雞兔同籠問習(xí)題(教師版)

PAGE16雞兔同籠問題（假設(shè)法）（第一講）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有這樣的一道應(yīng)用題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各有幾何意思是說:雞和兔同關(guān)在一個籠子里，已知雞與兔共有35只，雞腳與兔腳共有94只，問雞、兔各有多少只這就是著名的雞兔同籠問題。怎樣解決這個問題呢?我們通常把題中相當(dāng)于“雞”和“兔”的兩種量，全部假設(shè)看作“雞”或“兔”，然后找出與實(shí)際數(shù)量的差，由此求出“雞”或“兔”，這種解決問題的方法就是假設(shè)法。雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置出來。解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：解法1：雞的只數(shù)=（每只兔腳數(shù)×兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)）兔的只數(shù)=總只數(shù)－雞的只數(shù)解法2：兔的只數(shù)=（總腳數(shù)－雞的腳數(shù)×總只數(shù)）÷（兔的腳數(shù)－雞的腳數(shù)）雞的只數(shù)=總只數(shù)－兔的只數(shù)例1、雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？

分析：假設(shè)46只都是兔，一共應(yīng)有4×46=184只腳，這和已知的128只腳相比多了184-128=56只腳。如果用一只雞來置換一只兔，就要減少4-2=2（只）腳。那么，46只兔里應(yīng)該換進(jìn)幾只雞才能使56只腳的差數(shù)就沒有了呢？顯然，56÷2=28，只要用28只雞去置換28只兔就行了。所以，雞的只數(shù)就是28，兔的只數(shù)是46－28=18。例2、小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16＝32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32＝12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數(shù)。解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。答：有6只兔，10只雞。我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16＝64（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數(shù)。有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16—10＝6（只）。※、雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

※、雞兔同籠,共有頭100個,足316只,那么雞有多少只兔有多少只※、雞兔同籠，共有30個頭，88只腳?；\子中雞、兔各有多少只？

※、雞與兔共40只，雞的腳數(shù)與兔的腳數(shù)共有90只。問雞、兔各多少只？

※、在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有40頭，從籠子下數(shù)有130只腳，那么這個籠子中裝有兔、雞各多少只？

※、動物園里有一群鴕鳥和長頸鹿，它們共有30只眼睛和44只腳，問鴕鳥和長頸鹿各有多少只？

※、現(xiàn)在有大小油桶50個，每個大桶可裝油4千克，每個小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問大、小油桶各多少個※、大油瓶一瓶裝4千克,小油瓶2瓶裝1千克。現(xiàn)有100千克油裝了共60個瓶子.問大、小油瓶各多少個?

※、面值為5角和8角的郵票共30張，總價(jià)值18元，那么面值為5角的郵票有多少張?！?、30枚硬幣,由2角和5角組成,共值9元9角,2角硬幣有多少個？5角有多少個？※、某人領(lǐng)得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣共50張,其中2元和5元的張數(shù)一樣多,那么10元的有多少張※、買一些4分與8分的郵票共花6元8角,已知8分的郵票比4分的多40張,那么8分的郵票有多少張※、小華買了2元和5元的紀(jì)念郵票一共34枚，用去98元錢。小華買了2元和5元的紀(jì)念郵票各多少枚？

※、四（6）班42個同學(xué)向2008年北京奧運(yùn)會捐款。其中12人每人捐2元，其余同學(xué)每人捐5元或10元，一共捐了229元。求捐5元和10元的同學(xué)各有多少人？

※、小強(qiáng)愛好集郵,他用1元錢買了4分和8分的兩種郵票,共20張.那么他買了4分郵票多少張？

雞兔同籠問題（假設(shè)法）（第二講）例3、100個和尚140個饃，大和尚1人吃3個饃，小和尚1人吃1個饃。問：大、小和尚各有多少人？分析：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實(shí)際多300－140＝160（個）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3－1＝2（個），因?yàn)?60÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚?！?、100個饅頭100個和尚吃,大和尚每人吃3個,小和尚3人吃一個,則大和尚有多少個小和尚有多少個例4、樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)0.24×500=120（元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。答：共打破3只花瓶?！?、有一輛貨車運(yùn)輸2000只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算,每只2角，如有破損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償1元。結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元,問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？

※、運(yùn)輸隊(duì)為商店運(yùn)送花瓶500箱，每箱6個花瓶，已知每10個花瓶的運(yùn)費(fèi)5.5元，損壞一個花瓶要賠償成本11.5元（這個花瓶的運(yùn)費(fèi)當(dāng)然也得不到了）。結(jié)果這個運(yùn)輸隊(duì)共得到運(yùn)費(fèi)1553.6元。問共損壞了多少個花瓶？

※、工人運(yùn)青瓷花瓶250個,規(guī)定完整運(yùn)一個到目的地給運(yùn)費(fèi)20元,損壞一個倒賠100元，運(yùn)完這批花瓶后，工人共得4400元,則損壞了多少只※、燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個合格品記4分，每生產(chǎn)一個不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個燈泡不合格？

※、運(yùn)輸襯衫400箱，規(guī)定每箱運(yùn)費(fèi)30元，若損失一箱，不但不給運(yùn)費(fèi)，并要賠償100元。運(yùn)后運(yùn)費(fèi)為8880元，損失了幾箱？

例題5、某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)競賽，每做對一題得9分，做錯一題倒扣3分。共有12道題，王剛得了84分。王剛做錯了幾題？

思路導(dǎo)航：假設(shè)全做對，應(yīng)得9×12=108分，現(xiàn)在少了108－84=24分。而做錯一題，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，相差了12分，所以錯了24÷12=2題?！⒛炒螖?shù)學(xué)競賽共20道題，評分標(biāo)準(zhǔn)是：每做對一題得5分，每做錯或不做一題扣1分。小華參加了這次競賽，得了64分。問：小華做對幾道題？

※、某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)共20題,做對一題得5分,做錯一題倒扣1分，不做得0分。小華得了76分，問他做對幾題？

※、《希望月報(bào)》編輯部組織了一次“迎奧運(yùn)，愛我中華”知識搶答競賽，比賽規(guī)定：每位參賽選手起點(diǎn)都為100分，之后每答對一題加10分，每答錯一題倒扣8分。小音搶答了12道題，最后得分148分，請問小音答對了多少題？

※、一次數(shù)學(xué)競賽共20道題，每答對一道題得6分，每答錯一道題倒扣4分。小明答完了全部的題目卻得了零分，那么他一共答錯了多少道題？

※、振興小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

※、小毛參加數(shù)學(xué)競賽,共做20道題,得64分,已知做對一道得5分,不做得0分,錯一題扣2分,又知道他做錯的題和沒做的一樣多。問小毛做對幾道題※、開心辭典智力競賽中，開心隊(duì)搶答了10道題，如果以100分開始算分，答對一題加10分，答錯一題減10分，最后開心隊(duì)得了140分，開心隊(duì)答錯了幾題？

※、一張數(shù)學(xué)試卷，共有25道選擇題，做對一題得4分，做錯一題扣1分。如不做，不得分也不扣分。若某同學(xué)得了78分，那么，他做對了多少題做錯多少題不做多少題※、某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數(shù)一樣多，那么做對4道的人數(shù)有多少人？

※、有兩次自然測驗(yàn)，第一次24道題，答對1題得5分，答錯（包含不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗(yàn)共答對30道題，但第一次測驗(yàn)得分比第二次測驗(yàn)得分多10分，問小明兩次測驗(yàn)各得多少分？

雞兔同籠問題（假設(shè)法）（第三講）例6、劉老師帶了41名同學(xué)去北海公園劃船，共租了10條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人，問大船、小船各租幾條？

分析：假設(shè)租的10條船都是大船，那么船上應(yīng)該坐6×10=60（人）。假設(shè)后的總?cè)藬?shù)比實(shí)際人數(shù)多了60－（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假設(shè)成坐6人。③一條小船當(dāng)成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（條）小船當(dāng)成大船。※、三年級老師和同學(xué)223人去春游，共乘8輛車，其中每輛大巴坐35人，中巴坐16人。問大巴、中巴各多少輛？

※、全班46人去劃船，共乘12條船。其中大船每船坐5人，小船每船坐3人。問大、小船各有幾條？

※、某?，F(xiàn)有12間宿舍，住著80個學(xué)生（正好住滿）。宿舍的大小有三種：大號房間住8個學(xué)生，中號房間住7個學(xué)生，小號房間住5個學(xué)生。其中中號房間的宿舍最多，問中號房間的宿舍有幾間？

例7、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析：假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實(shí)際多304－280＝24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19－11＝8（元），所以買普通文化用品24÷8=3（套），買彩色文化用品16－3＝13（套）。※、小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

※、紅鉛筆每支0.19元，藍(lán)鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅、藍(lán)鉛筆各買幾支？

※、學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學(xué)生進(jìn)行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

※、某玩具店新購進(jìn)飛機(jī)和汽車模型30個，其中飛機(jī)模型每個有3個輪子，汽車模型每個有4個輪子，這些玩具模型車共有110個輪子，那么新購進(jìn)的飛機(jī)模型有多少輛？

※、在一個停車場上，停放的車輛（汽車和三輪摩托車）總數(shù)恰好是24。其中每輛汽車有4個輪子，每輛摩托車有3個輪子。這些車共有86個輪子。那么，三輪摩托車有多少輛？

※、100名學(xué)生參加社會實(shí)踐，高年級學(xué)生2人一組，低年級學(xué)生3人一組，共有41組。高、低年級學(xué)生各有多少人？

※、老師和學(xué)生一共44人參加義務(wù)植樹活動。老師每人植5棵，學(xué)生每人植2棵，正好一共植了100棵。參加植樹的老師和學(xué)生各有多少人？

※、濱湖小學(xué)的教師和學(xué)生共100人去植樹。教師每人栽3棵樹，學(xué)生平均每3個人栽一棵樹，一共栽100棵，問教師和學(xué)生各有多少人？

※、有鋼筆和鉛筆共27盒,共計(jì)300支。鋼筆每盒10支,鉛筆每盒12支,則鋼筆有多少盒,鉛筆有多少盒※、松鼠媽媽采松球，晴天每天可以采20個，雨天每天只能采12個，它一連幾天才了112個松球，平均每天14個。問這些天當(dāng)中有幾天是雨天？

※、松鼠媽媽采松子，晴天每天可采16個，雨天每天可采11個，一連采了若干天，有晴天，也有雨天，其中雨天比晴天多3天，但采的個數(shù)卻比晴天采的個數(shù)少27個，問一共采了多少天？

※、學(xué)校購買每支價(jià)格為4角和8角兩種鉛筆。共花了68元。已知8角一支的鉛筆比4角一支的鉛筆多40支，那么，兩種鉛筆各買了多少支？

※、學(xué)生買回4個籃球5個排球一共用185元,一個籃球比一個排球貴8元,籃球的單價(jià)是多少元？

※、班主任張老師帶五年級(2)班50名同學(xué)栽樹,張老師一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,總共栽樹120棵,問幾名男生，幾名女生？

雞兔同籠問題（假設(shè)法）（第四講）例8、有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，兩對翅膀；蟬6條腿，一對翅膀），求蜻蜓有多少只？

分析：這是在雞兔同籠基礎(chǔ)上發(fā)展變化的問題.觀察數(shù)字特點(diǎn)，蜻蜓、蟬都是6條腿，只有蜘蛛8條腿。因此，可先從腿數(shù)入手，求出蜘蛛的只數(shù).我們假設(shè)三種動物都是6條腿，則總腿數(shù)為6×18=108（條），所差118－108=10（條），必然是由于少算了蜘蛛的腿數(shù)而造成的.所以，應(yīng)有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛。這樣剩下的18－5=13（只）便是蜻蜓和蟬的只數(shù)，再從翅膀數(shù)入手，假設(shè)13只都是蟬，則總翅膀數(shù)1×13=13（對），比實(shí)際數(shù)少20-13＝7（對），這是由于蜻蜓有兩對翅膀，而我們只按一對翅膀計(jì)算所差，這樣蜻蜓只數(shù)可求7÷（2-1）=7（只）.※、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)有三種小蟲共36只，有236條腿和40對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？

※、大院里養(yǎng)了三種動物，每只小山羊戴著3個鈴鐺，每只獅子狗戴著一個鈴鐺，大白鵝不戴鈴鐺。小明數(shù)了數(shù)，一共9個腦袋、28條腿、11個鈴鐺，三種動物各有多少只？

※、王老師用了117元買了18本書，其中科技書和故事書共17本，字典一本（一本字典17元）。已知科技書每本8元，故事書每本4元。問科技書、故事書各買了多少本？

※、某工廠共有27位師傅帶40名徒弟。每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名徒弟。如果帶一名徒弟的師傅人數(shù)是其他師傅（即帶兩名和三名徒弟的師傅）人數(shù)的兩倍，請問帶兩名徒弟的師傅有多少人？

※、甲乙兩人射擊,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10發(fā),共命中14發(fā),結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí),甲比乙多10分,問甲、乙各中幾發(fā)?

例9、一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。答：這批鋼材有720噸?！⒂幸慌?，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克？

※、某校有100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分,男同學(xué)比女同學(xué)多多少人※、自行車越野賽全程220千米，全程被分為20個路段，其中一部分路段長14千米，其余的長9千米．問：長9千米的路段有多少個？

例10、小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12×（2＋3）＝60（下）?？汕蟪鲂访糠昼娞?80－60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳780－270×2＝240（下）?！?、甲乙兩個工程隊(duì)共同修筑一段長4200米的公路，乙工程隊(duì)每天比甲工程隊(duì)多修100米?，F(xiàn)由甲工程隊(duì)先修3天，余下的路段由甲、乙兩隊(duì)合修，正好花6天時(shí)間修完。問：甲、乙兩個工程隊(duì)每天各修路多少米？

※、古詩中，五言絕句是四句詩,每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一詩選集,其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首？

※、小宇去游山，他從東坡上山，每小時(shí)行2千米，到山頂上玩1個小時(shí)，又從西坡下山，每小時(shí)行3千米，全程共行19千米，共用9小時(shí)，求上山、下山的路各幾千米？

雞兔同籠問題（假設(shè)法）（第五講）例11、雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200－20=180（只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100－30＝70（只）。解：有兔（2×100－20）÷（2＋4）＝30（只），有雞100－30=70（只）?！?、雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

※、龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

※、雞與兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？

例12、雞兔共200只,雞的腳比兔的腳少56只,則雞有幾只,兔有幾只?

分析：如果200只都是兔，兔腳：200×4=800只，雞腳：0只，雞腳比兔腳少：800只，把1只兔換成雞，兔腳減少4只，雞腳增加2只，雞腳與兔腳的差,減少：4+2=6只，一共需要減少：800-56=744只，雞：744÷6=124只，兔：200-124=76只?！?、雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28。問雞與兔各幾只？

※、在一棵松樹上有百靈鳥和松鼠共15只，松鼠比百靈鳥少24條腿，百靈鳥和松鼠各有多少只？

例13、雞、兔共籠，雞比兔多30只，一共有腳168只，雞、兔各多少只？

思路：因?yàn)殡u比兔多30只，則可以把30只雞的腳從總數(shù)中去掉，剩下的雞兔就同樣多了。每一對雞和兔共4＋2=6只腳，用6去除剩下的雞兔總腳數(shù)，就可求出兔的只數(shù)。兔的只數(shù)：（168－2×30）÷（4＋2）=18只；雞的只數(shù)：18＋30=48只?！㈦u兔共籠，雞比兔多25只，一共有腳170只。雞、兔各幾只？

※、雞、兔同籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？

※、雞兔同籠,共有足248只,兔比雞少52只,那么兔有多少只,雞有多少只例14、水果糖的塊數(shù)是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃2塊水果糖，1塊巧克力糖，若干天后，水果糖還剩下7塊，巧克力糖正好吃完。原來水果糖有幾塊？

思路：水果糖的塊數(shù)是巧克力糖的3倍，如果小紅每天吃1塊巧克力糖，3塊水果糖，幾天后，兩種糖同時(shí)吃完。現(xiàn)在小紅每天吃2塊水果糖，少吃3－2=1塊，若干天后水果糖還剩下7塊。所以共吃了7÷（3－2）=7天，水果糖有2×7＋7=21塊。※、某商