第一節(jié) 導數(shù)的概念及其幾何意義

第一節(jié)導數(shù)的概念及其幾何意義備考方向明確復習目標學法指導導數(shù)概念的實際背景.曲線的切線的定義、導數(shù)的幾何意義、理解導數(shù)的概念.根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù))，y=x,y=1,y=x2,y=x3,y=K的導數(shù).X理解導數(shù)的概念，會利用導數(shù)的定義，求一些簡單函數(shù)的導數(shù).熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式.正確區(qū)分曲線在某點處的切線與過某點的切線.知識鏈條完善句網(wǎng)絡構(gòu)建一、函數(shù)的平均變化率概念:對于函數(shù)y=f(x),f(七)2(七)=里,叫做函數(shù)y=f(x)從x到xX-氣心12的平均變化率.幾何意義:函數(shù)y=f(x)圖象上兩點(x,f(x)),(x,f(x))連線的斜1122率.物理意義:函數(shù)y=f(x)表示變速運動的質(zhì)點的運動方程，就是該質(zhì)點在［x1,x2］上的平均速度.二、導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)定義稱函數(shù)y=f(x)在x=x處的瞬時變化率lim笆=limf(%+愆)-八七)為函數(shù)w0Ax*T0毆y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，記作f(x0)或y，|，即仁(X0)=lim塵=limf(x0+Ax)T(x0).AxT0AxAxT0Ax幾何意義函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(xo，f(x。))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù)).相應地,切線方程為y-f(x)=f'(x)(x-x).000—函數(shù)f(x)的導函數(shù)稱函數(shù)f'(x)=limf(x+Ax)-f(x)為f(x)的導函數(shù).AT0AxC3拓展空間概念理解導數(shù)即為自變量改變量趨近0時，函數(shù)平均變化率的極限.f'(x0)表示函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)值；(f(x。))'是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，而函數(shù)值f(x)是一個常數(shù),其導數(shù)一定為0,即(f(x))'=0.00⑶曲線y=f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，切線斜率為k=f'(x0)的切線，是唯一的一條切線.曲線y=f(x)過點P(x0，y0)的切線,是指切線經(jīng)過P點.點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.(4)曲線未必在其切線的“同側(cè)”，例如直線y=0(即x軸)是曲線y=x3在點(0,0)處的切線.(5)直線與曲線公共點的個數(shù)不是曲線的切線的本質(zhì)特征，直線與曲線只有一個公共點，不能說明直線就是曲線的切線，反之，直線是曲線的切線，也不能說明直線與曲線只有一個公共點，例如曲線y=x3在點(1,1)處的切線y=3x-2與曲線y=x3還有一個交點(-2,-8).與導數(shù)幾何意義有關(guān)的結(jié)論切點既在曲線上，也在切線上，切點的坐標同時適合曲線方程和切線方程.⑵求曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程，點P(x0,f(x0))為切點，當切線斜率存在(即f(x)在x=%處可導)時，切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);當切線斜率不存在(即f(x)在x=x0處不可導)時，切線方程為x=x0.⑶已知曲線f(x)的切線斜率為k,則切點(x0，f(x0))的橫坐標x0就是方程f'(x)=k的解.0奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).周期函數(shù)的導數(shù)仍是周期函數(shù)，其周期與原函數(shù)的周期相同.三、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f(x)=0f(x)=xa(aEQ*)f(x)=axa-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a#1)f(x)二axlnaf(x)二exf/(x)二exf(x)=logx(a>0,且a#1)f'(x)二—xInaf(x)=lnxf/(x)=1xC3拓展空間公式理解利用公式求導時要特別注意不要將幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式混淆，幕函數(shù)的求導公式為(Xn)'=nXn-1,而指數(shù)函數(shù)的求導公式為(ax)/=axlna.鋼溫故知新若物體的運動方程是s=t3+t2-1,t=3時物體的瞬時速度是(D)27(B)31(C)39(D)33解析:因為v=s'=3t2+2t,所以此物體在t=3時的瞬時速度為3X32+2X3=33.故選D.曲線y=X3在原點處的切線(B)不存在有1條，其方程為y=0有1條，其方程為x=0有2條，其方程為x=0和y=0函數(shù)f(x)=exsinx的圖象在點(0,f(0))處的切線的傾斜角為(C)(A)3n(B)n(C)n(D)n解宰析:因為f(x)=exsinx+excosx所以f'(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線的斜率為1.所以在點(0,f(0))處的切線的傾斜角為n.故選C.如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程是y=-x+8，則f(5)+f(5)=.解析：由題意知切線的斜率k=f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3,所以f(5)+f'(5)=3-1=2.答案：2已知曲線y=lnx的切線過原點，則此切線的斜率為答案：1高頻考點突破考點一平均變化率［例1］若函數(shù)f(x)=2x2-1的圖象上一點(1,1)及鄰近一點(1+Ax,1+△y),則笠等于()4(B)4x(C)4+2Ax(D)4+2(Ax)解析：因為Ay=[2(1+Ax)2-1]-1=2(Ax)2+4Ax,所以里=4+2Ax.故選C.G遷移訓練已知一質(zhì)點的運動方程是s(t)=8-3t2，則該質(zhì)點在［1,1+At］這段時間內(nèi)的平均速度是(A)(A)-6-3At(B)-6+3At(C)8-3At(D)8+3At解析：因為s=8-3t2,所以As=8-3(1+At)2-(8-3X")=-6At-3(At)2,所以質(zhì)點在［1,1+At］這段時間內(nèi)的平均速度為-=塵=-6-3At.故選A.考點二導數(shù)的概念［例2］(1)設函數(shù)f(x)=ax+3,若f'(1)=3，則a等于()(A)2(B)-2(C)3(D)-3用導數(shù)的定義求函數(shù)y二二在x=1處的導數(shù).x(1)解析：f'(x)=limf(x+k)-fG)AxT0電=a(x+Ax)+3-C,ax+3)limAxT0Ax=「a-AxlimAxT0Ax二a,所以f'(1)=a=3.故選C.⑵解:記f(x)=4,Vx則Ay=f(1+Ax)-f(1)=1-1<1+Ax=1-、1+Ax1+Ax二(-d1+Ax)(+、?1+Ax)■■.1+A■■.1+Ax(+%1+Ax1+Ax(+'，1+Ax)笆二—('^=1，Ax偵1+AxG+'；1+Ax)所以limA=lim.尸^=1=-1.AxT0Ax40''?'1+AxM+、.1+Ax2所以y/,j-i.反思歸納)(1)根據(jù)導數(shù)的定義,求函數(shù)y=f(x)在x=x°處導數(shù)的步驟求函數(shù)值的增量△y=f(x°+Ax)-f(x°);求平均變化率Ay=f(x0+Ax)—f(x0)；AxAx計算導數(shù)f'(x)=］imAx.°Axm°ax求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)與求函數(shù)在某點處的導數(shù)的方法一致，只是把x°換成x.求f'(x°)時,可先求f'(x),再將x=x°代入求值.C3遷移訓練已知函數(shù)f(x)在x=2處的導數(shù)為5，則limf(2-Ax)一f(l)等于(D)TOC\o"1-5"\h\z4Axt0Ax(A)-3(B)5(C)3(D)-54444解析:函數(shù)f(x)在x=2處的導數(shù)為5,4則limf(2-蚩)-f(2)=5limf(2-k)-f(2)=-5.故選D.Ax—0-Ax4Axt0Ax4考點三基本初等函數(shù)導數(shù)公式的應用［例3］下列各式正確的是()(A)(sina)'=cosa(a為常數(shù))(cosx)'=sinx(sinx)'=cosx(x-5)'=-x-6解析：由導數(shù)運算法則易得，注意A選項中的a為常數(shù)，所以(sina)'=0.故答案為C.礦志，?」末熟記基本初等函數(shù)導數(shù)公式是求導數(shù)的關(guān)鍵.H遷移訓鯨若函數(shù)f(x)=cosx+2xf'(n)，則f(-n)與三(n)的大小關(guān)系是TOC\o"1-5"\h\z633(C)(A)f(-n)=f(n)(B)f(-n)>f(n)3333(C)f(-n)<f(n)(D)不確定33解析:依題意得f'(x)=-sinx+2f'(n),6所以f'(n)=-sinn+2f'(n),666所以f'(n)=1.62所以f(x)=cosx+x,于是三(n)=cosn+n=1+n,33323f(-兀)=cos(-兀)-兀二1-兀,,33323所以f(n)>f(-n).故選C.33已知函數(shù)f(x)二工+x3+sinx,其導函數(shù)為f'(x),則f(2ex+1020)+f(2020)+f(-2020)-f'(-2020)的值為(B)(A)4040(B)4(C)2(D)0解析：函數(shù)f(x)=4+x3+sinxf(x)+f(-x)=4+4ex=4,f'(x)=-4ex+3x2+cosx,f'(x)-f'(-x)=0,(ex+1)2f(2020)+f'(2020)+f(-2020)-f'(-2020)=4,故選B.考點四正確理解導數(shù)的幾何意義[例4](1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是()0<f‘(2)<f(3)<f(3)-f(2)0<f(2)<f(3)-f(2)<f‘(3)0<f‘(3)<f(3)-f(2)<f(2)0<f(3)-f(2)<f(2)-f(3)(2)如圖,y=f(x)是可導函數(shù)，直線l:y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線，令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的導函數(shù)，則g'(3)等于()(A)-1(B)0(C)2(D)4解析：(1)由函數(shù)f(x)的圖象可知：當xN0時,f(x)單調(diào)遞增，且當x=0時,f(0)<0,所以f'(2),f'(3),f(3)-f(2)〉0,由此可知f'(x)>0,因為直線的斜率逐漸減小，所以f'(x)單調(diào)遞減，所以f'(2)〉f'(3),因為f(x)為凸函數(shù)，

所以f(3)-f(2)<f'(2),f(3)-f(2)>f'(3),所以0<f(3)<f(3)-f(2)<f(2),故選C.(2)將點(3,1)代入直線y=kx+2的方程得3k+2=1，得k=-1,3所以f'(3)=k=-1,3由于點(3,1)在函數(shù)y=f(x)的圖象上，則f(3)=1,對函數(shù)g(x)=xf(x)求導得g'(x)=f(x)+xf'(x),所以g'(3)=f(3)+3f'(3)=1+3X(-1)=0，故選B.3衰思(1)求在函數(shù)曲線上某點處的切線方程，可利用導數(shù)求出函數(shù)在此點處切線的斜率，根據(jù)點斜式，寫出切線方程；(2)若未知切點求切線方程，關(guān)鍵是設出切點，根據(jù)導數(shù)的幾何意義,由條件求出切點坐標,從而求出切線方程.過原點作曲線y=ex的切線，則切點坐標為，切線的斜率解析:y'=(ex)'=ex,設切點為lx。,時)，則切線斜率為k=s，e氣)切線方程為y-e.o=so(x-x0),因為切線過原點,所以-=-x,exo0exo解得x0=1,所以切點為(1,e),過原點作曲線y=ex的切線，則切點坐標為，切線的斜率課堂類題精練類型一平均變化率、導數(shù)的概念1.如圖，函數(shù)y=f(x)在A,B兩點間的平均變化率是(B)(A)11-0i3A(B)-1(C)2(D)-2解析:依題意可知△y=yB-yA=1-3=-2,Ax=xb-xa=3-1=2,所以函數(shù)y=f(x)在A,B兩點間的平均變化率為塵=公=-1,故選B.Ax22.函數(shù)y=f(x)在點(x0,y0)處的切線方程為y=2x+1,則limf(x0)-f(x0-2Ax)AT0Ax等于(D)(A)-4(B)-2(C)2(D)4解析：由函數(shù)y=f(x)在點(x0,y0)處的切線方程為y=2x+1知f'(x°)=2,再由函數(shù)導數(shù)的定義可知limfG0+Ax)_f(x0)=f'(x)；AxT0Ax。從而limf(x0)-f(x0_2Ax)AT0Ax—limAxT0fG+(-2&))-f(氣—limAxT0-2Ax=2l，f(x+(-2Ax))一f(x)-2Axt0(—2Ax)=2f'(x)0故選D.類型二基本初等函數(shù)導數(shù)公式的應用設P為曲線C:y=X3-x2+2上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0,n]，則點P橫坐標的取值范圍為^4解析：由于曲線C在點P處的切線的傾斜角的取值范圍是[0,n]，則切4線斜率的取值范圍是[0,1],對函數(shù)y=X3-X2+2求導得y'=3x2-2x,令0Wy'W1,即0W3x2-2xW1,解不等式3x2-2xN0,得xW0或xN2;3解不等式3x2-2xW1,即3x2-2x-1W0,解得-1WxW1.3所以，不等式組0W3x2-2xW1的解集為[-1,0]U[2,1].33因此，點P的橫坐標的取值范圍是[-1,0]U[2,1].33答案:[-1,0]U[2,1]33類型三導數(shù)的幾何意義及其應用函數(shù)y=cosx的圖象上一點(冬，2)處的切線的斜率為(A)TOC\o"1-5"\h\z62(A)-1(B)W(C)-i!(D)-立2222解析：由y'=(cosx)'=-sinx,所以切線的斜率k=y'|n=-sinx6n=-i.故選A.62(2019?溫州適應性測試7)已知點A(X],y]),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=a、：+bx2的圖象上的任意兩點，且y=f(x)