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第2章線性表及其順序存儲(chǔ)線性表順序表?xiàng)j?duì)列1第2章線性表及其順序存儲(chǔ)線性表順序表?xiàng)j?duì)列1線性表是一種常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),本章介紹線性表及其順序存儲(chǔ),并對(duì)棧和隊(duì)列及它們的順序?qū)崿F(xiàn)給出了詳細(xì)的設(shè)計(jì)描述。2.1線性表
線性表是一個(gè)線性結(jié)構(gòu),它是一個(gè)含有n≥0個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限序列,一般地,一個(gè)線性表可以表示成一個(gè)線性序列:k1,k2,…,kn,其中k1是開始結(jié)點(diǎn),kn是終端結(jié)點(diǎn)。2線性表是一種常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),本章介紹線性表及其順序存儲(chǔ),并對(duì)例1、26個(gè)英文字母組成的字母表(A,B,C、…、Z)例2、某校從1978年到1983年各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)擁有量的變化情況。(6,17,28,50,92,188)3例1、26個(gè)英文字母組成的字母表例2、某校從1978年到19姓名學(xué)號(hào)性別年齡健康情況王小林790631男18健康陳紅790632女20一般劉建平790633男21健康張立立790634男17貧血……..……..…….…….…….例3學(xué)生健康情況登記表如下:4姓名學(xué)號(hào)性別年齡健康情況王小林7例4、一副撲克的點(diǎn)數(shù)(2,3,4,…,J,Q,K,A)從以上例子可看出線性表的邏輯特征是:在非空的線性表,有且僅有一個(gè)開始結(jié)點(diǎn)a1,它沒有直接前趨,而僅有一個(gè)直接后繼a2;有且僅有一個(gè)終端結(jié)點(diǎn)an,它沒有直接后繼,而僅有一個(gè)直接前趨an-1;其余的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)ai(2≦i≦n-1)都有且僅有一個(gè)直接前趨ai-1和一個(gè)直接后繼ai+1。線性表是一種典型的線性結(jié)構(gòu)。5例4、一副撲克的點(diǎn)數(shù)52.2.1順序表
線性表采用順序存儲(chǔ)的方式存儲(chǔ)就稱之為順序表。
順序表是將表中的結(jié)點(diǎn)依次存放在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中一組地址連續(xù)的存儲(chǔ)單元中。2.2順序表順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)如下圖所示:
存儲(chǔ)地址location(k1)location(k1)+(i-1)len結(jié)點(diǎn)序號(hào)12inlenlen……len……lenk1k2kikn內(nèi)存狀況62.2.1順序表線性表采用順序存儲(chǔ)的方式存儲(chǔ)就稱之為順序表一個(gè)一維數(shù)組M,下標(biāo)的范圍是0到9,每個(gè)數(shù)組元素用相鄰的5個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)。存儲(chǔ)器按字節(jié)編址,設(shè)存儲(chǔ)數(shù)組元素M[0]的第一個(gè)字節(jié)的地址是98
,則M[3]的第一個(gè)字節(jié)的地址是113例1因此:LOC(M[3])=98+5×3=113解:地址計(jì)算通式為:LOC(ai)=LOC(a0)+L*i如順序表的每個(gè)結(jié)點(diǎn)占用len個(gè)內(nèi)存單元,用location(ki)表示順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)ki所占內(nèi)存空間的第1個(gè)單元的地址。則有如下的關(guān)系 location(ki+1)=location(ki)+len location(ki)=location(k1)+(i-1)len7一個(gè)一維數(shù)組M,下標(biāo)的范圍是0到9,每個(gè)數(shù)組元素用相鄰的5個(gè)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)要體現(xiàn)數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中,內(nèi)存中物理地址相鄰的結(jié)點(diǎn)一定具有順序表中的邏輯關(guān)系。8存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)要體現(xiàn)數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)82.2.2順序表的實(shí)現(xiàn)用C語言中的數(shù)組存儲(chǔ)順序表。C語言中數(shù)組的下標(biāo)是從0開始的,即數(shù)組中下標(biāo)為0的元素對(duì)應(yīng)的是順序表中的第1個(gè)結(jié)點(diǎn),數(shù)組中下標(biāo)為i的元素對(duì)應(yīng)的是順序表中的第i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。為了方便,將順序表中各結(jié)點(diǎn)的序號(hào)改為和對(duì)應(yīng)數(shù)組元素的下標(biāo)序號(hào)一致,即將順序表中各結(jié)點(diǎn)的序號(hào)從0開始編號(hào)。這樣,一個(gè)長度為n的順序表可以表示為{k0,k1,k2,…,kn-1}92.2.2順序表的實(shí)現(xiàn)用C語言中的數(shù)組存儲(chǔ)順序表。9順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的C語言描述如下:/*順序表的頭文件,文件名sequlist.h*/#defineMAXSIZE10typedefintdatatype;typedefstruct{datatypea[MAXSIZE];intsize;}sequence_list;表長10順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的C語言描述如下:表長10順序表的幾個(gè)基本操作的具體實(shí)現(xiàn):///函數(shù)功能:順序表的初始化—置空表 //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //函數(shù)返回值:空 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:init() ///voidinit(sequence_listslt){slt->size=0;}算法2.1順序表的初始化---置空表11順序表的幾個(gè)基本操作的具體實(shí)現(xiàn):////函數(shù)功能:在順序表后部進(jìn)行插入操作 //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //datatype類型的變量x
//函數(shù)返回值:空 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:append() ///voidappend(sequence_listslt,datatypex){if(slt->size==MAXSIZE){printf("順序表是滿的!");exit(1);}slt->a[slt->size]=x;slt->size=slt->size+1;}算法2.2在順序表后部進(jìn)行插入操作12/打印順序表的各結(jié)點(diǎn)值
///函數(shù)功能:打印順序表的各結(jié)點(diǎn)值
//函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt
//函數(shù)返回值:空
//文件名:sequlist.c,函數(shù)名:display()
///voiddisplay(sequence_listslt){inti;if(!slt.size)printf("\n順序表是空的!");elsefor(i=0;i<slt.size;i++) printf("%5d",slt.a[i]);}算法2.3打印順序表的各結(jié)點(diǎn)值13/判斷順序表是否為空
///函數(shù)功能:判斷順序表是否為空 //函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt //函數(shù)返回值:int類型。1表示空,0表示非空 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:empty()
///intempty(sequence_listslt){ return (slt.size==0?1:0);}算法2.4判斷順序表是否為空14判斷順序表是否為空/查找順序表中值為x的結(jié)點(diǎn)位置
///函數(shù)功能:查找順序表中值為x的結(jié)點(diǎn)位置 //函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt,datatype型變量x //函數(shù)返回值:int類型。返回x的位置值,-1表示沒找到 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:find() ///intfind(sequence_listslt,datatypex){inti=0;while(i<slt.size&&slt.a[i]!=x)i++;return(i<slt.size?i:?1);}算法2.5查找順序表中值為x的結(jié)點(diǎn)位置15/取得順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值
///函數(shù)功能:取得順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值 //函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt,int型變量i //函數(shù)返回值:datatype類型。返回第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:get()
///datatypeget(sequence_listslt,inti){if(i<0||i>=slt.size){printf("\n指定位置的結(jié)點(diǎn)不存在!");exit(1);}elsereturnslt.a[i];}算法2.6取得順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值16/
順序表的插入運(yùn)算是將一個(gè)值為x的結(jié)點(diǎn)插入到順序表的第p個(gè)位置0≤p≤n,即將x插入到kp-1和kp之間,一般地可表示為: 插入前:{k0,k1,…,kp-1,kp,…,kn-1}
插入后:{k0,k1,…,kp-1,x,kp,…,kn-1}插入過程的圖示見下圖:
kik0k1ki-1kn-1k0k1ki-1kn-1xki后移開始位置后移結(jié)束位置插入前插入后p+1nppp-1p-117順序表的插入運(yùn)算是將一個(gè)值為x的結(jié)點(diǎn)插入到順///函數(shù)功能:在順序表的position位置插入值為x的結(jié)點(diǎn) //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //datatype型變量x,int型變量position //函數(shù)返回值:空文件名:sequlist.c,函數(shù)名:insert()///voidinsert(sequence_listslt,datatypex,intposition){inti;if(slt->size==MAXSIZE) {printf("\n順序表是滿的!沒法插入!");exit(1);}if(position<0||position>slt->size) {printf("\n指定的插入位置不存在!");exit(1);}for(i=slt->size;i>position;i--)slt->a[i]=slt->a[i?1];slt->a[position]=x;slt->size++;}算法2.7在順序表的position位置插入值為x的結(jié)點(diǎn)18/算法2.7中,所花費(fèi)的時(shí)間主要是元素后移操作,對(duì)于在第i個(gè)位置上插入一個(gè)新的元素,需要移動(dòng)(n-i)個(gè)元素,設(shè)在第i個(gè)位置上插入一個(gè)元素的概率為pi,且在任意一個(gè)位置上插入元素的概率相等,即p0=p1=p2=…=pn=1/(n+1),則在一個(gè)長度為n的順序表中插入一個(gè)元素所需的平均移動(dòng)次數(shù)為:
即在長度為n的順序表中插入一個(gè)元素平均需要移動(dòng)表中的一半元素。該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。19算法2.7中,所花費(fèi)的時(shí)間主要是元素后移操作,對(duì)于在第i個(gè)位
順序表的刪除操作是指刪除順序表中的第i個(gè)結(jié)點(diǎn),0≤i≤n-1,一般地可表示為:刪除前:{k0,k1,…,ki-1,ki,ki+1,,…,kn-1}刪除后:{k0,k1,…,ki-1,ki+1,…,kn-1}
刪除過程的圖示見下圖:kik0k1ki-1kn-1k0k1ki-1kn-1ki+1前移結(jié)束位置前移開始位置刪除前刪除后ki+120順序表的刪除操作是指刪除順序表中的第i個(gè)結(jié)點(diǎn),0≤i刪除操作的具體實(shí)現(xiàn)見算法2.8///函數(shù)功能:刪除順序表中第position位置的結(jié)點(diǎn) //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //int型變量position //函數(shù)返回值:空文件名:sequlist.c,函數(shù)名:dele()///voiddele(sequence_listslt,intposition){inti;if(slt->size==0) {printf("\n順序表是空的!");exit(1);}if(position<0||position>=slt->size) {printf("\n指定的刪除位置不存在!");exit(1);}for(i=position;i<slt->size-1;i++)slt->a[i]=slt->a[i+1];slt->size--;}算法2.8刪除順序表中第position位置的結(jié)點(diǎn)
21刪除操作的具體實(shí)現(xiàn)見算法2.8/
要?jiǎng)h除順序表中的第i個(gè)結(jié)點(diǎn),則需要稱動(dòng)(n-i-1)個(gè)元素,設(shè)刪除表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的概率為qi,且在表中每一個(gè)位置刪除的概率相等,即:q0=q1=…=qn-1=1/n則在一個(gè)長度為n的順序表中刪除一個(gè)結(jié)點(diǎn)的平均移動(dòng)次數(shù)為:在一個(gè)長為n的順序表中刪除一個(gè)元素平均需要移動(dòng)表中大約一半的元素。該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)22要?jiǎng)h除順序表中的第i個(gè)結(jié)點(diǎn),則需要稱動(dòng)(n-i-1)個(gè)元素(1)voidverge(sequence_listl)將順序表L就地轉(zhuǎn)置,即借助于O(1)的輔助空間。(2)voidsprit(sequence_lsit*l1,sequence_list*l2,sequence_list*l3)[略]將有序順序表L1分裂成兩個(gè)線性表L2與L3,L2由表中所奇數(shù)組成,L3由所有偶數(shù)組成。順序表上的一些其它常見算法(3)voidmerge(sequence_lsit*l1,sequence_list*l2,sequence_list*l3)將有序順序表L1與L2合并成有序順序表L3。23(1)voidverge(sequence_listl作業(yè)P33\2.4voidreverse(Sequence_list*slt)2.5voidinsert_order(Sequence_list*slt,datatypex)下次上課課前交24作業(yè)P33\2.4voidreverse(Sequenc第2章線性表及其順序存儲(chǔ)線性表順序表?xiàng)j?duì)列25第2章線性表及其順序存儲(chǔ)線性表順序表?xiàng)j?duì)列1線性表是一種常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),本章介紹線性表及其順序存儲(chǔ),并對(duì)棧和隊(duì)列及它們的順序?qū)崿F(xiàn)給出了詳細(xì)的設(shè)計(jì)描述。2.1線性表
線性表是一個(gè)線性結(jié)構(gòu),它是一個(gè)含有n≥0個(gè)結(jié)點(diǎn)的有限序列,一般地,一個(gè)線性表可以表示成一個(gè)線性序列:k1,k2,…,kn,其中k1是開始結(jié)點(diǎn),kn是終端結(jié)點(diǎn)。26線性表是一種常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),本章介紹線性表及其順序存儲(chǔ),并對(duì)例1、26個(gè)英文字母組成的字母表(A,B,C、…、Z)例2、某校從1978年到1983年各種型號(hào)的計(jì)算機(jī)擁有量的變化情況。(6,17,28,50,92,188)27例1、26個(gè)英文字母組成的字母表例2、某校從1978年到19姓名學(xué)號(hào)性別年齡健康情況王小林790631男18健康陳紅790632女20一般劉建平790633男21健康張立立790634男17貧血……..……..…….…….…….例3學(xué)生健康情況登記表如下:28姓名學(xué)號(hào)性別年齡健康情況王小林7例4、一副撲克的點(diǎn)數(shù)(2,3,4,…,J,Q,K,A)從以上例子可看出線性表的邏輯特征是:在非空的線性表,有且僅有一個(gè)開始結(jié)點(diǎn)a1,它沒有直接前趨,而僅有一個(gè)直接后繼a2;有且僅有一個(gè)終端結(jié)點(diǎn)an,它沒有直接后繼,而僅有一個(gè)直接前趨an-1;其余的內(nèi)部結(jié)點(diǎn)ai(2≦i≦n-1)都有且僅有一個(gè)直接前趨ai-1和一個(gè)直接后繼ai+1。線性表是一種典型的線性結(jié)構(gòu)。29例4、一副撲克的點(diǎn)數(shù)52.2.1順序表
線性表采用順序存儲(chǔ)的方式存儲(chǔ)就稱之為順序表。
順序表是將表中的結(jié)點(diǎn)依次存放在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中一組地址連續(xù)的存儲(chǔ)單元中。2.2順序表順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)如下圖所示:
存儲(chǔ)地址location(k1)location(k1)+(i-1)len結(jié)點(diǎn)序號(hào)12inlenlen……len……lenk1k2kikn內(nèi)存狀況302.2.1順序表線性表采用順序存儲(chǔ)的方式存儲(chǔ)就稱之為順序表一個(gè)一維數(shù)組M,下標(biāo)的范圍是0到9,每個(gè)數(shù)組元素用相鄰的5個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)。存儲(chǔ)器按字節(jié)編址,設(shè)存儲(chǔ)數(shù)組元素M[0]的第一個(gè)字節(jié)的地址是98
,則M[3]的第一個(gè)字節(jié)的地址是113例1因此:LOC(M[3])=98+5×3=113解:地址計(jì)算通式為:LOC(ai)=LOC(a0)+L*i如順序表的每個(gè)結(jié)點(diǎn)占用len個(gè)內(nèi)存單元,用location(ki)表示順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)ki所占內(nèi)存空間的第1個(gè)單元的地址。則有如下的關(guān)系 location(ki+1)=location(ki)+len location(ki)=location(k1)+(i-1)len31一個(gè)一維數(shù)組M,下標(biāo)的范圍是0到9,每個(gè)數(shù)組元素用相鄰的5個(gè)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)要體現(xiàn)數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中,內(nèi)存中物理地址相鄰的結(jié)點(diǎn)一定具有順序表中的邏輯關(guān)系。32存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)要體現(xiàn)數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)82.2.2順序表的實(shí)現(xiàn)用C語言中的數(shù)組存儲(chǔ)順序表。C語言中數(shù)組的下標(biāo)是從0開始的,即數(shù)組中下標(biāo)為0的元素對(duì)應(yīng)的是順序表中的第1個(gè)結(jié)點(diǎn),數(shù)組中下標(biāo)為i的元素對(duì)應(yīng)的是順序表中的第i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。為了方便,將順序表中各結(jié)點(diǎn)的序號(hào)改為和對(duì)應(yīng)數(shù)組元素的下標(biāo)序號(hào)一致,即將順序表中各結(jié)點(diǎn)的序號(hào)從0開始編號(hào)。這樣,一個(gè)長度為n的順序表可以表示為{k0,k1,k2,…,kn-1}332.2.2順序表的實(shí)現(xiàn)用C語言中的數(shù)組存儲(chǔ)順序表。9順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的C語言描述如下:/*順序表的頭文件,文件名sequlist.h*/#defineMAXSIZE10typedefintdatatype;typedefstruct{datatypea[MAXSIZE];intsize;}sequence_list;表長34順序表的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的C語言描述如下:表長10順序表的幾個(gè)基本操作的具體實(shí)現(xiàn):///函數(shù)功能:順序表的初始化—置空表 //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //函數(shù)返回值:空 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:init() ///voidinit(sequence_listslt){slt->size=0;}算法2.1順序表的初始化---置空表35順序表的幾個(gè)基本操作的具體實(shí)現(xiàn):////函數(shù)功能:在順序表后部進(jìn)行插入操作 //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //datatype類型的變量x
//函數(shù)返回值:空 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:append() ///voidappend(sequence_listslt,datatypex){if(slt->size==MAXSIZE){printf("順序表是滿的!");exit(1);}slt->a[slt->size]=x;slt->size=slt->size+1;}算法2.2在順序表后部進(jìn)行插入操作36/打印順序表的各結(jié)點(diǎn)值
///函數(shù)功能:打印順序表的各結(jié)點(diǎn)值
//函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt
//函數(shù)返回值:空
//文件名:sequlist.c,函數(shù)名:display()
///voiddisplay(sequence_listslt){inti;if(!slt.size)printf("\n順序表是空的!");elsefor(i=0;i<slt.size;i++) printf("%5d",slt.a[i]);}算法2.3打印順序表的各結(jié)點(diǎn)值37/判斷順序表是否為空
///函數(shù)功能:判斷順序表是否為空 //函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt //函數(shù)返回值:int類型。1表示空,0表示非空 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:empty()
///intempty(sequence_listslt){ return (slt.size==0?1:0);}算法2.4判斷順序表是否為空38判斷順序表是否為空/查找順序表中值為x的結(jié)點(diǎn)位置
///函數(shù)功能:查找順序表中值為x的結(jié)點(diǎn)位置 //函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt,datatype型變量x //函數(shù)返回值:int類型。返回x的位置值,-1表示沒找到 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:find() ///intfind(sequence_listslt,datatypex){inti=0;while(i<slt.size&&slt.a[i]!=x)i++;return(i<slt.size?i:?1);}算法2.5查找順序表中值為x的結(jié)點(diǎn)位置39/取得順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值
///函數(shù)功能:取得順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值 //函數(shù)參數(shù):sequence_list型變量slt,int型變量i //函數(shù)返回值:datatype類型。返回第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值 //文件名:sequlist.c,函數(shù)名:get()
///datatypeget(sequence_listslt,inti){if(i<0||i>=slt.size){printf("\n指定位置的結(jié)點(diǎn)不存在!");exit(1);}elsereturnslt.a[i];}算法2.6取得順序表中第i個(gè)結(jié)點(diǎn)的值40/
順序表的插入運(yùn)算是將一個(gè)值為x的結(jié)點(diǎn)插入到順序表的第p個(gè)位置0≤p≤n,即將x插入到kp-1和kp之間,一般地可表示為: 插入前:{k0,k1,…,kp-1,kp,…,kn-1}
插入后:{k0,k1,…,kp-1,x,kp,…,kn-1}插入過程的圖示見下圖:
kik0k1ki-1kn-1k0k1ki-1kn-1xki后移開始位置后移結(jié)束位置插入前插入后p+1nppp-1p-141順序表的插入運(yùn)算是將一個(gè)值為x的結(jié)點(diǎn)插入到順///函數(shù)功能:在順序表的position位置插入值為x的結(jié)點(diǎn) //函數(shù)參數(shù):指向sequence_list型變量的指針變量slt //datatype型變量x,int型變量position //函數(shù)返回值:空文件名:sequlist.c,函數(shù)名:insert()///voidinsert(sequence_listslt,datatypex,intposition){inti;if(slt->size==MAXSIZE) {printf("\n順序表是滿的!沒法插入!");exit(1);}if(position<0||position>slt->size) {printf("\n指定的插入位置不存在!");exit(1);}for(i=slt->size;i>position;i--)slt->a[i]=slt->a[i?1];slt->a[position]=x;slt->size++;}算法2.7在順序表的position位置插入值為x的結(jié)點(diǎn)42/算法2.7中,所花費(fèi)的時(shí)間主要是元素后移操作,對(duì)于在第i個(gè)位置上插入一個(gè)新的元素,需要移動(dòng)(n-i)個(gè)元素,設(shè)在第i個(gè)位置上插入一個(gè)元素的概率為pi,且在任意一個(gè)位置上插入元素的概率相等,即p0=p1=p2=…=pn=1/(n+1),則在一個(gè)長度為n的順序表中插入一個(gè)元素所需的平均移動(dòng)次數(shù)為:
即在長度為n的順序表中插入一個(gè)元素平均需要移動(dòng)表中的一半元素。該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。43算法2.7中,所花費(fèi)的時(shí)間主要是元素后移操作,對(duì)于在第i個(gè)位
順序表的刪除操作是指刪除順序表中的第i個(gè)結(jié)點(diǎn),0≤i≤n-1,一般地可表示為:刪除前:{k0,k1,
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