2022-2023學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》期末復(fù)習(xí)綜合練習(xí)題(附答案)

1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，求BD的長．16的一組勾股數(shù)．如圖，△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm的面積．ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝15032BC和CD的長度．中，CD⊥ABD，BD＝9，BC＝15，AC＝20．CD的長；AB的長；的形狀．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1．ABCD的面積；的度數(shù)．ABCA′B′C（BA邊互相垂直．請(qǐng)利用拼得的圖形證明勾股定理（為方便起見：設(shè)，＝b＝a）中，AB＝AC＝10，BC＝16DBCA．求：BD的長．9．如圖，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．是直角三角形．請(qǐng)求圖中陰影部分的面積．1ABCD請(qǐng)按要求完成下列各題．線段AB的長為 ，BC的長為 ，CD的長為 ；1C1Cmnmn＞＝2，AB＝m+n．是直角三角形；m，n滿足的關(guān)系式．16cm4cmA只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少取3）25m，斜靠在一面墻上，梯子靠墻的一端距地面24m．這個(gè)梯子底端離墻有多少米？4m嗎？為什么？，一機(jī)器人在點(diǎn)BAAOOB出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)CBC是多少？如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）12cm，底面周長為10cm，在容3cmB3cmA（AB在同一個(gè)軸截面上材料閱讀：給定三個(gè)數(shù)ac，若它們滿足a2+b2＝c2bc這三個(gè)數(shù)為“勾①32＝9，42＝16，52＝25；∵9+16＝25，即32+42＝52，∴3、4、5這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)．②52＝25，122＝144，132＝196；∵25+144+169，即52+122＝132，∴5、12、13這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)．若三角形的三條邊a、b、c滿足勾股數(shù)，即a2+b2＝c2，則這個(gè)三角形為直角三角形，且a、b分別為直角的兩條鄰邊（如題圖所示根據(jù)以上信息，解答下列問題：、15、17是否為勾股數(shù)；若某三角形的三邊長分別為72425，求其面積；已知某直角三角形的兩邊長為68，求其周長．17．21的會(huì)徽就是如圖，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，可以說是充分肯定了我國數(shù)學(xué)的成就，也弘揚(yáng)了我國古代的數(shù)學(xué)文化．弦圖是由四個(gè)全等的直角三1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么你能求出的值嗎？2中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，三角形的三邊a，b，c有什么關(guān)系呢？讓我們一起來探索……已知“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為150°，則這個(gè)三角形的另兩個(gè)角的度數(shù)分為 ；小迪同學(xué)先從特殊的“倍角三角形”入手研究，請(qǐng)你結(jié)合圖23填寫下表：三角形23

角的已知量∠A＝2∠B＝90°∠A＝2∠B＝60°小迪同學(xué)根據(jù)上表，提出一般性猜想：在“倍角三角形”中那么三邊滿足： ；如圖1a，b，c，求證：a2﹣b2＝bc．請(qǐng)認(rèn)真閱讀題意，并根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)填空42368、10、12、15，若把每一個(gè)數(shù)都擴(kuò)大為原來的12倍，就得到 ，若把每一數(shù)都擴(kuò)大為原來的n（n為正整數(shù)）倍，則得134、532＝4+55121372425為奇數(shù)、n、則有m2＝2n+1，用m表示n＝當(dāng)m＝17時(shí)，n＝ ，此時(shí)勾股數(shù)為 ．如圖1道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高為42.8米，請(qǐng)問這輛送家具的卡車能通過這個(gè)通道嗎？為什么？如圖2，若通道正中間有一個(gè)0.4米寬的隔離帶，問一輛寬1.43.9過這個(gè)通道嗎？為什么？參考答案DM⊥BCBCMAC則∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∵CD＝10，AD＝5，∴AC2＝∵CD＝10，AD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，∴BD＝＝＝2，∴BM＝∴BD＝＝＝2，x，y，zx2+y2＝z2，y＝16y＝16＝2×8×1x＝82﹣1＝63，z＝82+1＝65．有一個(gè)數(shù)是16的一組勾股數(shù)是616（答案不唯一．解：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝x在Rt△ADB和Rt△ADC中可得：AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即225﹣x2＝169﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，∴AD＝＝12，∴△ABC的面積＝?BC?AD＝84∴AD＝＝12，∴△ABC的面積＝?BC?AD＝84cm2．BD．∵AB＝AD，∠A＝60°．∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝8，∠1＝60°．又∠1+∠2＝150°，∴∠2＝90°．設(shè)BC＝x，則CD＝16﹣x，由勾股定理得：x2＝82+（16﹣x）2，解得x＝10，16﹣x＝6，所以BC＝10，CD＝6．）D中，因?yàn)锽D2+CD2＝BC2．所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．所以CD＝12．（2）CD2+AD2＝AC2．所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．所以AD＝16．所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．（3）因?yàn)锽C2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2+AC2．所以△ABC是直角三角形．）∵四邊形D的面積＝5×7﹣×1×7﹣×2×4﹣×1×2﹣（1+5＝5×7﹣×1×7﹣×2×4﹣×1×2﹣（1+5）×3＝35﹣﹣4﹣1﹣9△ △ △ ＝17.5；∵tan∠FBC＝＝，tan∠DCG∵tan∠FBC＝＝，tan∠DCG＝，∴∠FBC＝∠DCG，∵∠FBC+∠BCF＝∠DCG+∠CDG＝90°，∴∠BCF+∠DCG＝90°，∴∠BCD＝90°．ABC中，∵∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB＝∠B'A'C'，∴∠ABC+∠B'A'C'＝90°，又∵∠ABB′＝90°，∴∠ABC+∠B'A'C'+∠ABB′＝180°，∴、（′又∠C＝90°，∠C′＝90°，∴∠C+∠C′＝180°，∴AC∥B′C′，∴（﹣b（+b+ab＝∴（﹣b（+b+ab＝ab+ a+ 2，即a2﹣b2+ab+b2＝ab+ ab+ c2，a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．AAE⊥BCE，∵AB＝AC＝10，BC＝16，在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE＝＝在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE＝＝＝6，設(shè)BD＝x，則DE＝8﹣x，DC＝16﹣x，又DA⊥CA，代入為：62+（8﹣x）2＝（16﹣x）2﹣102．即BD代入為：62+（8﹣x）2＝（16﹣x）2﹣102．即BD＝．9）證明：∵在tC＝98，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴＝1（取正值．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2+BC2＝AB2，（2）解：S（2）解：S陰影＝SRt△ABC﹣SRtACD＝△×10×24﹣×8×6＝96．1）＝＝ ＝5，CD＝＝2；故答案為：，5，2 2；故答案為：，5，2 ；（2）∵AC＝＝2，AD＝＝2，∴△ACD是等腰三角形；∵AB2+AC2＝5+20＝25＝BC2，111）﹣（＞02，AB＝m+n，∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．∴∠C＝90°．∴△ABC是為直角三角形；∴＝＝，（2）∵∠A＝∴＝＝，∴m＝3n．12．解：將此圓柱展成平面圖得：∴＝1＝′＝∴＝1＝′＝×π＝1（，∴AB＝＝1（．∴AB＝＝20cm．答：需要爬行的最短路程是20cm．1（）由題意得此時(shí)a24＝25米，根據(jù)2+＝，可得：b＝7米，答：這個(gè)梯子底端離墻有7米；（2）不是．理由：設(shè)滑動(dòng)后梯子的底端到墻的距離為x米，得方程，x2+（24﹣4）2＝252，解得：x＝15，所以梯子向后滑動(dòng)了8米．綜合得：如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向不是滑4米．14．解：∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即BC＝CA，設(shè)AC＝x，則OC＝36﹣x，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝36，OB＝12，∴把它代入關(guān)系式122+（36﹣x）2＝x2，解方程得出：x＝20．BC是15．解：如圖：12cm10cm3cmB處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cmA處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，A′B＝（．AEFA′B＝（．1（）因?yàn)椋?2，且1517都是正整數(shù)，故81517是為勾股數(shù)．（2）∵72+242＝252∴其面積＝×7∴其面積＝×7×24＝84．（3）當(dāng)8是直角邊時(shí)，則另一條邊＝＝10，周長為6+8+10＝24；當(dāng)8是斜邊時(shí)，則另一條邊＝＝26+8+2＝14+2．2414+2．四個(gè)直角三角形的面積是：ab×4＝13﹣1＝12四個(gè)直角三角形的面積是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．（）∵倍角三角形的一個(gè)內(nèi)角為15°，∴另兩個(gè)內(nèi)角的和是180°﹣150＝30°，∴另兩個(gè)角的度數(shù)是20°和10°；故答案為：20°和10°；（2）如圖2∵∠A＝2∠B＝90°，∴∠B＝45°，∴a＝b＝c∴a＝b＝c，∴＝，＝，如圖3，∵∠A＝2∠B＝60°，∴∠B＝30°，∴b＝c，a∴b＝c，a＝c，∴＝，＝ ，故答案為：，，，；猜測：＝，1，延長CA至D，使AD＝AB，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∵∠CAB＝2∠CBA，∴＝；故答案為：＝；（3）由（2）知，＝，∴＝；故答案為：＝；（3）由（2）知，＝，∴a2＝b2+bc，∴a2﹣b2＝bc．為奇數(shù)mn＝m＝17此時(shí)勾股數(shù)為17，144，145為奇數(shù)mn＝m＝17此時(shí)勾股數(shù)為17，144