變化率與導數(shù)課件9

第三章變化率與導數(shù)§1變化的快慢與變化率第三章變化率與導數(shù)銀杏樹高:15米樹齡:1000年雨后春筍高:15厘米時間:兩天世界上變化無處不在，如何刻畫事物變化的快慢呢？﹤銀杏樹高:15米雨后春筍高:15厘米世界上變化無處不在，如何1.理解函數(shù)平均變化率及瞬時變化率的概念.2.會求給定函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率及某一點的瞬時變化率.（重點）3.理解平均變化率及瞬時變化率的意義，能夠解釋生活中的現(xiàn)象.（難點）1.理解函數(shù)平均變化率及瞬時變化率的概念.探究點1平均變化率定義

問題（1）物體從某一時刻開始運動，設s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù),表示為s=s(t).在運動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如表：t(s)025101315…s(m)069203244…

物體在0～2s和10～13s這兩段時間內(nèi)，哪一段時間運動得更快？如何刻畫物體運動的快慢？探究點1平均變化率定義問題（1）物體從某一時分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢.在0～2s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為在10～13s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快.分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢.在10～13s這段問題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？y/(oC)x/min01020304050607036373839問題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：y/(oC分析：根據(jù)圖像可以看出：當時間x從0min到20min時，體溫y從39oC變?yōu)?8.5oC，下降了0.5oC；當時間x從20min到30min時，體溫y從38.5oC變?yōu)?8oC，下降了0.5oC.

兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快.我們也可以比較這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當時間x從0min變到20min時，體溫y分析：根據(jù)圖像可以看出：相對于時間x的平均變化率為當時間x從20min變到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為這里出現(xiàn)了負號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降得越快，這里，體溫從20min到30min這段時間下降得比0min到20min這段時間要快.相對于時間x的平均變化率為分析上面的第一個問題中，我們用一段時間內(nèi)物體的平均速度刻畫了物體運動的快慢，當時間從t0變?yōu)閠1時，物體所走的路程從s(t0)變?yōu)閟(t1)，這段時間內(nèi)物體的平均速度是分析第二個問題中，我們用一段時間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化的快慢，當時間從x0變?yōu)閤1時，體溫從y(x0)變?yōu)閥(x1)，體溫的平均變化率

你能類比歸納出“函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率”的一般性定義嗎？第二個問題中，我們用一段時間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化抽象概括：1.平均變化率的定義:

對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為通常我們把自變量的變化x2－x1稱作自變量的改變量，記作函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作抽象概括：1.平均變化率的定義:對一般的函數(shù)y＝f(x)函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即

我們用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間上變化的快慢.函數(shù)的平均變化率有如下的表示：

函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與我們用它來xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)-f(x1)=△yx2-x1=△x2.平均變化率的幾何意義：

幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點的直線的斜率.斜率的概念xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)思考1.表達式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以交換嗎？它們本身前后兩個式子可以交換嗎？提示:f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序不可交換，但它們本身的式子可以同時交換，如也可以寫為

思考2.函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率如何計算？提示:設x在x0附近的變化量為Δx，則平均變化率

思考1.表達式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以提示：對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中，若設△x=x1-x0△y=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是思考：如何精確地刻畫物體在某一瞬間的變化率呢？探究點2瞬時速度、瞬時變化率則當△x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.提示：對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的（1）瞬時變化率的表示對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中①自變量的改變量:Δx=_____;②函數(shù)值的改變量:Δy=___________;③平均變化率:=___________________;④在x0點的瞬時變化率：當Δx趨于__時，平均變化率趨于某一常數(shù)，此常數(shù)即為瞬時變化率.(2)瞬時變化率的意義瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在_____處變化的快慢.x1-x0f(x1)-f(x0)0一點（1）瞬時變化率的表示x1-x0f(x1)-f(x0)0一點例1：一個小球從高空自由下落，其走過的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系為其中，g為重力加速度試估計小球在t=5s這個時刻的瞬時速度.，例1：一個小球從高空自由下落，其走過的路程s其中，g為重力加分析：當時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式可以求出從5s到6s這段時間內(nèi)小球的平均速度我們有時用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出5～5.1s這段時間內(nèi)的平均速度（m/s）.（m/s）用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.分析：當時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式可以求出從5解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應的平均速度得到下表：平均速度t0/st1/s時間的改變量（Δt）/s路程的改變量（Δs）/m

/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495…………解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應的平均速度得到可以看出，當時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于49m/s，因此，可以認為小球在t0=5s時的瞬時速度為49m/s.從上面的分析和計算可以看出，瞬時速度為49m/s的物理意義是，如果小球保持這一時刻的速度進行運動的話，每秒將要運動49m．可以看出，當時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于【變式練習】

一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運動，求這輛汽車在t＝3s時的瞬時速度(單位：m/s)．解析：因為Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，所以因為當Δt趨于0時，趨于18，所以這輛汽車在t＝3s時的瞬時速度的大小為18m/s.【變式練習】一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運動，例2：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，長為10m.x（單位：m）表示OX這段棒的長，y（單位：kg）表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足以下函數(shù)關系：估計該合金棒在x=2m處的線密度.分析：一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度.例2：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，分析：一段合金棒解：由，我們可以計算出相應的平均線密度得到下表：x0/mx1/m長度x的改變量（Δx）/m質(zhì)量y的改變量（Δy）/kg/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.712…………平均線密度解：由可以看出，當x1趨于x0=2m時，平均線密度趨于0.71kg/m，因此，可以認為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m.從上面的分析和計算可以看出，線密度為0.71kg/m的物理意義是，如果有1m長的這種線密度的合金棒，其質(zhì)量將為0.71kg.可以看出，當x1趨于x0=2m時，平均線密度趨于0.71【變式練習】已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2,求這個函數(shù)在x＝2處的瞬時變化率．解析：因為當趨于0時，趨于12，所以這個函數(shù)在x＝2處的瞬時變化率是12.【變式練習】已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2,求這個函數(shù)在x＝21．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為(

)A．0.40

B．0.41C．0.43 D．0.44B1．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.13.如果質(zhì)點A按規(guī)律運動，則在秒的瞬時速度為（）A．6

B．18

C．54

D．81CA3.如果質(zhì)點A按規(guī)律運動，則在秒的瞬時速度為（）CA4.甲、乙兩個物體沿直線運動的方程分別是和，則在秒時兩個物體運動的瞬時速度關系是（）A.甲大B.乙大C.相等D.無法比較B4.甲、乙兩個物體沿直線運動的方程分別是和，秒時兩個物體運動5.自由落體運動的運動方程為s=gt2，計算t從3s到3.1s這段時間內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）.解析：設在[3，3.1]內(nèi)的平均速度為v1，則△t1=3.1-3=0.1(s).△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m).所以5.自由落體運動的運動方程為s=gt2，計算t從3s到31.平均變化率的定義:2.平均變化率的幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點的直線的斜率.3.瞬時變化率的定義及求瞬時變化率的一般步驟：先求函數(shù)值的改變量

求平均變化率求瞬時變化率

1.平均變化率的定義:2.平均變化率的幾何意義是曲線

如果在勝利前卻步，往往只會擁抱失??；如果在困難時堅持，常常會獲得新的成功。如果在勝利前卻步，往往只會擁抱失敗；如果在困難時堅第三章變化率與導數(shù)§1變化的快慢與變化率第三章變化率與導數(shù)銀杏樹高:15米樹齡:1000年雨后春筍高:15厘米時間:兩天世界上變化無處不在，如何刻畫事物變化的快慢呢？﹤銀杏樹高:15米雨后春筍高:15厘米世界上變化無處不在，如何1.理解函數(shù)平均變化率及瞬時變化率的概念.2.會求給定函數(shù)在某個區(qū)間上的平均變化率及某一點的瞬時變化率.（重點）3.理解平均變化率及瞬時變化率的意義，能夠解釋生活中的現(xiàn)象.（難點）1.理解函數(shù)平均變化率及瞬時變化率的概念.探究點1平均變化率定義

問題（1）物體從某一時刻開始運動，設s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù),表示為s=s(t).在運動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如表：t(s)025101315…s(m)069203244…

物體在0～2s和10～13s這兩段時間內(nèi)，哪一段時間運動得更快？如何刻畫物體運動的快慢？探究點1平均變化率定義問題（1）物體從某一時分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢.在0～2s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為在10～13s這段時間內(nèi)，物體的平均速度為顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快.分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢.在10～13s這段問題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？y/(oC)x/min01020304050607036373839問題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：y/(oC分析：根據(jù)圖像可以看出：當時間x從0min到20min時，體溫y從39oC變?yōu)?8.5oC，下降了0.5oC；當時間x從20min到30min時，體溫y從38.5oC變?yōu)?8oC，下降了0.5oC.

兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快.我們也可以比較這兩段時間中，單位時間內(nèi)體溫的平均變化量，于是當時間x從0min變到20min時，體溫y分析：根據(jù)圖像可以看出：相對于時間x的平均變化率為當時間x從20min變到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為這里出現(xiàn)了負號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降得越快，這里，體溫從20min到30min這段時間下降得比0min到20min這段時間要快.相對于時間x的平均變化率為分析上面的第一個問題中，我們用一段時間內(nèi)物體的平均速度刻畫了物體運動的快慢，當時間從t0變?yōu)閠1時，物體所走的路程從s(t0)變?yōu)閟(t1)，這段時間內(nèi)物體的平均速度是分析第二個問題中，我們用一段時間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化的快慢，當時間從x0變?yōu)閤1時，體溫從y(x0)變?yōu)閥(x1)，體溫的平均變化率

你能類比歸納出“函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率”的一般性定義嗎？第二個問題中，我們用一段時間內(nèi)體溫的平均變化率刻畫了體溫變化抽象概括：1.平均變化率的定義:

對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)，它的平均變化率為通常我們把自變量的變化x2－x1稱作自變量的改變量，記作函數(shù)值的變化f(x2)－f(x1)稱作函數(shù)值的改變量，記作抽象概括：1.平均變化率的定義:對一般的函數(shù)y＝f(x)函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，即

我們用它來刻畫函數(shù)值在區(qū)間上變化的快慢.函數(shù)的平均變化率有如下的表示：

函數(shù)的平均變化率就可以表示為函數(shù)值的改變量與我們用它來xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)-f(x1)=△yx2-x1=△x2.平均變化率的幾何意義：

幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點的直線的斜率.斜率的概念xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)思考1.表達式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以交換嗎？它們本身前后兩個式子可以交換嗎？提示:f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序不可交換，但它們本身的式子可以同時交換，如也可以寫為

思考2.函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率如何計算？提示:設x在x0附近的變化量為Δx，則平均變化率

思考1.表達式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以提示：對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中，若設△x=x1-x0△y=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是思考：如何精確地刻畫物體在某一瞬間的變化率呢？探究點2瞬時速度、瞬時變化率則當△x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.提示：對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的（1）瞬時變化率的表示對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中①自變量的改變量:Δx=_____;②函數(shù)值的改變量:Δy=___________;③平均變化率:=___________________;④在x0點的瞬時變化率：當Δx趨于__時，平均變化率趨于某一常數(shù)，此常數(shù)即為瞬時變化率.(2)瞬時變化率的意義瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在_____處變化的快慢.x1-x0f(x1)-f(x0)0一點（1）瞬時變化率的表示x1-x0f(x1)-f(x0)0一點例1：一個小球從高空自由下落，其走過的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系為其中，g為重力加速度試估計小球在t=5s這個時刻的瞬時速度.，例1：一個小球從高空自由下落，其走過的路程s其中，g為重力加分析：當時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式可以求出從5s到6s這段時間內(nèi)小球的平均速度我們有時用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出5～5.1s這段時間內(nèi)的平均速度（m/s）.（m/s）用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.分析：當時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式可以求出從5解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應的平均速度得到下表：平均速度t0/st1/s時間的改變量（Δt）/s路程的改變量（Δs）/m

/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495…………解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應的平均速度得到可以看出，當時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于49m/s，因此，可以認為小球在t0=5s時的瞬時速度為49m/s.從上面的分析和計算可以看出，瞬時速度為49m/s的物理意義是，如果小球保持這一時刻的速度進行運動的話，每秒將要運動49m．可以看出，當時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于【變式練習】

一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運動，求這輛汽車在t＝3s時的瞬時速度(單位：m/s)．解析：因為Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，所以因為當Δt趨于0時，趨于18，所以這輛汽車在t＝3s時的瞬時速度的大小為18m/s.【變式練習】一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運動，例2：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，長為10m.x（單位：m）表示OX這段棒的長，y（單位：kg）表示OX這段棒的質(zhì)量，它們滿足以下函數(shù)關系：估計該合金棒在x=2m處的線密度.分析：一段合金棒的質(zhì)量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度.例2：如圖所示，一根質(zhì)量分布不均勻的合金棒，分析：一段合金棒解：由，我們可以計算出相應的平均線密度得到下表：x0/mx1/m長度x的改變量（Δx）/m質(zhì)量y的改變量（Δy）/kg/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.712…………平均線密度解：由可以看出，當x1趨于x0=2m時，平均線密度