第七章 層次分析法

第七章層次分析法（3課時）層次分析法（AHP）是美國運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂（T.L.Saaty）于上世紀(jì)70年代初，為美國國防部研究，根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點(diǎn)是在對復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案日常生活中有許多決策問題。舉例在海爾、新飛、容聲和雪花四個牌號的電冰箱中選購一種。要考慮品牌的信譽(yù)、冰箱的功能、價格和耗電量。在泰山、杭州和承德三處選擇一個旅游點(diǎn)。要考慮景點(diǎn)的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費(fèi)用。在基礎(chǔ)研究、應(yīng)用研究和數(shù)學(xué)教育中選擇一個領(lǐng)域申報科研課題。要考慮成果的貢獻(xiàn)（實用價值、科學(xué)意義）可行性（難度、周期和經(jīng)費(fèi)）和人才培養(yǎng)。8.1層次分析法概述人們在對社會、經(jīng)濟(jì)以及管理領(lǐng)域的問題進(jìn)行系統(tǒng)分析時，面臨的經(jīng)常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)。層次分析法則為研究這類復(fù)雜的系統(tǒng)，提供了一種新的、簡潔的、實用的決策方法。層次分析法(AHP法)是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來，用決策者的經(jīng)驗判斷各衡量目標(biāo)能否實現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。8.2層次分析法的基本原理與步驟人們在進(jìn)行社會的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而彳主彳主缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實用的建模方法。運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面四個步驟進(jìn)行：建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型；構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；層次單排序及一致性檢驗；層次總排序及一致性檢驗。下面分別說明這四個步驟的實現(xiàn)過程。2.1遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點(diǎn)應(yīng)用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個模型下，復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對下一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類：最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。中間層：這一層次中包含了為實現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若十個層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。最底層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個。這是因為支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難。下面結(jié)合一個實例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。例1假期旅游有尸、P、P3個旅游勝地供你選擇，試確定一個最佳地點(diǎn)。I在此問題中，你會根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較3個侯選地點(diǎn)。可以建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型。2.2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成〃小塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)丸，…,W，現(xiàn)在，請人估計這〃小塊的重1n量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量）此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。設(shè)現(xiàn)在要比較〃個因子X={X,...,X}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能1n提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個因子X和X，以a表示X和X對Z的影響大小之比，iJjiJ全部比較結(jié)果用矩陣4=（a）表示，稱a為z-X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若*與X對Z的影響之比為.，則X與X對Z的影響iJJJi之比應(yīng)為a=上。Jaij定義1若矩陣a=（a）滿足（i）.>0，⑴a=（i,J=1,2,...,n）j力aij則稱之為正互反矩陣（易見a=1，i=1,…,n）。關(guān)于如何確定a^.的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了1?9標(biāo)度的含義：標(biāo)度含義1表示兩個因素相比，具有相同重要性3表示兩個因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要9表示兩個因素相比，前者比后者極端重要2，4，6,8表示上述相鄰判斷的中間值倒數(shù)若因素j與因素j的重要性之比為。，那么因素/.與ij因素i重要性之比為〃=X。jaij從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用1?9標(biāo)度最為合適。最后，應(yīng)該指出，一般地作〃（孔-1）次兩兩判斷是必要的。有人認(rèn)為把所有2元素都和某個元素比較，即只作〃_1個比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個判斷的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個別判斷的失誤對于難以定量的系統(tǒng)彳主彳主是難以避免的。進(jìn)行41!次比較可以提供更多的信息，通過各種2不同角度的反復(fù)比較，從而導(dǎo)出一個合理的排序。2.3層次單排序及一致性檢驗判斷矩陣人對應(yīng)于最大特征值人皿'的特征向量w，經(jīng)歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對于上一層次某因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因素的十?dāng)_，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陽的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：?.一（1）ajak=akVi,j,k=1,2,…,n''定義2滿足關(guān)系式（1）的正互反矩陣稱為一致矩陣。需要檢驗構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣4是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受4。定理1正互反矩陣4的最大特征根人必為正實數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所max有分量均為正實數(shù)。4的其余特征值的模均嚴(yán)格小于人。max定理2若4為一致矩陣，則（i）4必為正互反矩陣。（ii）4的轉(zhuǎn)置矩陣Ar也是一致矩陣。（iii）4的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而rank（4）=1（同樣，4的任意兩列也成比例）。（iv）A的最大特征值人=n，其中〃為矩陣A的階。人的其余特征根均為max零。（V）若4的最大特征值人對應(yīng)的特征向量為w=（w，…,W廣，^"=wi，jTOC\o"1-5"\h\zVi,j=1,2,…，n，艮。wwwrr...—www12nwww—2—2…—24=www12n.........www…www12n定理3昨階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征木技=n，且當(dāng)max正互反矩陣a非一致時，必有人>孔。max根據(jù)定理3,我們可以由人是否等于孔來檢驗判斷矩陣a是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴七..，故人比孔大得越多，a的非一致性程度也就越嚴(yán)ljmax重，人對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映或=（X,...,X｝在對因素max1nZ的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：（i）計算一致性指標(biāo)aCI=入max-"n一1（ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)顯。對n=1,…,9，Saaty給出了RI的值，如下表所示：n123456789RI000.580.9021.411.45RI的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造500個樣本矩陣：隨機(jī)地從1?9及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值'，并定義RI=入max-n。n一1（iii）計算一致性比例°&CICR=——當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。2.4層次總排序及一致性檢驗上面我們得到的是一組元素對其上一層中某元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇?？偱判驒?quán)重要自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。設(shè)上一層次(人層)包含氣,…,A共^個因素，它們的層次總排序權(quán)重分別為a1,...,a。又設(shè)其后的下一層次G層)包含〃個因素氣,…,b，它們關(guān)于人.的層次單排序權(quán)重分別為8,...M(當(dāng)B與A無關(guān)聯(lián)時，b=0)。現(xiàn)求￡層中各因1JniJ.素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求3層各因素的層次總排序權(quán)重八...M，計算按下表所示方式進(jìn)行，即b”『，i=1,…,n。J=1A層&a\RmB層總排序權(quán)值如^12blmmKjb2b金i壇2b*m￡bg**VJbumSbg對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因為雖然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。設(shè)b層中與A相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗，J求得單排序一致性指標(biāo)為CI(J)，(j=1,...,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(J)(CI(J)、RI(J)已在層次單排序時求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比例為zC'（j）aCR=j11RI（j）aj=1當(dāng)CR<0.10時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。求得單排序一致性指標(biāo)為CI(J)，8.3應(yīng)用層次分析法的注意事項層次分析法的優(yōu)點(diǎn)系統(tǒng)性一將對象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策。成為成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具；實用性——定性與定量相結(jié)合，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性；簡潔性一計算簡便，結(jié)果明確，具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，容易被決策者了解和掌握。便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限囿舊一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案；粗略——該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。；主觀一從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點(diǎn)的一種途徑。8.4層次分析法的應(yīng)用在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有兩個：（i）如何根據(jù)實際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（ii）如何將某些定性的量作比較接近實際定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（i）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性，卻無法排除決策者個人可能存在的嚴(yán)重片面性。（ii）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法。AHP方法經(jīng)過幾十年的發(fā)展，許多學(xué)者針對AHP的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)和完善，形成了一些新理論和新方法，像群組決策、模糊決策和反饋系統(tǒng)理論近幾年成為該領(lǐng)域的一個新熱點(diǎn)。在應(yīng)用層次分析法時，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步。現(xiàn)再分析一個實例，以便說明如何從實際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。例2選拔十部模型對三個十部候選人y1、y2、y3,按選拔十部的五個標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系構(gòu)成如下層次分析模型假設(shè)有三個十部候選人y1、y2、y，按選拔十部的五個標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下3層次分析模型

準(zhǔn)則展構(gòu)造成對比較矩陣準(zhǔn)則展比較第i個元素與第j個元素相對上一層某個因素的重要性時，使用數(shù)量化的相對權(quán)重氣來描述。設(shè)共有n個元素參與比較，貝K=（氣）心缶稱為成對比較矩陣。成對比較矩陣中％的取值可參考Satty的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。aij在1-9及其倒數(shù)中間取值。.aij=1，元素i與元素j對上一層次因素的重要性相同；.aij=3，元素i比元素j略重要；.aij=5，元素i比元素j重要；.a「=7，元素i比元素j重要得多；

.a”=9,元素i比元素j的極其重要；.a”=2n,n=1,2,3,4,元素i與j的重要性介于a”=2n1與a”=2n+1之間；.w?,n=1,2,...,9,當(dāng)且僅當(dāng)a=n。,ji成對比較矩陣的特點(diǎn)：""'、""""y.。（備注：當(dāng)i=j時候，a..=1）對例2，選拔十部考慮5個條件：品德x，才能x，資歷x，年齡x，群1234眾關(guān)系x。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下：511-21-71-nl-n2111-21-71-nl-n211-41-31-3531-21174123a14=5表示品德與年齡重要性之比為5，即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。作一致性檢驗從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應(yīng)該有aa*二a了但實際上在構(gòu)造成對比較矩陣時要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求：的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。檢驗成對比較矩陣A一致性的步驟如下：.計算衡量一個成對比矩陣A（n>1階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI：偵［^rruix（，）-門其中Amax是矩陣A的最大特征值。注解.從有關(guān)資料查出檢驗成對比較矩陣A一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI：RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù)有關(guān)。.按下面公式計算成對比較陣A的隨機(jī)一致性比率CR：.判斷方法如下：當(dāng)CR<0.1時，判定成對比較陣A具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對比較矩陣A，直到達(dá)到滿意的一致性為止。例如對例2的矩陣531-3531-311531-9-1174123211-41-31-31-_VI-51-5計算得到1——""一、,查得RI=1.12,這說明A不是一致陣，但A具有滿意的一致性，A的不一致程度是可接受的。此時A的最大特征值對應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。這個向量也是問題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成u=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087》。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后這個向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔十部時，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。求A的特征值的方法可以用MATLAB語句求A的特征值：〔Y,D〕=eig(A)，Y為成對比較陣的特征值，D的列為相應(yīng)特征向量。在實踐中，可采用下述方法計算對成對比較陣A=(a_{ij})的最大特征值入max(A)和相應(yīng)特征向量的近似值。定義=遛=1&切"''"、'"“.：，：,.七可以近似地看作A的對應(yīng)于最大特征值的特征向量。計算"1寸(叫_1寧二］n會％n2；=炒見可以近似看作A的最大特征值。實踐中可以由入來判斷矩陣A的一致性。層次總排序及決策現(xiàn)在來完整地解決例2的問題，要從三個候選人y1,y2，y3中選一個總體上最適合上述五個條件的候選人。對此，對三個候選Ay=y,y,y分別比較他123們的品德(X)，才能(x)，資歷(x)，年齡(x)，群眾關(guān)系(x)。12345先成對比較三個候選人的品德，得成對比較陣經(jīng)計算，B的權(quán)向量

31(Y)=(0.082,0.244,0.674)z=3.002,C/=0.001,名=<0.1HlU.OO故B1的不一致程度可接受。3xi(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。類似地，分別比較三個候選人的才能，資歷，年齡，群眾關(guān)系得成對比較1-3-11-31-3-11-35通過計算知，相應(yīng)的權(quán)向量為幕Y)=(0.606,0.265,0.129)"心￥)=(0.429,0.429,0.143)^心￥)=(0.636,0.185,0.179)"心心(丫)=(0.167,0.167,0.667)"它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗知,12受。最后計算各候選人的總得分。y1的總得分必（J/1）==1的翊=0.457x0.082|0.263x0.606I0.051x0.429|0.104x0.從計算公式可知，七的總得分3(y1)實際上是y1各條件得分3(y),3(y),...,3(y)，的加權(quán)平均，權(quán)就是各條件的重要X11x21x51性。同理可得y2,Y3的得分為3(y2)=0.243,3