【中學數(shù)學解題中的聯(lián)想思維及運用（7200字論文）】

PAGE12中學數(shù)學解題中的聯(lián)想思維及運用目錄TOC\o"1-2"\h\u951聯(lián)想思維在中學數(shù)學中的應用 12757一、聯(lián)想思維在數(shù)學中的發(fā)展 123739（一）聯(lián)想思維的背景 17334（二）聯(lián)想思維的意義 214831二、聯(lián)想思維在數(shù)學中的作用 24009三、數(shù)學解題中常用的聯(lián)想思維 330639（一）接近聯(lián)想 328207（二）相似聯(lián)想 3106（三）普通聯(lián)想 49271（四）轉化聯(lián)想 413893（五）對比聯(lián)想 58429（六）逆向聯(lián)想 529421四、培養(yǎng)學生聯(lián)想思維的因素 610675五、解題過程中為何要用聯(lián)想思維及怎么發(fā)現(xiàn)運用聯(lián)想思維 65888（一）聯(lián)想思維對數(shù)學解題的作用 64713（二）促進解題過程中聯(lián)想思維的發(fā)現(xiàn)與運用 611698六、聯(lián)想思維與創(chuàng)新思維的聯(lián)系 1027901結論 113733參考文獻 12摘要：數(shù)學不論是小學、中學還是大學都是重要科目。數(shù)學在日常生活中的應用也極廣泛。如何幫助學生了解數(shù)學解題的思路，讓學生正確、快速的解題是教育的重點。本文基于聯(lián)想思維相關概述，指明聯(lián)想思維在數(shù)學解題中具有重要作用。之后對聯(lián)想思維中對比聯(lián)想、接近聯(lián)想、類比聯(lián)想、簡單聯(lián)想、逆向聯(lián)想在中學數(shù)學中的具體案例運用分析。之后對聯(lián)想思維的培養(yǎng)途徑進行思考，主要涉及教師的指導和學生自己養(yǎng)成兩個方面。關鍵詞：聯(lián)想思維；數(shù)學；運用一、聯(lián)想思維在數(shù)學中的發(fā)展（一）聯(lián)想思維的背景數(shù)學是一種工具，推動著人類文明的發(fā)展；數(shù)學是一門基礎學科，是除語言學外學好其他學科的基礎；數(shù)學又是一種思想方法，訓練人們的思維能力.可見，數(shù)學的學習對促進社會和個人的發(fā)展都有著積極的作用.在數(shù)學學習活動中，解題是最基本的活動之一，也是學好數(shù)學的基礎.但是在現(xiàn)階段高中數(shù)學解題過程以及解題教學中，仍存在多種障礙和困惑，導致解題活動常常不能順利的進行。聯(lián)想思維作為一種極為有效的解題的數(shù)學思維應運而生。聯(lián)想是由當前感知的事物回憶起有關另一事物的心理過程。邵建其.2001.認為在數(shù)學思維活動中，聯(lián)想可以溝通數(shù)學對象和有關知識的聯(lián)系。而聯(lián)想思維是由此想到彼，并同時發(fā)現(xiàn)了它們共同的或類似的規(guī)律的思維方式，是一種由此及彼的思維活動，在認識活動過程中起著橋梁和紐帶的作用。對于一些未知的數(shù)學知識，通過已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，從而使一些未知的數(shù)學問題得以解決。在數(shù)學的具體解題過程中，通過對題設中的條件、圖形特征以及求解目標分析，從而聯(lián)想到有關已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。（二）聯(lián)想思維的意義先人為主，思維定勢是很多學生在解題中存在的普遍現(xiàn)象。由于這一現(xiàn)象，使得一些學生思維得不到很好發(fā)展、解題能力得不到提高。在數(shù)學解題中，如果能展開聯(lián)想思維，往往能受到事半功倍的效果。二、聯(lián)想思維在數(shù)學中的作用用于引出新知。用聯(lián)想引出新知就是借助學生已有的知識、經(jīng)驗（舊知）去聯(lián)想與之相關的要學習的知識（新知）.教學時，劉曉燕.2000.讓學生復習舊知，然后引導學生從已有的知識、經(jīng)驗展開聯(lián)想，從聯(lián)想中激發(fā)學生的學習興趣，引出要學習的內(nèi)容。用于探索新知。教學中，教師有意識地引導學生利用已有的知識、經(jīng)驗去聯(lián)想與之相關的新知識，學生就能輕松而又系統(tǒng)地獲取新的知識，收到事半功倍的效果。用于解決問題。教學中，教師應充分挖掘和運用知識間相似、接近的聯(lián)系，幫助學生通過聯(lián)想，激活頭腦中既有的相關知識和經(jīng)驗，從而解決問題。用于培養(yǎng)求異思維。應用性、探索性、開放性試題在中考命題中占有一定的分量，這是考查學生發(fā)散思維能力的試題，也是時代賦予的特色。學生可以利用以前的解題策略，巧妙地避開了同一法，聯(lián)想到多方面，鞏固了自己的學習經(jīng)驗，積累了學習方法，收到了意想不到的效果。三、數(shù)學解題中常用的聯(lián)想思維（一）接近聯(lián)想接近聯(lián)想是由一個事物聯(lián)想到與之非常接近的另一個事物的過程，即把在時間、空間上相接近的數(shù)學知識聯(lián)系起來的一種思維活動，如由一個銳角的正弦聯(lián)想到它的余弦、正切、余切，由正方體聯(lián)想到長方體等。例2設x為銳角，且滿足sinx=3cosx，求sinxcosx。解題思路:由銳角的正弦與余弦的關系，聯(lián)想到sinxtanx=sinxcosx，，可求得tanx=3，進而聯(lián)想到銳角三角函數(shù)定義，又求出sinx=31010，cosx=10（二）相似聯(lián)想相似聯(lián)想是由一種事物聯(lián)想到具有相似特征的另一種事物的過程，即把具有類似特征的兩種數(shù)學問題聯(lián)系起來的思維，如由絕對值可聯(lián)想到算術根，由正數(shù)可聯(lián)想到非負數(shù)。例3設a，b，c是互不相等的任意實數(shù)，若X=A2-bc，Y=b2-ca，Z=c2-ab，則X，Y，Z()。A.都不小于。B.都不大于0C.至少有一個小于0D.至少有一個大于0解題思路:要判斷X，Y，Z的性質(zhì)符號，可聯(lián)想到非負數(shù)理論，將三式兩邊分別相加得：X+Y+Z=a2-bc+b2-ca+c2-ab=1(2a2+2b2+22-2ab-2ac-2bc)=1因為a，b，c互不相等，所以X+Y-Z>0。通過分析，X，Y，Z中可以兩個為負數(shù)，但一個必為正數(shù)，且為正數(shù)的絕對值應大于另兩個負數(shù)和的絕對值。故選D。（三）普通聯(lián)想普通聯(lián)想是由一個低層次思維的聯(lián)想，通過求證和推斷等方法來實現(xiàn)舉一反三觸類旁通的過程。例4設實數(shù)X，Y，Z滿足Z+Y=3X2-2X-1，Z-Y=X2-2X+1，則X，Y，Z的大小關系是什么？解題思路:要比較數(shù)的大小關系，聯(lián)想到作差和作商比較法。由于X，Y，Z的代數(shù)式不能約分，故不能用作商比較法，所以選用作差比較法。由題目給出的兩個方程求得Y=X2-1，Z=2X2-2X。因為Z-Y=X2-2X+1=(X-1)2≥0，所以Z≥Y，因為Y-X=X2-X+1=（X-12）2+3（四）轉化聯(lián)想三角函數(shù)總共有六個誘導公式，學生容易混淆并對其符號經(jīng)常判斷錯誤.為了便于學生理解記憶，金美玲.2008認為導學生及時對其進行歸納總結，并提煉出其中的數(shù)學思想方法.首先，對公式的形成過程，教師應帶領大家再次體會數(shù)形結合的思想，引導學生從單位圓的對稱性上去理解記憶六個公式。其次，對于公式的應用進行總結，得出利用公式一～公式四，將任意角三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)求解的方法，具體可按如下步驟。這實際上體現(xiàn)了從未知到已知的轉化聯(lián)想。用公式任意正角的三角函數(shù)任意負角的三角函數(shù)用公式任意正角的三角函數(shù)任意負角的三角函數(shù)三或一三或一用公式一用公式一用公式0~2π的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)用公式0~2π的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)二或四二或四圖1轉化聯(lián)想運用（五）對比聯(lián)想對比聯(lián)想是由于對某一事物的感知和回憶，從而引起對與之具有相反特點的事物的回憶，即把對立的數(shù)學問題聯(lián)系起來的一種思維活動，如由等式想到不等式、由有理數(shù)想到無理數(shù)等。例1若方程(x-2)(x2-4x+4m)=0的三根可以作為一個三角形的下邊長，求實數(shù)的取值范圍。解題思路:由方程聯(lián)想到三角形兩邊之差小于第三邊的不等式｜x1-x2｜<2，結合根與系數(shù)的關系，x1+x2=4，x1x2=4m，從而可得子34（六）逆向聯(lián)想在解決有關問題時，若正面解決有困難，可以從反面去思考，從而使問題妥善解決，這就是我們常說的逆向聯(lián)想。例，今有圓材，埋于墻壁，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？教師通過以下幾個步驟來幫助學生完成此題。1.把一張圓形紙片沿任意一條直徑對折，你會發(fā)現(xiàn)什么？這說明了什么？2.在上述圓形紙片中再作一條與這條直徑垂直的弦，仔細觀察圖形，盡可能多地找出各種關系，并歸納成幾何命題。3.選用所學知識，證明所得命題。4.進一步分析所得命題的題設和結論。5.在另一張圓形紙片上任意畫一條弦，作這條弦的垂直平分線，觀察這條直線，能得到什么結論？6.剖析垂徑定理和由問題5得到的推論，你發(fā)現(xiàn)了什么？還能得出什么結論？7.分析學生的研究結果，歸納垂徑定理的推論。以上幾種聯(lián)想各有各自的方式和特點，但其中也有交叉點地方，例如接近聯(lián)想，類比聯(lián)想有時也是一種關系聯(lián)想。在數(shù)學思維中，各種聯(lián)想常常交替出現(xiàn)，或復合重疊，以更高級的方式綜合進行。馬金鳳羅小琴2007.認為在解數(shù)學題過程中，善于運用各種聯(lián)想進行思考，解題就能夠簡捷新穎，富于創(chuàng)造性。四、培養(yǎng)學生聯(lián)想思維的因素以探究為主，以做題為輔?，F(xiàn)階段，多數(shù)教師在解題教學中仍只強調(diào)解題策略和解題技巧的訓練，導致學生一直處于機械式模仿的水平上，遇見稍加變形的題目則無從下手。這實際上也是由于教師在解題教學中，只是就題論題，沒有揭示其中蘊涵的數(shù)學思想方法。因此，教師在今后的教學中，應通過問題解決的探究過程，段志貴.聯(lián)想2003.讓學生真正領悟到其中的數(shù)學思想方法，并通過反復的應用練習，讓學生將其吸收成為自己解題的工具，有效的指導解題時的思維。在平常的解題教學中，多數(shù)教師還會向學生灌輸“一題多解”的思維方式，這實際上是想通過對同一個問題的不同思考，從不同角度向學生揭示問題中所隱含的數(shù)學思想方法。五、解題過程中為何要用聯(lián)想思維及怎么發(fā)現(xiàn)運用聯(lián)想思維（一）聯(lián)想思維對數(shù)學解題的作用眾所周知，中學是學生學習成長的關鍵時期，為了促進學生的學習成績提高，教師可以通過聯(lián)想思維的培養(yǎng)來提高學生數(shù)學解題能力。孫鳳軍.1997認為聯(lián)想思維可以將數(shù)學理論知識與實際對象聯(lián)系在一起，在整個活動中起到橋梁作用。學生在數(shù)學解題過程中，可以以題目中的圖形特征聯(lián)想到其他相關定義、法則，從而找到解題思路.聯(lián)想思維對學生學習效率的提高具有至關重要的作用。通過聯(lián)想，可以實現(xiàn)新舊知識的溝通，幫助學生形成完整的知識網(wǎng)絡，以此提高學生數(shù)學思維能力及創(chuàng)新能力。（二）促進解題過程中聯(lián)想思維的發(fā)現(xiàn)與運用1.創(chuàng)設類比情境，激發(fā)學生興趣學生學習思維的主動性、積極性的調(diào)勸，很大程度上取決于學生的興趣。在教學中教師應根據(jù)學生的興趣需求，創(chuàng)設類比性的情境，寓理于情，使學生帶著一種高漲的熱情進行學習與思考，從而展開師生互動的有效教學。特別需要注意的是，教師在設置情境問題時，從思維邏輯上是連續(xù)的，環(huán)環(huán)緊扣的，例如，在培養(yǎng)學生由二維空間思維向三維空間思維拓展時，采用如下的聯(lián)想教學萬法:（1）提出問題，聯(lián)系生活實際問題:一次會議有十人參加，每兩人握手問好一次，請同學們計算共要握多少次手？教師可以引導學生先從兩人握手開始計算握手次數(shù)，然后依次增加到三人、四人、五人，讓學生通過小組合作討論學習，并記錄握手次數(shù)，通過親身體驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（2）適時歸納，確定萬法教師在參與小組合作討論中，適時地選擇具有代表性的小組，讓其展示其解決過程與萬法。然后，教師不失時機地引導、歸納和總結。（3）聯(lián)想拓展，推廣普及利用上面的這種思維萬法，聯(lián)想發(fā)散，可拓展到數(shù)學中許多類似問題的解決。學生學到了創(chuàng)造性解決問題的方法，并構建了二維空間思維，初步明確了聯(lián)想思維的核心是歸類聯(lián)系，拓展引申。收獲大大地激發(fā)學生的求知欲。2.理解深化，引申探索如果說思維是思維活動的最高表現(xiàn)，則聯(lián)想思維應該是創(chuàng)新思、維的起點，因此必須鼓勵學生有根據(jù)地將思維引向深處、廣處，周清嬋2012.讓他們的思維發(fā)散于不同的萬向。在學生進入積極思維后，教師應該設置連續(xù)性的，一環(huán)扣一環(huán)的生活實例問題，誘導其思維向二元化、三元化的萬向發(fā)展。問題1.利用聯(lián)想思維的方法計算并推導你家地板磚組成的正萬形的個數(shù)。問題2.利用聯(lián)想思維的萬法，計算并推導魔萬中所有大小正方體的個數(shù)。以上教學過程，從情境到質(zhì)疑，步步為營，環(huán)環(huán)緊扣，設計了讓學生動手、動腦的實踐活動內(nèi)容，組織他們小組討論，積極探究，層層深入，使學生始終保持濃厚的興趣和學習積極性，整節(jié)課處于一種積極探究知識，尋找答案的狀態(tài)之中，不斷地在解決問題中進行聯(lián)想，促進學生思維在學習活動中得到發(fā)展，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，提高學生的思維品質(zhì)、思維習慣，為正確樹立人生觀和價值觀奠定良好的基礎。3.為學生提供聯(lián)想思維的機會聯(lián)想思維是從不同方向來考慮解決問題的多種可能性的思維過程，在教學中，有意識地讓學生探討問題解決的多種可能的途徑，有利于其聯(lián)想思維的培養(yǎng)。例如:證明一條線段是另一條線段的2倍時，有如下一些途徑:①作短線段的二倍線段，證明二倍線段等于長線段。②取長線段的一半，證明一半的線段等于短線段;③如果長線段是某直角三角形的斜邊時，取斜邊上的中線，證明斜邊的中線等于短線段。④有四個以上的中點條件時，考慮能否通過三角形中位線定理來證明。當然，這些途徑都應通過具體的例子來尋找。4.建立新型師生關系，營造思維活動范圍首先，要使學生積極主動地探求知識，發(fā)揮創(chuàng)造性，必須摒棄課堂上老師是主角，少數(shù)學生是配角，大多數(shù)學生是觀眾、聽眾的教學模式。因為這種課堂教學往往過多地發(fā)揮教師的主導作用，限制了學生思維開發(fā)。教師應以訓練學生創(chuàng)新能力為目的，以培養(yǎng)學生的聯(lián)想思維為根本，保留學生自己的空間，尊重學生的愛好、個性和人格，以平等、寬容、友善的態(tài)度對待學生，使學生真正成為學習的主人，形成一種寬松和諧的教育環(huán)境。李暉.聯(lián)想.2007認為只有在這種氛圍中，學生才能充分發(fā)揮自己的聰明才智和創(chuàng)造想象的能力。班集體能集思廣益，有利于學生之間的多向交流，在班集體中，取長補短，課堂教學中有意識地搞好合作教學，使教師、學生的角色處于隨時互換的動態(tài)變化中，設計集體討論，差缺互補，分組操作等內(nèi)容，鍛煉學生的合作能力。特別是一些不易解決的問題，讓學生在班集體中開展討論，這是營造新環(huán)境，發(fā)揚教學民主環(huán)境在班集體中的表現(xiàn)。學生在輕松的環(huán)境下，暢所欲言，各抒己見，敢于發(fā)表獨立的見解，或修正他人的想法，將幾個想法組合為一個最佳的想法，從而在學習過程中，培養(yǎng)學生的聯(lián)想思維能力。5.聯(lián)想思維訓練學生要使自己擁有卓越的想象能力，首先要不斷豐富知識、擴大知識面，一旦遇到有通感的事物，聯(lián)想就會很快展開。其次要有聯(lián)想意識。對于要解決的問題，有意識地從它的正、反面，以及與它相近、相似的關聯(lián)事物和經(jīng)驗中，多角度地進行思考，從而找到解決問題的線索。再次要在學習過程中，有意識地進行聯(lián)想訓練，使自己聯(lián)想技巧得以提高。6.養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣良好的數(shù)學學習習慣是學好數(shù)學的前提，也是提高數(shù)學解題質(zhì)量的關鍵。為了提高解題質(zhì)量，克服解題障礙，在數(shù)學學習中，學生應對自己進行嚴格要求，努力養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣。主要可以從以下幾個方面入手：首先，積極主動的參與數(shù)學學習，養(yǎng)成課前預習，課后復習的好習慣。在新課改的理念下，多數(shù)學校都采用了導學案，讓學生在課前進行自主學習，完成導學案上的基礎題，并標記難以解決的問題，留到課上討論。如此的教學模式，體現(xiàn)了以學生為主體的理念，讓學生主動參與學習，同時也強調(diào)了課前預習的重要性。因此，在數(shù)學的學習中，學生在課前應做好預習工作，通過預習，初步了解本節(jié)課的重點和難點，并找出自己難以理解的問題，從而帶著疑問有目的的進行課堂學習。在上課期間，應集中精力跟著老師的思路走，積極參與課堂的活動與練習，并做好課堂筆記。當然，不可盲目記筆記，應根據(jù)實際情況，把自己薄弱的知識點以及教師反復強調(diào)的重點知識進行記錄。當一堂課結束，應及時進行復習，對課堂筆記以及課本上的知識進行梳理，并進一步理解記憶。其次，養(yǎng)成良好的數(shù)學解題習慣。良好解題習慣主要是指在解題時做好認真審題、仔細分析、書寫規(guī)范以及反思驗算四個方面。為了養(yǎng)成這樣的習慣，學生應從日常的解題活動出發(fā)，做到每個題目都能按照上述的步驟進行，即使是很簡單的問題，也要有四步走的意識，從而漸漸地形成習慣。一旦養(yǎng)成了這樣良好的解題習慣，在今后的解題中即便不刻意遵循四步驟，也能較好完成解題，大大提高解題的正確率。最后，學生還應養(yǎng)成收集錯題的習慣。由于每道錯題都能呈現(xiàn)出原來錯誤的思維，暴露解題者在某個方面的缺陷，因此，在日常的數(shù)學學習中，學生應將自己在練習以及考試中出錯的題目進行分類總結，從而更好的找到自己的薄弱點，有目標的進行訓練。在收集錯題的時候，可根據(jù)題目所涉及的知識點進行分類，通過在錯題集的首頁建立目錄式的知識框架，按照框架的順序將錯題進行對號入座，方便今后查找；也可按出錯的原因進行分類，如由于粗心出錯，題意理解錯誤，或是知識點掌握不好等?？偠灾?，錯題集需要按照一定的規(guī)律進行整理，以便今后復習所需。當然，還得養(yǎng)成對所收集的錯題進行及時復習的習慣，否則等于做了無用功，即浪費時間也浪費精力。另外，復習應有較強的針對性，不能單單就題論題，應對錯題所涉及的知識點以及錯誤的原因進行復習，抓住自己薄弱環(huán)節(jié)，有針對性的加強訓練。通過這樣反復的回顧總結，不僅可以加深對原有知識的理解，避免今后頻繁出現(xiàn)類似問題，還可以掌握自己思維的缺陷，更好的進行思維訓練。六、聯(lián)想思維與創(chuàng)新思維的聯(lián)系創(chuàng)新思維是指以新穎獨創(chuàng)的方法解決問題的思維過程，通過這種思維能突破常規(guī)思維的界限，以超常規(guī)甚至反常規(guī)的方法、視角去思考問題，提出與眾不同的解決方案，從而產(chǎn)生新穎的、獨到的、有社會意義的思維成果。聯(lián)想思維有著廣泛的基礎，它為我們提供了無限廣闊的天地，一個人如果不會運用聯(lián)想思維，學一點就只知道一點，那么他的知識是零碎的、孤立的，派不上什么用處；可如果他善于運用聯(lián)想思維，就會由此及彼擴展開去，做到舉一反三，聞