T及T’.解:取坐標(biāo)軸向下為正.對(duì)應(yīng)三點(diǎn)表示如圖TTT’T’2mmmox如何運(yùn)用機(jī)械能守恒求解？661.24)質(zhì)量為m與2m的兩質(zhì)點(diǎn),為一不可伸長(zhǎng)的輕繩所聯(lián)結(jié)1.40)一質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m,比例系數(shù)為k.如此質(zhì)點(diǎn)從距原點(diǎn)O為a的地方由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng),求其達(dá)到O點(diǎn)所需的時(shí)間.解:已知運(yùn)動(dòng)微分方程671.40)一質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動(dòng),第五章分析力學(xué)§5.1約束與廣義坐標(biāo)§5.2虛功原理§5.3拉格朗日方程§5.5哈密頓正則方程§5.6泊松括號(hào)與泊松定理§5.7哈密頓原理68第五章分析力學(xué)§5.1約束與廣義坐標(biāo)1§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(哈密頓)拉格朗日:1788年:《分析力學(xué)》.全書(shū)沒(méi)有一張圖,是完全用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決所有的力學(xué)問(wèn)題.哈密頓:1834年：哈密頓正則方程；1843年：哈密頓原理。其它人的貢獻(xiàn)：如莫培督、歐拉、高斯、雅科畢等人69§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(分析力學(xué)：以變分原理為基礎(chǔ)，以動(dòng)能和勢(shì)能為基本量，從力學(xué)體系的一切可能運(yùn)動(dòng)中尋找真實(shí)運(yùn)動(dòng)的學(xué)科變分原理虛功原理達(dá)朗伯原理哈密頓原理一切可能運(yùn)動(dòng)：指力學(xué)體系在約束許可下可能存在的運(yùn)動(dòng)基本量均是標(biāo)量70分析力學(xué)：以變分原理為基礎(chǔ)，以動(dòng)能和勢(shì)能為基本量，從力學(xué)變分矢量力學(xué)和分析力學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系71矢量力學(xué)和分析力學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系4§5.1約束與廣義坐標(biāo)一、約束及分類(lèi)1.力學(xué)體系：有相互作用的大量質(zhì)點(diǎn)組成的體系。2.約束：加在體系上限制其運(yùn)動(dòng)（位置和速度）的條件。約束方程：如：小蟲(chóng)在吹著的氣球上運(yùn)動(dòng)，自由體系：力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由主動(dòng)力和初始條件決定非自由體系：力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受某些預(yù)先給定的幾何上或運(yùn)動(dòng)學(xué)上的限制。72§5.1約束與廣義坐標(biāo)一、約束及分類(lèi)1.力學(xué)體系：有3.分類(lèi)：1)幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束僅限制體系位置——幾何約束不僅限制位置，且限制速度——運(yùn)動(dòng)約束，或稱(chēng)微分約束xyoCm733.分類(lèi)：1)幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束僅限制體系位置——幾何約AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束不是時(shí)間的函數(shù)不穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束是時(shí)間的函數(shù)3）可解和不可解約束o點(diǎn)固定不動(dòng)nmolnmol74AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體

例:冰面上滑行的冰刀的簡(jiǎn)化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn),并設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量相等,桿長(zhǎng)為l,當(dāng)冰刀在冰面上運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)心(桿的中點(diǎn))的速度只能沿桿的方向.選兩質(zhì)點(diǎn)在冰面上的坐標(biāo)為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為OyxvABAy1y2x1x24）完整約束和非完整約束

完整約束：幾何約束和可積的運(yùn)動(dòng)約束非完整約束：不可積的運(yùn)動(dòng)約束完整體系，非完整體系75例:冰面上滑行的冰刀的簡(jiǎn)化模型.假定將冰刀抽象為以剛n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由n個(gè)位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個(gè)直角坐標(biāo)，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統(tǒng)存在k個(gè)完整約束:二、自由度、廣義坐標(biāo)

獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù)：3n-kl1xyO如何選擇獨(dú)立坐標(biāo)？①④②③76n個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)由n個(gè)位矢rl,r2,…,rn確定，或由自由度：確定一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)（或位形）所需求的獨(dú)立坐標(biāo)變量個(gè)數(shù)，叫體系的自由度。廣義坐標(biāo)：若體系有k個(gè)完整約束，則有3n-k個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，引進(jìn)s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)q1,q2…qs稱(chēng)q1,q2…qs為廣義坐標(biāo)注：1）qα不一定是線量

2）qα可自由選取，不一定是3n中的s個(gè)，但必須方便確定體系的位置，選擇不止一種。

3）幾何約束下，獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)=自由度=廣義坐標(biāo)數(shù)=3n-k77自由度：確定一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)（或位形）所需求的獨(dú)立坐標(biāo)變量個(gè)§5.2虛功原理一、實(shí)位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo虛位移：在約束許可下，某一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生的微小位移說(shuō)明：(1).虛位移的產(chǎn)生不需要時(shí)間dt=0,而實(shí)位移必須有時(shí)間間隔；(2).只要滿足約束條件，虛位移可能不止一個(gè)；78§5.2虛功原理一、實(shí)位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo(3).

對(duì)于穩(wěn)定約束，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)；對(duì)于不穩(wěn)定約束，實(shí)位移不在虛位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’mmt時(shí)刻t+dt時(shí)刻79(3).對(duì)于穩(wěn)定約束，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè)；f(x,y,二、理想約束3.常見(jiàn)理想約束1)光滑曲面，曲線4)光滑鉸鏈3)不可伸長(zhǎng)的輕繩2)剛性桿hnnnABC80二、理想約束3.常見(jiàn)理想約束4)光滑鉸鏈3)不可伸長(zhǎng)的輕繩三、虛功原理：2.證明:a.必要性

（1）有一受k個(gè)穩(wěn)定的約束體系，處于平衡狀態(tài)，對(duì)每一質(zhì)點(diǎn)均有b.充分性。反證法結(jié)果與（1）矛盾，因此，體系應(yīng)該靜止81三、虛功原理：2.證明:a.必要性（1）有一例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby82例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby13.廣義坐標(biāo)下的虛功原理（3）(4)（5）833.廣義坐標(biāo)下的虛功原理（3）(4)（5）16若作用在體系上的主動(dòng)力均為保守力，則體系的勢(shì)能為相應(yīng)的主動(dòng)力：（6）(5)說(shuō)明：（1）廣義力的個(gè)數(shù)=自由度個(gè)數(shù)=廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)；（2）廣義力的量綱可以是力，力矩等的量綱84若作用在體系上的主動(dòng)力均為保守力，則體系的勢(shì)能為相應(yīng)的主動(dòng)力p206例1：求平衡時(shí)，α，β與主動(dòng)力之間的關(guān)系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB解一：85p206例1：求平衡時(shí)，α，β與主動(dòng)力之間的關(guān)系oyxP2解二：86解二：19例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個(gè)重為P和Q的小球，此二球用長(zhǎng)為2l的不伸長(zhǎng)繩子連接，不計(jì)摩擦。求平衡時(shí)繩與水平線所成之角nnoxy解：（1）確定自由度s=1,廣義坐標(biāo)（3）寫(xiě)出主動(dòng)力作用點(diǎn)坐標(biāo)（1）(2)（3）87例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個(gè)重為P和Q的小§5.3Lagrange方程一、動(dòng)力學(xué)的普遍方程1.D’Alembert-Lagrenge方程體系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)有稱(chēng)為D’Alembert-Lagrenge方程稱(chēng)達(dá)朗伯原理88§5.3Lagrange方程一、動(dòng)力學(xué)的普遍方程1Chapter289二、基本的拉格朗日方程

廣義力89Chapter222二、基本的拉格朗日方程廣義力2290902323證明：91證明：24各項(xiàng)的物理意義：可見(jiàn)L方程是以qα為變量的s個(gè)二階線性微分方程組,方程個(gè)數(shù)=自由度數(shù)，約束越多，自由度越少，方程越少，只要寫(xiě)出T，Qα，代入方程即可得到運(yùn)動(dòng)方程.適用條件：理想的完整體系92各項(xiàng)的物理意義：可見(jiàn)L方程是以qα為變量的ξηζryx0例1.質(zhì)點(diǎn)P受力F，求相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程（非保守系）（P217）解：1）選廣義坐標(biāo)x,y,z;2)求T,Qα3)代入L-方程93ξηζryx0例1.質(zhì)點(diǎn)P受力F，求相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方解：1）例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣義坐標(biāo)2）寫(xiě)出T，Qα

94例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣3)代入方程953)代入方程289629三、保守系的L-方程保守體系的L方程97三、保守系的L-方程保守體系的L方程30例子：在光滑的水平面上放置一質(zhì)量為M的三棱柱，一個(gè)質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱嚴(yán)三棱柱的斜面無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)。已經(jīng)斜面傾角為α，求三棱柱的加速度。解：（1）分析約束：三個(gè)約束；確定自由度

s=2，確定廣義坐標(biāo)：x,x1(2)分析受力情況(3)寫(xiě)出T，V，Lαhh(x,y)mMyxo98例子：在光滑的水平面上放置一質(zhì)量為M的三棱柱，一個(gè)質(zhì)量為m的(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程99(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)。運(yùn)用L-方程求解問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：i).使用的條件：（a）理想、完整約束；（b）保守、理想、完整約束。ii).動(dòng)能的表達(dá)式T應(yīng)是廣義坐標(biāo)、廣義速度及時(shí)間的函數(shù)；動(dòng)能是對(duì)慣性系而言的，應(yīng)為絕對(duì)動(dòng)能。100四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標(biāo)為循環(huán)坐標(biāo)如有心力場(chǎng)中，θ為循環(huán)坐標(biāo)又如上例：水平方向動(dòng)量守恒101如有心力場(chǎng)中，θ為循環(huán)坐標(biāo)又如上例：水平方向動(dòng)量守恒34四、能量積分設(shè)一完整保守系，有s個(gè)自由度102四、能量積分設(shè)一完整保守系，有s個(gè)自由度351.齊次歐拉定理：應(yīng)用齊次歐拉定理：1031.齊次歐拉定理：應(yīng)用齊次歐拉定理：362.廣義能量積分令廣義能量1042.廣義能量積分令廣義能量37則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t表明時(shí)間變更不影響L，表明L的時(shí)間均勻性——廣義能量守恒。能量守恒105則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t例:習(xí)題5.6解:選q=θ為廣義坐標(biāo)約束方程：是非穩(wěn)定約束θ不是循環(huán)坐標(biāo)，L中不顯含t,有廣義能量積分.oxyθcM(x,y)aωtω106例:習(xí)題5.6解:選q=θ為廣義坐標(biāo)約束方程：是非穩(wěn)定約束例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動(dòng)，二另一物體P2則由一無(wú)重量的桿子與之相連，并在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。假設(shè)二物體的質(zhì)量分別為m1和m2,輕桿長(zhǎng)為l,求體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。no

yx解：分析約束，s=2,廣義坐標(biāo)：保守、理想、完整體系為循環(huán)坐標(biāo),因此有：積分一次上式(1)107例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動(dòng)，二另一物體P2則由一無(wú)重代人L-方程(2)108代人L-方程(2)41例5.9：求運(yùn)動(dòng)方程zyxoθαrz109例5.9：求運(yùn)動(dòng)方程zyxoθαrz425.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’1105.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv11144§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入新變量引入新函數(shù)G：比較（4）和（5），有：112§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入二、哈密頓正則方程引入新變量引入新函數(shù)H為哈密頓函數(shù)113二、哈密頓正則方程引入引入H為哈密頓函數(shù)46哈密頓正則方程114哈密頓正則方程47Example1115Example148說(shuō)明：正則方程與L-方程完全等價(jià)。具有更廣泛的適用性廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量組成2s維的相空間三、能量積分和循環(huán)積分1.H函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于穩(wěn)定約束：H為總能量116說(shuō)明：正則方程與L-方程完全等價(jià)。具有更廣泛的適用性廣義坐標(biāo)2.能量積分2.循環(huán)積分1172.能量積分2.循環(huán)積分50rRθOO’AA’φD5.24118rRθOO’AA’φD5.245111952§5.6泊松括號(hào)一、泊松括號(hào)的定義和性質(zhì)泊松括號(hào)：120§5.6泊松括號(hào)一、泊松括號(hào)的定義和性質(zhì)泊松括號(hào)：53二、泊松括號(hào)與正則方程1.正則方程的泊松表達(dá)式正則方程121二、泊松括號(hào)與正則方程1.正則方程的泊松表達(dá)式正則方程542.運(yùn)動(dòng)積分定理：若函數(shù)