分析力學課件

第五章分析力學§5.1約束與廣義坐標§5.2虛功原理§5.3拉格朗日方程§5.5哈密頓正則方程§5.6泊松括號與泊松定理§5.7哈密頓原理1第五章分析力學§5.1約束與廣義坐標1§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(哈密頓)拉格朗日:1788年:《分析力學》.全書沒有一張圖,是完全用數(shù)學分析來解決所有的力學問題.哈密頓:1834年：哈密頓正則方程；1843年：哈密頓原理。其它人的貢獻：如莫培督、歐拉、高斯、雅科畢等人2§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(分析力學：以變分原理為基礎，以動能和勢能為基本量，從力學體系的一切可能運動中尋找真實運動的學科變分原理虛功原理達朗伯原理哈密頓原理一切可能運動：指力學體系在約束許可下可能存在的運動基本量均是標量3分析力學：以變分原理為基礎，以動能和勢能為基本量，從力學變分矢量力學和分析力學的區(qū)別與聯(lián)系4矢量力學和分析力學的區(qū)別與聯(lián)系4§5.1約束與廣義坐標一、約束及分類1.力學體系：有相互作用的大量質點組成的體系。2.約束：加在體系上限制其運動（位置和速度）的條件。約束方程：如：小蟲在吹著的氣球上運動，自由體系：力學體系的運動狀態(tài)完全由主動力和初始條件決定非自由體系：力學體系的運動狀態(tài)受某些預先給定的幾何上或運動學上的限制。5§5.1約束與廣義坐標一、約束及分類1.力學體系：有3.分類：1)幾何約束和運動約束僅限制體系位置——幾何約束不僅限制位置，且限制速度——運動約束，或稱微分約束xyoCm63.分類：1)幾何約束和運動約束僅限制體系位置——幾何約AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束不是時間的函數(shù)不穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束是時間的函數(shù)3）可解和不可解約束o點固定不動nmolnmol7AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體

例:冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個質點,并設兩質點質量相等,桿長為l,當冰刀在冰面上運動時,質心(桿的中點)的速度只能沿桿的方向.選兩質點在冰面上的坐標為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為OyxvABAy1y2x1x24）完整約束和非完整約束

完整約束：幾何約束和可積的運動約束非完整約束：不可積的運動約束完整體系，非完整體系8例:冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛n個質點系統(tǒng)由n個位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個直角坐標，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統(tǒng)存在k個完整約束:二、自由度、廣義坐標

獨立坐標個數(shù)：3n-kl1xyO如何選擇獨立坐標？①④②③9n個質點系統(tǒng)由n個位矢rl,r2,…,rn確定，或由自由度：確定一力學體系的運動（或位形）所需求的獨立坐標變量個數(shù)，叫體系的自由度。廣義坐標：若體系有k個完整約束，則有3n-k個獨立坐標，引進s個獨立坐標q1,q2…qs稱q1,q2…qs為廣義坐標注：1）qα不一定是線量

2）qα可自由選取，不一定是3n中的s個，但必須方便確定體系的位置，選擇不止一種。

3）幾何約束下，獨立坐標數(shù)=自由度=廣義坐標數(shù)=3n-k10自由度：確定一力學體系的運動（或位形）所需求的獨立坐標變量個§5.2虛功原理一、實位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo虛位移：在約束許可下，某一時刻質點可能發(fā)生的微小位移說明：(1).虛位移的產生不需要時間dt=0,而實位移必須有時間間隔；(2).只要滿足約束條件，虛位移可能不止一個；11§5.2虛功原理一、實位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo(3).

對于穩(wěn)定約束，實位移是虛位移中的一個；對于不穩(wěn)定約束，實位移不在虛位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’mmt時刻t+dt時刻12(3).對于穩(wěn)定約束，實位移是虛位移中的一個；f(x,y,二、理想約束3.常見理想約束1)光滑曲面，曲線4)光滑鉸鏈3)不可伸長的輕繩2)剛性桿hnnnABC13二、理想約束3.常見理想約束4)光滑鉸鏈3)不可伸長的輕繩三、虛功原理：2.證明:a.必要性

（1）有一受k個穩(wěn)定的約束體系，處于平衡狀態(tài)，對每一質點均有b.充分性。反證法結果與（1）矛盾，因此，體系應該靜止14三、虛功原理：2.證明:a.必要性（1）有一例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby15例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby13.廣義坐標下的虛功原理（3）(4)（5）163.廣義坐標下的虛功原理（3）(4)（5）16若作用在體系上的主動力均為保守力，則體系的勢能為相應的主動力：（6）(5)說明：（1）廣義力的個數(shù)=自由度個數(shù)=廣義坐標個數(shù)；（2）廣義力的量綱可以是力，力矩等的量綱17若作用在體系上的主動力均為保守力，則體系的勢能為相應的主動力p206例1：求平衡時，α，β與主動力之間的關系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB解一：18p206例1：求平衡時，α，β與主動力之間的關系oyxP2解二：19解二：19例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個重為P和Q的小球，此二球用長為2l的不伸長繩子連接，不計摩擦。求平衡時繩與水平線所成之角nnoxy解：（1）確定自由度s=1,廣義坐標（3）寫出主動力作用點坐標（1）(2)（3）20例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個重為P和Q的小§5.3Lagrange方程一、動力學的普遍方程1.D’Alembert-Lagrenge方程體系由n個質點組成，每個質點有稱為D’Alembert-Lagrenge方程稱達朗伯原理21§5.3Lagrange方程一、動力學的普遍方程1Chapter222二、基本的拉格朗日方程

廣義力22Chapter222二、基本的拉格朗日方程廣義力2223232323證明：24證明：24各項的物理意義：可見L方程是以qα為變量的s個二階線性微分方程組,方程個數(shù)=自由度數(shù)，約束越多，自由度越少，方程越少，只要寫出T，Qα，代入方程即可得到運動方程.適用條件：理想的完整體系25各項的物理意義：可見L方程是以qα為變量的ξηζryx0例1.質點P受力F，求相對運動微分方程（非保守系）（P217）解：1）選廣義坐標x,y,z;2)求T,Qα3)代入L-方程26ξηζryx0例1.質點P受力F，求相對運動微分方解：1）例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣義坐標2）寫出T，Qα

27例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣3)代入方程283)代入方程282929三、保守系的L-方程保守體系的L方程30三、保守系的L-方程保守體系的L方程30例子：在光滑的水平面上放置一質量為M的三棱柱，一個質量為m的均質圓柱嚴三棱柱的斜面無滑動地滾動。已經斜面傾角為α，求三棱柱的加速度。解：（1）分析約束：三個約束；確定自由度

s=2，確定廣義坐標：x,x1(2)分析受力情況(3)寫出T，V，Lαhh(x,y)mMyxo31例子：在光滑的水平面上放置一質量為M的三棱柱，一個質量為m的(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標為循環(huán)坐標。運用L-方程求解問題時應注意的問題：i).使用的條件：（a）理想、完整約束；（b）保守、理想、完整約束。ii).動能的表達式T應是廣義坐標、廣義速度及時間的函數(shù)；動能是對慣性系而言的，應為絕對動能。33四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標為循環(huán)坐標如有心力場中，θ為循環(huán)坐標又如上例：水平方向動量守恒34如有心力場中，θ為循環(huán)坐標又如上例：水平方向動量守恒34四、能量積分設一完整保守系，有s個自由度35四、能量積分設一完整保守系，有s個自由度351.齊次歐拉定理：應用齊次歐拉定理：361.齊次歐拉定理：應用齊次歐拉定理：362.廣義能量積分令廣義能量372.廣義能量積分令廣義能量37則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t表明時間變更不影響L，表明L的時間均勻性——廣義能量守恒。能量守恒38則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t例:習題5.6解:選q=θ為廣義坐標約束方程：是非穩(wěn)定約束θ不是循環(huán)坐標，L中不顯含t,有廣義能量積分.oxyθcM(x,y)aωtω39例:習題5.6解:選q=θ為廣義坐標約束方程：是非穩(wěn)定約束例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動，二另一物體P2則由一無重量的桿子與之相連，并在鉛直面內擺動。假設二物體的質量分別為m1和m2,輕桿長為l,求體系的運動規(guī)律。no

yx解：分析約束，s=2,廣義坐標：保守、理想、完整體系為循環(huán)坐標,因此有：積分一次上式(1)40例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動，二另一物體P2則由一無重代人L-方程(2)41代人L-方程(2)41例5.9：求運動方程zyxoθαrz42例5.9：求運動方程zyxoθαrz425.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’435.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv4444§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入新變量引入新函數(shù)G：比較（4）和（5），有：45§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入二、哈密頓正則方程引入新變量引入新函數(shù)H為哈密頓函數(shù)46二、哈密頓正則方程引入引入H為哈密頓函數(shù)46哈密頓正則方程47哈密頓正則方程47Example148Example148說明：正則方程與L-方程完全等價。具有更廣泛的適用性廣義坐標和廣義動量組成2s維的相空間三、能量積分和循環(huán)積分1.H函數(shù)的性質對于穩(wěn)定約束：H為總能量49說明：正則方程與L-方程完全等價。具有更廣泛的適用性廣義坐標2.能量積分2.循環(huán)積分502.能量積分2.循環(huán)積分50rRθOO’AA’φD5.2451rRθOO’AA’φD5.24515252§5.6泊松括號一、泊松括號的定義和性質泊松括號：53§5.6泊松括號一、泊松括號的定義和性質泊松括號：53二、泊松括號與正則方程1.正則方程的泊松表達式正則方程54二、泊松括號與正則方程1.正則方程的泊松表達式正則方程542.運動積分定理：若函數(shù)，則為哈密頓正則方程的一個運動積分證明：先從線性偏微分方程：u=c（constant)的偏微分方程的解552.運動積分定理：若函數(shù)三、泊松定理定理：若和是正則方程的兩個運動積分，那么和組成的泊松括號也是正則方程的一個運動積分。證明：？56三、泊松定理定理：若example57example57§5.7哈密頓原理力學原理變分原理：從一切可能的運動中尋找真實運動。變分不變分微分（虛功原理）積分（哈密頓原理）微分（達朗伯原理）積分（機械能守恒）公元二世紀提出光的量小化原理，1657費馬修訂1747年莫培督提出最小作用量原理1828年高斯-最小拘束原理赫芝-最小曲率原理1834年-Hamiltonprinciple58§5.7哈密頓原理力學原理變分原理：從一切可能的運動中尋找一、變分法的基本運算運算法則：59一、變分法的基本運算運算法則：59二、哈密頓原理1.位形空間：以s個廣義坐標組成的s維空間，每一個點表示體系各質點的獨立位置。2.保守系的哈密頓原理哈密頓作用量：也稱力學體系的主函數(shù)。哈密頓原理：適用條件：保守完整系60二、哈密頓原理1.位形空間：以s個廣義坐標組成的s維空間，例.由L方程推出哈密頓原理61例.由L方程推出哈密頓原理61例.由H原理推出L方程62例.由H原理推出L方程62例：5.31zyxoθαrz63例：5.31zyxoθαrz63646465651.24)質量為m與2m的兩質點,為一不可伸長的輕繩所聯(lián)結,繩掛在一光滑的滑輪上.在m的下端又用固有長度為a倔強系數(shù)k為mg/a的彈性繩掛上另外一個質量為m的質點.在開始時,全體保持豎立,原來的非彈性繩拉緊,而有彈性的繩則處在固有長度上.由此靜止狀態(tài)釋放后,求證這運動是簡諧的,并求出其振動周期τ及任何時刻兩段繩中的張力T及T’.解:取坐標軸向下為正.對應三點表示如圖TTT’T’2mmmox如何運用機械能守恒求解？661.24)質量為m與2m的兩質點,為一不可伸長的輕繩所聯(lián)結1.40)一質點受一與距離成反比的引力作用在一直線上運動,質點的質量為m,比例系數(shù)為k.如此質點從距原點O為a的地方由靜止開始運動,求其達到O點所需的時間.解:已知運動微分方程671.40)一質點受一與距離成反比的引力作用在一直線上運動,第五章分析力學§5.1約束與廣義坐標§5.2虛功原理§5.3拉格朗日方程§5.5哈密頓正則方程§5.6泊松括號與泊松定理§5.7哈密頓原理68第五章分析力學§5.1約束與廣義坐標1§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(哈密頓)拉格朗日:1788年:《分析力學》.全書沒有一張圖,是完全用數(shù)學分析來解決所有的力學問題.哈密頓:1834年：哈密頓正則方程；1843年：哈密頓原理。其它人的貢獻：如莫培督、歐拉、高斯、雅科畢等人69§5.0引言Lagrange(拉格朗日)Hamilton(分析力學：以變分原理為基礎，以動能和勢能為基本量，從力學體系的一切可能運動中尋找真實運動的學科變分原理虛功原理達朗伯原理哈密頓原理一切可能運動：指力學體系在約束許可下可能存在的運動基本量均是標量70分析力學：以變分原理為基礎，以動能和勢能為基本量，從力學變分矢量力學和分析力學的區(qū)別與聯(lián)系71矢量力學和分析力學的區(qū)別與聯(lián)系4§5.1約束與廣義坐標一、約束及分類1.力學體系：有相互作用的大量質點組成的體系。2.約束：加在體系上限制其運動（位置和速度）的條件。約束方程：如：小蟲在吹著的氣球上運動，自由體系：力學體系的運動狀態(tài)完全由主動力和初始條件決定非自由體系：力學體系的運動狀態(tài)受某些預先給定的幾何上或運動學上的限制。72§5.1約束與廣義坐標一、約束及分類1.力學體系：有3.分類：1)幾何約束和運動約束僅限制體系位置——幾何約束不僅限制位置，且限制速度——運動約束，或稱微分約束xyoCm733.分類：1)幾何約束和運動約束僅限制體系位置——幾何約AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束不是時間的函數(shù)不穩(wěn)定約束：限制體系位置的約束是時間的函數(shù)3）可解和不可解約束o點固定不動nmolnmol74AyxOLAyxO2）穩(wěn)定約束和不穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束：限制體

例:冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛性輕桿相連的兩個質點,并設兩質點質量相等,桿長為l,當冰刀在冰面上運動時,質心(桿的中點)的速度只能沿桿的方向.選兩質點在冰面上的坐標為(x1,y1)和(x2,y2)，則約束條件為OyxvABAy1y2x1x24）完整約束和非完整約束

完整約束：幾何約束和可積的運動約束非完整約束：不可積的運動約束完整體系，非完整體系75例:冰面上滑行的冰刀的簡化模型.假定將冰刀抽象為以剛n個質點系統(tǒng)由n個位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個直角坐標，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示.如果該系統(tǒng)存在k個完整約束:二、自由度、廣義坐標

獨立坐標個數(shù)：3n-kl1xyO如何選擇獨立坐標？①④②③76n個質點系統(tǒng)由n個位矢rl,r2,…,rn確定，或由自由度：確定一力學體系的運動（或位形）所需求的獨立坐標變量個數(shù)，叫體系的自由度。廣義坐標：若體系有k個完整約束，則有3n-k個獨立坐標，引進s個獨立坐標q1,q2…qs稱q1,q2…qs為廣義坐標注：1）qα不一定是線量

2）qα可自由選取，不一定是3n中的s個，但必須方便確定體系的位置，選擇不止一種。

3）幾何約束下，獨立坐標數(shù)=自由度=廣義坐標數(shù)=3n-k77自由度：確定一力學體系的運動（或位形）所需求的獨立坐標變量個§5.2虛功原理一、實位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo虛位移：在約束許可下，某一時刻質點可能發(fā)生的微小位移說明：(1).虛位移的產生不需要時間dt=0,而實位移必須有時間間隔；(2).只要滿足約束條件，虛位移可能不止一個；78§5.2虛功原理一、實位移和虛位移P(x,y,z)sxyzo(3).

對于穩(wěn)定約束，實位移是虛位移中的一個；對于不穩(wěn)定約束，實位移不在虛位移之列.f(x,y,z,t)f(x,y,z,t+dt)δrdrPP’mmt時刻t+dt時刻79(3).對于穩(wěn)定約束，實位移是虛位移中的一個；f(x,y,二、理想約束3.常見理想約束1)光滑曲面，曲線4)光滑鉸鏈3)不可伸長的輕繩2)剛性桿hnnnABC80二、理想約束3.常見理想約束4)光滑鉸鏈3)不可伸長的輕繩三、虛功原理：2.證明:a.必要性

（1）有一受k個穩(wěn)定的約束體系，處于平衡狀態(tài)，對每一質點均有b.充分性。反證法結果與（1）矛盾，因此，體系應該靜止81三、虛功原理：2.證明:a.必要性（1）有一例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby82例1：輕桿在圖示中受兩力作用下處于平衡，用虛功原理求aby13.廣義坐標下的虛功原理（3）(4)（5）833.廣義坐標下的虛功原理（3）(4)（5）16若作用在體系上的主動力均為保守力，則體系的勢能為相應的主動力：（6）(5)說明：（1）廣義力的個數(shù)=自由度個數(shù)=廣義坐標個數(shù)；（2）廣義力的量綱可以是力，力矩等的量綱84若作用在體系上的主動力均為保守力，則體系的勢能為相應的主動力p206例1：求平衡時，α，β與主動力之間的關系oyxP2αFP1β(x1,y1)(x2,y2)AB解一：85p206例1：求平衡時，α，β與主動力之間的關系oyxP2解二：86解二：19例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個重為P和Q的小球，此二球用長為2l的不伸長繩子連接，不計摩擦。求平衡時繩與水平線所成之角nnoxy解：（1）確定自由度s=1,廣義坐標（3）寫出主動力作用點坐標（1）(2)（3）87例3.在半徑為r的鉛垂半圓形鋼絲上，穿兩個重為P和Q的小§5.3Lagrange方程一、動力學的普遍方程1.D’Alembert-Lagrenge方程體系由n個質點組成，每個質點有稱為D’Alembert-Lagrenge方程稱達朗伯原理88§5.3Lagrange方程一、動力學的普遍方程1Chapter289二、基本的拉格朗日方程

廣義力89Chapter222二、基本的拉格朗日方程廣義力2290902323證明：91證明：24各項的物理意義：可見L方程是以qα為變量的s個二階線性微分方程組,方程個數(shù)=自由度數(shù)，約束越多，自由度越少，方程越少，只要寫出T，Qα，代入方程即可得到運動方程.適用條件：理想的完整體系92各項的物理意義：可見L方程是以qα為變量的ξηζryx0例1.質點P受力F，求相對運動微分方程（非保守系）（P217）解：1）選廣義坐標x,y,z;2)求T,Qα3)代入L-方程93ξηζryx0例1.質點P受力F，求相對運動微分方解：1）例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣義坐標2）寫出T，Qα

94例：5.12ABFCxyθmgO2a解：1）確定自由度，選廣3)代入方程953)代入方程289629三、保守系的L-方程保守體系的L方程97三、保守系的L-方程保守體系的L方程30例子：在光滑的水平面上放置一質量為M的三棱柱，一個質量為m的均質圓柱嚴三棱柱的斜面無滑動地滾動。已經斜面傾角為α，求三棱柱的加速度。解：（1）分析約束：三個約束；確定自由度

s=2，確定廣義坐標：x,x1(2)分析受力情況(3)寫出T，V，Lαhh(x,y)mMyxo98例子：在光滑的水平面上放置一質量為M的三棱柱，一個質量為m的(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程99(4)由保守系下的拉格朗日方程得到加速度L-方程32四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標為循環(huán)坐標。運用L-方程求解問題時應注意的問題：i).使用的條件：（a）理想、完整約束；（b）保守、理想、完整約束。ii).動能的表達式T應是廣義坐標、廣義速度及時間的函數(shù)；動能是對慣性系而言的，應為絕對動能。100四、循環(huán)積分如在L函數(shù)中，不顯含qα，則該坐標為循環(huán)坐標如有心力場中，θ為循環(huán)坐標又如上例：水平方向動量守恒101如有心力場中，θ為循環(huán)坐標又如上例：水平方向動量守恒34四、能量積分設一完整保守系，有s個自由度102四、能量積分設一完整保守系，有s個自由度351.齊次歐拉定理：應用齊次歐拉定理：1031.齊次歐拉定理：應用齊次歐拉定理：362.廣義能量積分令廣義能量1042.廣義能量積分令廣義能量37則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t表明時間變更不影響L，表明L的時間均勻性——廣義能量守恒。能量守恒105則1）L中不顯含t，叫廣義能量守恒2）穩(wěn)定體系，不顯含t例:習題5.6解:選q=θ為廣義坐標約束方程：是非穩(wěn)定約束θ不是循環(huán)坐標，L中不顯含t,有廣義能量積分.oxyθcM(x,y)aωtω106例:習題5.6解:選q=θ為廣義坐標約束方程：是非穩(wěn)定約束例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動，二另一物體P2則由一無重量的桿子與之相連，并在鉛直面內擺動。假設二物體的質量分別為m1和m2,輕桿長為l,求體系的運動規(guī)律。no

yx解：分析約束，s=2,廣義坐標：保守、理想、完整體系為循環(huán)坐標,因此有：積分一次上式(1)107例子：有一物體P1沿光滑水平面滑動，二另一物體P2則由一無重代人L-方程(2)108代人L-方程(2)41例5.9：求運動方程zyxoθαrz109例5.9：求運動方程zyxoθαrz425.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv’1105.7s=1(約束方程x2=4ay)xyoωxmgPv11144§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入新變量引入新函數(shù)G：比較（4）和（5），有：112§5.5Hamilton正則方程一、勒襄特變換（1）引入二、哈密頓正則方程引入新變量引入新函數(shù)H為哈密頓函數(shù)113二、哈密頓正則方程引入引入H為哈密頓函數(shù)46哈密頓正則方程114哈密頓正則方程47Example1115Example148說明：正則方程與L-方程完全等價。具有更廣泛的適用性廣義坐標和廣義動量組成2s維的相空間三、能量積分和循環(huán)積分1.H函數(shù)的性質對于穩(wěn)定約束：H為總能量116說明：正則方程與L-方程完全等價。具有更廣泛的適用性廣義坐標2.能量積分2.循環(huán)積分1172.能量積分2.循環(huán)積分50rRθOO’AA’φD5.24118rRθOO’AA’φD5.245111952§5.6泊松括號一、泊松括號的定義和性質泊松括號：120§5.6泊松括號一、泊松括號的定義和性質泊松括號：53二、泊松括號與正則方程1.正則方程的泊松表達式正則方程121二、泊松括號與正則方程1.正則方程的泊松表達式正則方程542.運動積分定理：若函數(shù)