2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算練習(xí)含解析

導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．知識梳理1．導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)0

處的導(dǎo)數(shù)記作y0

.xx0Δy fx＋Δx－fx)＝lim ＝lim 0 0 .0 Δx→0 ΔxΔx→0 Δx函數(shù)f′(x)＝limΔx→0－fxΔx .導(dǎo)數(shù)的幾何意義處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線0 0 0率，相應(yīng)的切線方程為)．0 0 0基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f(x)＝sinx且f(x)＝logx(a>0，且a≠1)

′(＝α－11af(x)＝lnx

xlnaf x 1′()＝x導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；1[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；fx

xgx－fxx(g(x)≠0)；gx

′＝

[gx]25．復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′＝y(tǒng)′·u′，yx的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x常用結(jié)論1．區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線(1)在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條．(2)過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條．

x u x2. 1

－f′x′＝

(f(x)≠0)．fx思考辨析

[fx]2判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?)是函數(shù)附近的平均變化率．(×)0 0(3)f′(x)＝[f(x)]′.(×)0 0(4)若(－)，則(－)．(×)教材改編題1函數(shù)在處的切線方程．答案y＝(e－1)x＋21解析f′(x)＝ex－，2∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1，∴切點(diǎn)為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.已知函數(shù))ln＋a＋2，若′(e)，則 .1答案－e解析f′(x)＝1＋lnx＋2ax，f a a 1∴′(e)＝2e＋2＝0，∴＝－.e23．若(＝ln()－，則′) .1答案x

－e1－x－1題型一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1(1)(多選)(2022·濟(jì)南質(zhì)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的( )A.1′＝－1lnx

ln2xB(e)′2＋ex

C.cos2

－3

－3D.x′1＋1 2答案AD解析

′＝－1

·(lnx)′＝－1，A

ln2x

l2x(e)′2＋)e，故B錯誤；x

x

，故C錯誤；cos2

－3

－3－x－

1′＝1＋D ′＝1＋D

π

π(2)函數(shù))的導(dǎo)函數(shù)為′(，若＝＋3si，則f6 .π2 2π答案363解析f x

xfco，′()＝2

＋′3f

2π1 ∴′3＝3＋3，2f 4π∴′3＝3，∴f π2 2π6＝36＋3.教師備選1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等( )3x

A．2

－4B．cos2x＋sinxC．cos2x－sin2xx

D．2答案A

＋4解析y′＝2cos2x＋2sin2x＝22cosx2－4.2．(2022·濟(jì)南模)已知函數(shù)則等( )A．e2021cos2021 eC.2 D．e答案B解析因?yàn)閒′(x)＝exsinx＋excosx，＝思維升華(1運(yùn)算法則求導(dǎo)．(2)抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解．(3)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元．跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)()滿足x＝(1＝′(1)′(1)等于( )答案C解析當(dāng)x＝1時，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式兩邊求導(dǎo)，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，當(dāng)x＝1時，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函數(shù))ln(－3)ae－，若′(2)1，則＝ 答案e21 2解析′)＝x ·(－3)′－＋a·()′＝x ＋ea－，2－3 2－34∴′(2)2＋e－22e－＝2e－1，則e2.題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題點(diǎn)1求切線方程y2(1)(2021·答案5x－y＋2＝0

＝在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程為 ．解析y

2－

2－5＝

所以＝ 5 ＝

2

2

x＝－1

－1＋225，所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.(2)已知函數(shù)若直線l過并且與曲線相切則直線l的方程為 ．答案解析∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線上，x，y)．0 0又f′(x)＝1＋lnx，∴直線l的方程為0y＝xlx，∴0 0 0

x＝1，y＝0.y＋＝＋lxx， 0 00 0 0∴直線l的方程為即23(1)(2022·青島模擬)直線與曲線相切于點(diǎn)b等( )答案A解析∵直線相切于點(diǎn)將P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，a∵f(x)＝alnx＋b，∴f′(x)＝x，a由f′(1)＝＝1，1解得a＝1，可得f(x)＝lnx＋b，∵P(1,2)在曲線上，∴f(1)＝ln1＋b＝2，5解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·廣州模)過定點(diǎn)作曲線的切線，恰有2條，則實(shí)數(shù)a的值范圍．答案(1，＋∞)a解析由′ex，e0)，a0則切線方程的斜率＝y(tǒng)'| ＝ae0>，xx0a∴切線方程為＝e0(－x1)，a0又P(1，e)在切線上，a∴e0(2x＝e，a0e即＝e(2－x)有兩個不同的解，a 0令φ(x)＝ex(2－x)，∴φ′(x)＝(1－x)ex，當(dāng)x∈(－∞，1)時，φ′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，max又x→－∞時，φ(x)→0；x→＋∞時，φ(x)→－∞，e∴0<a<e，即實(shí)數(shù)a教師備選1已知曲線)3－3在點(diǎn)P處的切線與直線＋210垂直則P點(diǎn)的坐標(biāo)( )A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)(－1,3) D．(1，－3)答案C解析設(shè)切點(diǎn)，y)，0 0′＝32－，x y 1又直線

＋2－1＝0的斜率為－，2∴′x＝32－12，0 0∴2＝1，0∴x＝±1，06又切點(diǎn)，y0 0∴y3－x＋，0 0 0x＝1y＝3；0 0x＝－1y＝3.0 0∴切點(diǎn)P(1,3)或(－1,3)．12．(2022·M是曲線＝l＋2＋(－)x上的任一點(diǎn)，若曲線在M點(diǎn)處2π4

a的取值范圍( )A．[2，＋∞)C．(－∞，2]答案C1

B．[4，＋∞)D．(－∞，4]解析因?yàn)閘n＋2)，2y 1x a M π所以＋＋1－，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于4的銳角，＝1所以y′≥tanπ＝14

x>0恒成立，x a x即x＋＋1－≥1對任意>0恒成立，x1a x1所以＋x≥，又x1

＋x≥2，x當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即

＝1時，等號成立，所以a2]．思維升華(1數(shù)的方程：(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過點(diǎn)P處的切線”．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·南平模若直線＝＋m與曲線＝e－n相切，( )為定值

12m1 1＋n為定值2n為定值3答案B解析設(shè)直線＝＋m與曲線e－2nx，e2n)，0因?yàn)椤鋏－2，所以e2n＝，所以x2，07所以切點(diǎn)為(2n,1)，代入直線方程得1 1即m＋n＝.2 2(2)若函數(shù)(＝l＋－ax的圖象上存在與直線2－0平行的切線則實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案[2，＋∞)解析直線2x－y＝0的斜率k＝2，又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，f x 1 xa∴′()＝x＋4－＝2在(0，＋∞)內(nèi)有解，a x1 x則＝4＋x－2，>0.x1 x1又44x1當(dāng)且僅當(dāng)

＝時取“＝”．2∴a≥4－2＝2.∴a的取值范圍是[2，＋∞)．題型三兩曲線的公切線例4(1)(2022·＝l，(＝＋a(Rl與()的圖象相切于點(diǎn)若直線l與的圖象也相切，則a等( )A．0B．－1C．3D．－1答案D求導(dǎo)得f′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函數(shù))在點(diǎn))處的切線l的方程為因?yàn)橹本€l gx

＝1，

有唯一解，即關(guān)于x的一與()的圖象也相切，則方程組gx＝＋a，元二次方程21)1＝0因此＝－12－＝，解得＝1或＝，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶關(guān)模擬)若曲線Ca2(>0)與曲線C＝e存在公共切線，則a的取值范1 2圍為 ．e2 答案4解析由＝a(>0)，得′a，8由y＝ex，得y′＝ex，曲線C：＝a2>0)與曲線Cex存在公共切線，1 2設(shè)公切線與曲線Cx，a2)，1 1 1與曲線C2

xex222則2ax＝ex

x ax2e,2e,11 2 xx2 12x＝x＋2，2 1∴a＝

xe11e2，2x1

x12e2x，e

ex1(x2)24x2 ，2當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．x fx e2∴當(dāng)＝2時，a

()min＝4e2

.∴的取值范圍是4，＋∞延伸探究在本(2)中把“存在公共切線”改為“存在兩條公共切線則a的取值范為 ．e2 答案4解析由本例(2)知，∵兩曲線CC1 2

存在兩條公共切線，∴a＝

xe1e2

有兩個不同的解．2x1∵函數(shù)f(x)＝

x12e2xe

在(0,2)上單調(diào)遞減，fx f e2在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，且

()min

(2)＝4，9ae2∴>4.教師備選若)lnx與＝2ax兩個函數(shù)的圖象有一條與直線＝x平行的公共切線，則等于( )A．1B．2C．3D．3或－1答案Dfx x xy k1解析設(shè)在函數(shù)

()＝ln處的切點(diǎn)為(，)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到＝x＝1，解得＝(1,0)，可求出切線方程為－，此切線和(＝＋ax也相切，故2a－，化簡得到＋(－1＋＝0，只需要滿足(－1)－0，解得＝1或＝3.x，ex)處的切線與曲線xx1 1＋1)(x－1)等( )2A．－1B．－2C．1D．2答案B解析已知曲線xex

)處的切線方程為

2 2 11ex＝exyex

1xexxex,1 1 1 曲線＝ln在點(diǎn)(，ln)處的切線方程為y x x x曲線＝ln在點(diǎn)(，ln)處的切線方程為

1 11－ln＝－y x 1x－ln＝－

y1x－1＋lnx，)，即＝2 2 2 x 2 x 2)，即＝2 2 11exx,1由題意得1ex1

21ex1

x1lnx1 21得x＝ ，12 ex11ex－exx＝－1＋lnx＝－1＋ln

＝－1－x，11 1 11

ex 1x＋1 1則e1 .又x＝ ，x－11x

2 所以x＝1 ，2 x＋11x－1 －2所以x－1＝1 －1＝ ，2 x＋1 x＋11 1所以(x＋1)(x－1)＝－2.1 2思維升華公切線問題，應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，且切點(diǎn)既在切線上又在曲線10上，列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解．或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·(0)＝2＋()若以上兩函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，則m的值( )A．2B．5C．1D．0答案C解析根據(jù)題意，設(shè)兩曲線y＝f(x)與y＝g(x)的公共點(diǎn)為(a，b)，其中a>0，由()＝2＋，可得＝4，則切線的斜率為)＝4，gx xx

g x 3

kg a 3由()＝－3ln－，可得′()，則切線的斜率為＝′(a 3

)＝－a－1，因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處切線相同，所以－4

＝－a－1，a a 3解得＝1

＝－(舍去)，4又由g(1)＝－1，即公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－1)，將點(diǎn)(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1.(2)已知為自然對數(shù)的底直線l是與的公切線，則直線l的方程．答案或解析設(shè)直線lx，y)，1 11y＝ex111)＝ex，111xex)，111切線斜率ex，11∴切線方程為y－ex1

＝ex

)，e1e11ex11

·x－x1

x＋ex，①11同理設(shè)直線lx，y)，112 2∴y＝lnx＋2，2 2x 1′(g x 1∴′()＝，2 x2x，lnx＋2)，2 211k1切線斜率

＝x，2y

x 1xx∴切線方程為－(ln＋2)＝(－)，2 x 22y1x x即＝x·

＋ln

＋1，②22由題意知，①與②相同，1ex1

1xx

ex,③∴1xex11

1211ex1

lnx2

1,④把③代入④有xexex＝－x＋1，1 1 1 11即(1－xex－1)＝0，11x＝1x＝0，1 1x＝11x＝01綜上，直線l的方程為課時精練1．(2022·營口模)下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的( A(－)′＝xB．(xcosx)′＝cosx－xsinx1C．(ln10)′＝10D．(e2x)′＝2ex答案B解析(－2)′＝2－3，∴A錯；(xcosx)′＝cosx－xsinx，∴B對；(ln10)′＝0，∴C錯；(e2x)′＝2e2x，∴D錯．黑龍江哈師大附中月曲線在處的切線方程( )答案D12解析y′＝－2sinx＋cosx，當(dāng)x＝π時，k＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在點(diǎn)(π，－2)處的切線方程，由點(diǎn)斜式可得y＋2＝－1×(x－π)，化簡可得x＋y－π＋2＝0.3．(2022·長治模擬)已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝處的切線，令是的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)等( )A．－1B．0C．2D．4答案B

yfx x 1解析由題圖可知曲線

＝()在

＝3處切線的斜率等于－，3f 1∴′(3)＝－，3∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由題圖可知f(3)＝1，g ＝0.∴′(3)＝1＋3×－3已知點(diǎn)A是函數(shù))2－l＋2圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)B是直線x上的點(diǎn)，|A的最小值為( )A.2 B．243C.3

16D.3答案A解析當(dāng)與直線平行的直線與的最f x x1小值．′(x

)＝2x

－x＝1，1解得＝1

＝－(舍去)，2又f(1)＝3，所以切點(diǎn)C(1,3)到直線y＝x的距離即為|AB|的最小值，即|AB|

|1－3|＝ ＝2.min

12＋1213πx和曲線則的值( )A．0B．πC．－2D．3答案D

2＋c在它們的公共點(diǎn)π πx解析2sin 2，∴f′(0)＝a，g′(0)＝0，∴a＝0，又M(0,2)為f(x)與g(x)的公共點(diǎn)，∴f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，∴b＋c－a＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢臺模擬)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為則角α的取值范圍( ) 3

3π A.0，4

B.0，2∪

，ππ

3

3π C.2，4答案B

D.0，2∪

，π解析∵f(x)＝2ex－f′(0)x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－f′(0)，∴f′(0)＝2－f′(0)，f′(0)＝1，∴f(x)＝2ex－x＋f′(1)，∴f′(x)＝2ex－1>－1.P是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P∴tanα>－1.∵α∈[0，π)，α

3π

.∴∈0，2∪47.(多)已知函數(shù)的圖象如圖是的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的( )A．f′(3)>f′(2)B．f′(3)<f′(2)C．f(3)－f(2)>f′(3)14D．f(3)－f(2)<f′(2)答案BCD解析)的幾何意義是

處的切線的斜率．由圖知f′(2)>f′(3)>0，0 0故A錯誤，B正確．設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，f f f3－f

＝k，則

(2)＝

3－2 AB由圖知f′(3)<k<f′(2)，AB故C，D8)(2022·()在D′()DD)]′.若在Dfx D

3上是凸函數(shù)的( )上恒成立，則稱

()在

上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在0，4A．f(x)＝－x3＋3x＋4B．f(x)＝lnx＋2xC．f(x)＝sinx＋cosxD．f(x)＝xex答案ABC解析對＝3＋3，x 3)<，故A為凸函數(shù)；當(dāng)∈0，4fx x xf x 1對B，()＝ln＋2

)＝x＋2，f x 1″()＝－，2x 3)<，故B為凸函數(shù)；當(dāng)∈0，4對C，f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)＝cosx－sinx，f x x x

x

，″()＝－sin

－cos

＝－

＋4x 3)<，故C為凸函數(shù)；當(dāng)∈0，4對D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，15f″(x)＝(x＋2)ex，x 3)>，故D不是凸函數(shù)．當(dāng)∈0，4馬鞍ft模若曲線在處的切線與直線平行則實(shí)數(shù).答案－1解析因?yàn)閒′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因?yàn)楹瘮?shù)在x＝π處的切線與直線ax－y＋1＝0平行，所以a＝f′(π)＝－1.110．已知函數(shù)若則.－1答案2－ax－1′解析f′(x)＝－a

ax－1

＋excosx－exsinx2＝ax－1

＋excosx－exsinx，2∴f′(0)＝－a＋1＝－1，則a＝2.11．(2022·寧波鎮(zhèn)海中學(xué)質(zhì)檢)我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正n邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，ex2可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算．設(shè)，則 ，其在(0,1)處的切線方程．2xex2答案

y＝1ex2解析，ex2 2xex2故′＝(2)′ ＝ ，則f′(0)＝0.故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y＝1.2 已知函數(shù)

)存在兩條垂直于y軸的切線，3則a的取值范圍答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)2 解析因?yàn)?/p>

a＋1x(a∈R)，32所以′()＝2－a＋＋1，因?yàn)榍€＝()存在兩條垂直于y軸的切線，3162所以關(guān)于x的方程′(＝3－a＋＋10有兩個不等的實(shí)根，332 3則＝4－1＋>0，即－3>，解得a＞3或a＜－1，a(－∞，－1)∪(3，＋∞)．17一點(diǎn)，使得()－(＝)(－)e1在[0,1]上這樣的c點(diǎn)的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案A解析函數(shù)()＝e－，則＝(＋1)e－1，由題意可知，存在點(diǎn)c∈[0,1]，f c f1－f

＝1，)＝

1－0即()e1＝，1 1所以e－1＝ ，∈[0,1]，作出函數(shù)＝e－1和＝

c的圖象，如圖所示，1＋ 1＋由圖象可知，函數(shù)＝1和＝

1c的圖象只有一個交點(diǎn)，1＋ec－1＝

1，∈[0,1]只有一個解，即函數(shù)(－1在[0,1c點(diǎn)的個數(shù)為1.1＋14．(2021·新高考全國Ⅰ)若過可以作曲線的兩條切線，( A．eb<a B．ea<bC．0<a<eb D．0<b<ea答案Dx，y)，y>0，0 0 00則切線方程為ex0

(x－a)，yex x－a，由0 0 0y＝e000得ex(1－x，則由題意知關(guān)于x的方程ex(1－x有兩個不同的解．000 0 0設(shè)f(x)＝ex(1－x＋a)，18則f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以當(dāng)所以max所以f(x)>0，當(dāng)x→－∞時，f(x)→0，