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第七章剛體力學(xué)(Chapter7Mechanicsofarigidbody)前言剛體運(yùn)動的描述剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)剛體的平衡自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)第七章剛體力學(xué)前言1前言一、本章的基本內(nèi)容及研究思路前面幾章討論了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動規(guī)律,本章將討論具有一定形狀和大小的物體的運(yùn)動。具有形狀和大小的實(shí)際物體的運(yùn)動一般是較復(fù)雜的,它可以平移、轉(zhuǎn)動,還可能發(fā)生形變。為了使問題簡化,一般假定物體無論受多大外力或轉(zhuǎn)動得多快都不變形,并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對象的另一個理想模型。本章的基本內(nèi)容是:剛體運(yùn)動學(xué)→剛體動力學(xué)(剛體定軸轉(zhuǎn)動,剛體的平面平行運(yùn)動)→剛體靜力學(xué)(對剛體受力的平動和轉(zhuǎn)動這兩種效果予以分析,從而得出不使剛體的狀態(tài)產(chǎn)生變化的條件)→剛體三維運(yùn)動。研究剛體力學(xué)時,設(shè)想將它分割成許多部分,每一部分都小到可看作質(zhì)點(diǎn),叫作剛體的“質(zhì)元”,對于剛體,它的任意兩質(zhì)元之間的距離保持不變,因此,剛體就像是一個凍結(jié)的質(zhì)點(diǎn)系,由于每個質(zhì)元服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律,由此出發(fā),就能推演出剛體的運(yùn)動規(guī)律。前言2這是剛體力學(xué)研究的基本方法。二、本章的基本要求理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量(角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度)并掌握角量與線量的關(guān)系;理解轉(zhuǎn)動慣量的概念并會計(jì)算一些剛體的轉(zhuǎn)動慣量;掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)規(guī)律;了解剛體平面平行運(yùn)動的特點(diǎn)。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題:教材251--252練習(xí)題:7.1.47.2.27.3.17.3.37.3.57.3.67.3.87.4.27.5.17.5.47.5.67.6.1這是剛體力學(xué)研究的基本方法。3§1剛體運(yùn)動的描述
剛體運(yùn)動學(xué)的任務(wù)在于研究如何描述剛體運(yùn)動但不涉及運(yùn)動變化的原因,只有給出剛體上所有質(zhì)元的運(yùn)動狀況,才算完整描述了剛體的運(yùn)動。一、剛體的平動如果在運(yùn)動中,剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變,這種運(yùn)動就稱為剛體的平動。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動。O§1剛體運(yùn)動的描述O4由于i,j是任意兩個質(zhì)元,所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的速度和加速度,各質(zhì)元的運(yùn)動軌跡的形狀也相同。這里很自然想到一個代表性的質(zhì)元——質(zhì)心。二、剛體的轉(zhuǎn)動
如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動就稱為剛體轉(zhuǎn)動,這直線稱為轉(zhuǎn)軸,轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動。例如機(jī)器上齒輪的運(yùn)動,門窗等都是定軸轉(zhuǎn)動。若轉(zhuǎn)軸上有一點(diǎn)靜止于參考系,而轉(zhuǎn)軸的方向在變動,這種轉(zhuǎn)動稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。例如玩具陀螺的轉(zhuǎn)動就屬于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。分析表明:剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動總可以分解為平動和轉(zhuǎn)動(定軸轉(zhuǎn)動或定點(diǎn)轉(zhuǎn)動)的疊加,例如車輪的滾動。研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,通常取任一垂直于定軸的平面作為轉(zhuǎn)動平面,如圖所示,通過分析,轉(zhuǎn)動平面內(nèi)各個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況搞清楚了,整個剛體的運(yùn)動情況就知道了。取任一質(zhì)點(diǎn)P,P在這一轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動,用矢徑r與Ox軸間由于i,j是任意兩個質(zhì)元,所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的5的夾角θ就能完全確定在空間的位置,θ稱為角坐標(biāo),規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動的θ為正,順時針方向?yàn)樨?fù)。θ=θ(t)——剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程。轉(zhuǎn)動平面參考方向轉(zhuǎn)軸xzPrθO不同位置質(zhì)元在時間內(nèi)的角位移都相同,可見,描述的是整個剛體轉(zhuǎn)過的角度,故稱為剛體轉(zhuǎn)動的角位移。式中稱為剛體轉(zhuǎn)動角速度。面對z軸觀察,,剛體逆時針轉(zhuǎn)動;,剛體順時針轉(zhuǎn)動。的夾角θ就能完全確定在空間的位置,θ稱為角坐標(biāo),規(guī)定逆時針6式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。與的符號相同時,剛體作加速運(yùn)動;反之,轉(zhuǎn)速減小,作減速運(yùn)動。注:對軸外所有各質(zhì)點(diǎn)在同一時間間隔內(nèi)走過的弧長雖不同,但角位移,角速度、角加速度(角量)都相同,但各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度(線量)各不相同。由轉(zhuǎn)動平面圖很容易得到線量與角量的關(guān)系。可見,角量充分地描述了剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。三、角速度矢量對于剛體定軸轉(zhuǎn)動,只有“正”“反”兩種轉(zhuǎn)動方向,通過的正負(fù)即可指明。但是當(dāng)剛體并非作定軸轉(zhuǎn)動時,其轉(zhuǎn)軸的方位是可能變動的。這里為了既描述轉(zhuǎn)動的快慢又能說明轉(zhuǎn)軸的方位,可以統(tǒng)一地用角速度矢量來描述。的大小是,式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。與7的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅適用于剛體轉(zhuǎn)動,也適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。在定軸轉(zhuǎn)動下,可利用將剛體上任一質(zhì)點(diǎn)P的速度表示為。原點(diǎn)不在圓心的情況圓周運(yùn)動中與的關(guān)系作為角速度對時間的變化率,角加速度也是矢量:的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅8角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動時,可令z軸與轉(zhuǎn)軸重合,則,故。前文定軸轉(zhuǎn)動中講到的和正是這里的與,它們分別是角速度矢量和角加速度矢量在轉(zhuǎn)軸(即z軸)上的投影。今后為明確起見,凡涉及角速度投影,均附以角標(biāo)。四、剛體的平面運(yùn)動
剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動,且這些平面均與一固定平面平行,稱作剛體作平面運(yùn)動,其特點(diǎn)是,剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn),運(yùn)動狀況都相同。根據(jù)此特點(diǎn),可利用與角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動9固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一經(jīng)確定,剛體的位置便確定了。今后說到“剛體”的時候,其實(shí)指的就是剖面。在平面平行運(yùn)動中,剛體內(nèi)各點(diǎn)的位移、速度和加速度是各不相同的,因此根本談不上什么剛體的位移、速度和加速度。應(yīng)當(dāng)將“剛體的運(yùn)動”與“剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動”區(qū)分開來。建立坐標(biāo)系O-xyz,使平面圖形在Oxy面內(nèi),如圖所示,z軸與紙面垂直,在平面上任選一點(diǎn)B,稱作基點(diǎn),其位置矢量為還不足以確定剛體位置,因平面圖形還可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動。建立以基點(diǎn)B為原點(diǎn),坐標(biāo)軸與O-xyz系各相應(yīng)軸保持平行的坐標(biāo)系。若能指出平面圖形繞B點(diǎn)或剛體繞軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo),即圖中任意點(diǎn)A的位置矢量與軸的夾角,剛體位置便可固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一10唯一確定。總之,為描述平面運(yùn)動,必須給出即需要三個標(biāo)量函數(shù)才能描述剛體的平面運(yùn)動,與反映任意選定的基點(diǎn)的運(yùn)動,刻劃剛體繞通過基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動,在運(yùn)動學(xué)中,基點(diǎn)的選擇是任意的。現(xiàn)在來研究剛體位置的改變。在時刻t,剛體的位置為ABC;過了一些時間,到了時刻,剛體的位置變?yōu)?。剛體位置的改變可以這樣來描述:剛體先隨基點(diǎn)A平動,位移為,再繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)一定的角度。唯一確定??傊瑸槊枋銎矫孢\(yùn)動,必須給出即需要三個標(biāo)量函數(shù)才11既然基點(diǎn)的選取是任意的,我們完全可以選取另一點(diǎn),例如C,作為基點(diǎn)。剛體隨C點(diǎn)平動,再繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動。剛體隨C點(diǎn)平動的位移不同于它隨A點(diǎn)平動的位移,剛體繞C轉(zhuǎn)動的角度則同于剛體繞A轉(zhuǎn)動的角度。就圖而言,不論取A點(diǎn)或取C點(diǎn)為基點(diǎn),剛體都是逆時針轉(zhuǎn)90°。這是毫不奇怪的,不論隨A點(diǎn)平動或隨C點(diǎn)平動,剛體都保持著原來的方位,將它從這種方位轉(zhuǎn)到新的方位所需要轉(zhuǎn)過的角度自然是一定的。令,剛體在一瞬刻的運(yùn)動情況可以這樣來描述:剛體隨著基點(diǎn)A以速度平動(即基點(diǎn)A的速度),并以角速ω繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動,平動的速度即基點(diǎn)的速度,與基點(diǎn)的選取有關(guān),轉(zhuǎn)動的角速度ω則與基點(diǎn)的選取無關(guān)。基于以上論述,可將剛體平面運(yùn)動視為隨基點(diǎn)的平動與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動的合成,事實(shí)上,平動與轉(zhuǎn)動是同時進(jìn)行的。下面討論作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度,以A點(diǎn)為例:既然基點(diǎn)的選取是任意的,我們完全可以選取另一點(diǎn),例如C,作為12此即作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。在每一瞬時,剛體中總有這么一點(diǎn),其即時速度為零。既然基點(diǎn)的選取是任意的,我們當(dāng)然可以選速度為零的這一點(diǎn)C為基點(diǎn),此時剛體的運(yùn)動情況的描述頗為簡便,其它各點(diǎn)只是簡單繞這基點(diǎn)轉(zhuǎn)動。C點(diǎn)稱為瞬時轉(zhuǎn)動中心,通過C點(diǎn)而垂直于所研究剖面的直線稱為瞬時轉(zhuǎn)動軸線。怎樣尋找瞬心?1、只要知道剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的瞬時速度的方向,即可找到瞬心;2、有些情況,一眼就可看出。例如行駛中的輪輪,若不滑動,則輪的著地點(diǎn)的即時速度為零(如果不為零,則著地點(diǎn)必相對于地面滑動)。在每一瞬時,輪都是繞著其著地點(diǎn)轉(zhuǎn)動。輪心的速度為這就是滾動著的物體不“打滑”的運(yùn)動學(xué)判據(jù)。此即作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。13轉(zhuǎn)動中心也可能在剛體的外面,可這樣理解:這個在剛體外面的瞬心好象剛性地聯(lián)結(jié)于剛體,而剛體則瞬時地繞它轉(zhuǎn)動。
§2剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理
動量是物理學(xué)中重要的守恒量,現(xiàn)將它運(yùn)用于剛體。質(zhì)點(diǎn)系的動量可表示為。剛體為不變質(zhì)點(diǎn)系,此二式仍適用。但因剛體內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)距離不變,故質(zhì)心相對于剛體的位置亦不變,對剛體說,用表示動量更方便。現(xiàn)在先研究剛體質(zhì)心,再討論有關(guān)動量的規(guī)律。一、剛體的質(zhì)心
對于質(zhì)點(diǎn)系,我們已經(jīng)知道其質(zhì)心坐標(biāo)為轉(zhuǎn)動中心也可能在剛體的外面,可這樣理解:這個在剛體外面的瞬心14對于剛體當(dāng)然適用,一般而言,剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及剛體體積V,分幾種情況:1、剛體具有對稱中心,質(zhì)心就是對稱中心;2、若剛體無對稱中心,但可以劃分為幾部分,而每一部分都有對稱中心,各部分的中心就是各部分的質(zhì)心,這些質(zhì)心形成為分立的質(zhì)點(diǎn)組,則剛體的質(zhì)心就歸結(jié)為這一質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心;3、前二個條件都不具備,這時就必須求積分,計(jì)算剛體的質(zhì)心。對于剛體當(dāng)然適用,一般而言,剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及15[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板,大小圓板相切,求余下部分的質(zhì)心。[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系,考慮對稱性,余下部分質(zhì)心一定在x軸上,即按第2種情況考慮:整體=陰影+小圓,得Oxy[例題]半圓形均勻薄板(半徑為R),試求其質(zhì)心所在。xyyRO[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系,由對稱性可知xc=0,yc=?將半圓劃分為許多平行于x軸的窄條,每一窄條中各點(diǎn)具有相同的y,陰影部分面積[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑16剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理課件17質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合;剛體質(zhì)心的位置也就完全可以不與剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合,換句話說:剛體的質(zhì)心完全可以在剛體之外!(如右圖所示)C1C2C由以上例子可看出,求質(zhì)心時需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,令坐標(biāo)軸沿對稱軸且令原點(diǎn)位于其中某一部分質(zhì)心處往往帶來方便。二、剛體的動量與質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和為零,則動量守恒。剛體受到的外力矢量和為零,動量當(dāng)然也守恒,即p=mvc=恒矢量。將質(zhì)心運(yùn)動定理用于剛體,亦有表示外力矢量和,ac為質(zhì)心加速度。質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位18§3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動動能
與轉(zhuǎn)動慣量
一、剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點(diǎn)的角動量
請大家現(xiàn)在閱讀教材201-203頁!動量總沿速度方向,而上例表明,當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時,剛體的角動量矢量并不一定沿角速度方向,它可能和角速度成某一角度。從這兩個最簡單的例子推而廣之,不難想到質(zhì)量分布與幾何形狀有共同對稱軸的剛體,當(dāng)繞該對稱軸轉(zhuǎn)動時剛體對軸上任一點(diǎn)的角動量與角速度方向相同。但就一般情況,剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點(diǎn)的角動量并不一定沿角速度的方向,而是與之成一定夾角?!?剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動動能
與轉(zhuǎn)動慣量19二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能與轉(zhuǎn)動慣量整個剛體的動能是所有各質(zhì)點(diǎn)的動能之和,即括號內(nèi)的量常用I來表示,叫做剛體對給定z軸的轉(zhuǎn)動慣量。通過上面討論還知道:二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能與轉(zhuǎn)動慣量括號內(nèi)的量常用I來表示,叫20與平動公式相比較,可知轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時的質(zhì)量,是物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動慣量定義式:剛體的轉(zhuǎn)動慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近的分布情況。因此質(zhì)量大的剛體不一定有較大的轉(zhuǎn)動慣量,另外,就一定的剛體來說,對不同轉(zhuǎn)軸,各質(zhì)元距軸的距離不同,轉(zhuǎn)動慣量也可能不同,因此,一談到轉(zhuǎn)動慣量,必先明確是哪一個剛體對哪一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。下面舉幾個簡單而又非常重要的例子。[例題]均勻細(xì)棒繞垂直于通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。[解]任取一質(zhì)元xxdxl/2l/2O與平動公式相比較,可知轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時的質(zhì)量,是物體在轉(zhuǎn)21[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。[解]由于所有質(zhì)元都離軸等遠(yuǎn)R[例題]均勻圓盤繞垂直盤面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。參考教材P204頁,求得此結(jié)論也適用于圓柱體。注意:轉(zhuǎn)動慣量是可加的。即剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各個部分對同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的和。這一點(diǎn)可從定義式直接看出來。[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量22例如,求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動慣量-小
圓柱轉(zhuǎn)動慣量=
教材224頁表中結(jié)果要能推出并記住!以上例子中轉(zhuǎn)軸都是通過剛體質(zhì)心的對稱軸,若轉(zhuǎn)軸平移,轉(zhuǎn)動慣量如何變化?下面兩個定理對于轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算往往很有幫助,特別是定理一。
[定理一]平行軸定理:設(shè)剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為Ic,將軸朝任何方向平行移動一個距離d,則繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量ID為ID=Ic+md2[證]CDIcIDd例如,求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動慣量-小23[定理二]垂直軸定理:設(shè)剛性薄板平面為xy面,z軸與之垂直,則對于任何原點(diǎn)O繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為[定理二]垂直軸定理:設(shè)剛性薄板平面為xy面,z軸與之24
應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。提一個問題:通過剛體中的某個點(diǎn),可以引很多軸線,怎樣求剛體對于通過某個點(diǎn)各根軸線的轉(zhuǎn)動慣量?在理論力學(xué)中我們可以找到一個一般的公式——用到張量的概念。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對z軸的角動量定理及
剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理:——用沖量矩表示的角動量定理對一定軸線I為常量:應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。25它表明:剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時,剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對此轉(zhuǎn)動軸線的合力矩——剛體定軸的轉(zhuǎn)動定理。[例題]如圖所示的裝置叫做阿特伍德(Atwood)機(jī),用一細(xì)繩跨過定滑輪,而在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和m2的物體,其中m1>m2,求它們的加速度及繩兩端的張力T1和T2,設(shè)繩不可伸長,質(zhì)量可忽略,它與滑輪之間無相對滑動;滑輪的半徑為R,質(zhì)量為m,且分布均勻。[解]選取固定于地面的坐標(biāo)系,令x軸堅(jiān)直向上,取逆時針方向?yàn)檎霓D(zhuǎn)動方向。列運(yùn)動方程式:m1m2T1T2a1a2xmgN它表明:剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時,剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加26由于繩子不可伸長且不打滑,因不計(jì)繩的質(zhì)量上述方程聯(lián)立求解可得:本題有利于理解“理想滑輪”的條件。由于繩子不可伸長且不打滑,上述方程聯(lián)立求解可得:本題有利于27[例題]如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后,棒的角速度,已知棒長為l,質(zhì)量為M.[解]以f代表棒對子彈的阻力,對于子彈有子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為[例題]如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入28思考題(一):
1、此題可否用子彈和棒的總角動量守恒來作?2、子彈和棒的總動量在水方向上是否守恒?3、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為M的重物,在水平方向上動量是否守恒?4、機(jī)械能是否守恒?思考題(二):
若剛體車輪在地面上不作純滾動,試判斷輪與地面的滑動摩擦力方向。設(shè)輪的半徑、角速度和質(zhì)心的速度分別為R思考題(一):思考題(二):R29§4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理
在某些問題中,應(yīng)用動能定理及其在特殊情況下的表達(dá)式,即機(jī)械能守恒定律或功能原理,常使問題解決得簡便迅速。為了闡述的方便,與教材順序不一樣。一、剛體的重力勢能當(dāng)把剛體和地球視作一系統(tǒng)時,則可考慮該系統(tǒng)的重力勢能或簡稱剛體的重力勢能=各質(zhì)元重力勢能之和?!鼪Q定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距離勢能零點(diǎn)的高度,亦即,相當(dāng)于總質(zhì)量m集中在質(zhì)心C的高度yc上。§4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理——它決定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距30二、剛體的動能剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角
速度平方乘積之半。三、力矩的功設(shè)是作用在質(zhì)元上的外力,則在時間間隔內(nèi),外力對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的元功為
由于功是用力矩和角位移表示,所以叫力矩的功,本質(zhì)上仍然是力作功,是在剛體轉(zhuǎn)動情況下力作功的表現(xiàn)形式。二、剛體的動能由于功是用力矩和角位移表示,所31四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理將質(zhì)點(diǎn)系動能定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動,由于剛體內(nèi)力作功的代數(shù)和為零,即得剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,轉(zhuǎn)動動能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和,這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。[例題]長為l的均勻細(xì)桿,繞過其一端O并與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。設(shè)桿從水平位置由靜止釋放,求當(dāng)桿與水平線成角時,桿的質(zhì)心的速度,設(shè)轉(zhuǎn)軸光滑。[解]解法一:應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理以桿為研究對象,它受到重力mg和轉(zhuǎn)軸的作用力N。由四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,轉(zhuǎn)動動能的增量等32于轉(zhuǎn)軸光滑,N不作功,所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落至題設(shè)的位置時,重力作功為
mg
mgON在此期間,桿的動能的增量由動能定理質(zhì)心的速度為于轉(zhuǎn)軸光滑,N不作功,所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落33解法二:應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律以桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。由于軸光滑,使作用于桿的外力N不作功,而地球和桿的相互作用力為保守內(nèi)力,所以桿的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢能零點(diǎn),開始時至桿與水平線夾角為時所以解法二:應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律至桿與水平線夾角為34[例題]如圖所示,一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動,已知棒長為l,質(zhì)量為m,開始時將棒置于水平狀態(tài),然后由靜止擺下,求棒擺到豎直的瞬間:(1)棒的角速度;(2)棒的轉(zhuǎn)動動能;(3)質(zhì)心的加速度(不計(jì)摩擦阻力)。cOcOFyFx[例題]如圖所示,一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動,已35[解]
(1)棒的角速度對轉(zhuǎn)軸O,細(xì)棒除受重力矩外不受其他外力矩(O軸上的反力通過軸),故細(xì)棒的機(jī)械能守恒。設(shè)細(xì)棒在水平位置時的重力勢能為勢能零點(diǎn),則總機(jī)械能細(xì)棒擺到豎直位置時的角速度設(shè)為,則機(jī)械能[解](1)棒的角速度細(xì)棒擺到豎直位置時的角速度設(shè)為36(2)棒的轉(zhuǎn)動動能必須注意,在這里不能把棒的動能寫成(3)質(zhì)心的加速度由線量和角量的關(guān)系可算出又因棒在豎直位置時的角加速度,故(2)棒的轉(zhuǎn)動動能必須注意,在這里不能把棒的動能寫成(3)質(zhì)37還可以由質(zhì)心運(yùn)動定律求出棒在豎直位置時,O軸對棒的反力Fx和Fy:思考題:利用剛體力學(xué)知識簡要分析花樣滑冰、跳水運(yùn)動過程還可以由質(zhì)心運(yùn)動定律求出棒在豎直位置時,O軸對棒的反力F38§5剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)
一、剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程在運(yùn)動學(xué),可將剛體平面運(yùn)動視作隨任意選定的基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動。討論動力學(xué)問題時,這基點(diǎn)選在質(zhì)心上,以便應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理和對質(zhì)心的角動量定理。在慣性系中建立直角坐標(biāo)系O-xyz,Oxy坐標(biāo)平面與討論剛體平面運(yùn)動時提到的固定平面平行。又選擇剛體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn),建立質(zhì)心坐標(biāo)系,二坐標(biāo)系對應(yīng)的坐標(biāo)軸始終兩兩平行。一般說來,質(zhì)心作變速運(yùn)動,故質(zhì)心系為平動的非慣性系。圖中,兩坐標(biāo)標(biāo)系的z和軸均與紙面垂直且指向讀者。首先,在O系中對剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理,(1)§5剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)(1)39
m為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi),得投影式再從C系研究剛體繞軸的角動量對時間的變化率。將它投影于軸,得將它應(yīng)用于剛體,剛體對軸角動量對時間的變化率即和分別表示剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量和角加速度。于是有即作用于剛體各力對質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積,這與慣性系中剛體定軸轉(zhuǎn)動定理有完全(2)(3)(4)OCm為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi),40相同的形式,叫作剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理。(1)式給出了剛體隨質(zhì)心平動的動力學(xué),(3)式描述剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)。兩者合在一起稱剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程。二、作用于剛體力的力(自學(xué))產(chǎn)生兩種效果:使質(zhì)心作加速運(yùn)動,使剛體產(chǎn)生角加速度。由此可判斷作用于剛體的力是滑移矢量。力偶和力偶矩。三、剛體平面運(yùn)動的動能按克尼希定理,質(zhì)點(diǎn)組的總動能Ek等于相對于質(zhì)心系的動
能,加上整體隨質(zhì)心平動的動能。相同的形式,叫作剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理。41[例題]如圖所示,將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起來,其中一根繩子突然斷了,另一根繩內(nèi)的張力是多少?[解]設(shè)桿長為2l,質(zhì)心運(yùn)動定理和角動量定理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動方程:式中轉(zhuǎn)動慣量。因在此
時刻懸繩未斷的一端加速度為0,從而在質(zhì)心的加速度和角加速度之間有[例題]如圖所示,將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩42如下關(guān)系:得繩中張力[例題]一質(zhì)量為m,長為l的勻質(zhì)細(xì)桿,鉛直地放置在光滑的水平地面上。當(dāng)桿自靜止倒下時,求地面對桿端的支撐力。[解]由機(jī)械能守恒知,當(dāng)桿與鉛直線成角時,由于沒有摩擦力,質(zhì)心C鉛直下落??疾旒?xì)桿著地點(diǎn)A的運(yùn)動。它的運(yùn)動可看成一方面隨質(zhì)心以速度vc下CNmg如下關(guān)系:得繩中張力[例題]一質(zhì)量為m,長為l43降,另一方面又以線速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。后者在鉛直方向上
的分量為,方向向上。實(shí)際上A點(diǎn)的運(yùn)動限制在水平
面上,鉛直速度為0,即上述兩個鉛直速度應(yīng)相互抵消。故有降,另一方面又以線速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。后者在鉛44A端受地面的支撐力為A端受地面的支撐力為45§6剛體的平衡(自學(xué))§7自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)(自學(xué))
前面我們討論的是剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運(yùn)動。而剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動一般是非常復(fù)雜的,在這里我們只就典型例子作些簡單的分析。由于現(xiàn)在并不是繞固定軸的轉(zhuǎn)動,我們應(yīng)當(dāng)用轉(zhuǎn)動方程作為研究的起點(diǎn),即一、常平架回轉(zhuǎn)儀(不受外力矩的回轉(zhuǎn)運(yùn)動)均質(zhì)剛體繞幾何對稱軸的轉(zhuǎn)動,稱自轉(zhuǎn)或自旋,其角動量質(zhì)點(diǎn)系對于參考點(diǎn)O的角動量隨時間的變化率等于各質(zhì)點(diǎn)所受外力對該點(diǎn)力矩的矢量和?!?剛體的平衡(自學(xué))一、常平架回轉(zhuǎn)儀(不受外力矩的回46為。若絲毫不受外力矩作用,則角動量守恒不僅表現(xiàn)為轉(zhuǎn)動快慢不變,也表現(xiàn)為角速度方向不變。因角速度沿轉(zhuǎn)軸,故角動量守恒也表現(xiàn)于轉(zhuǎn)軸不變方向。常平架回轉(zhuǎn)儀利用了這一道理。若先使飛輪高速旋轉(zhuǎn),由角動量守恒可知,飛輪將保持自轉(zhuǎn)軸的方向不變。即這時無論我們怎樣去改變框架的方向,都不能使飛輪的轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化,利用這一特性,可應(yīng)用在輪船,飛機(jī)或?qū)椛希曰剞D(zhuǎn)儀自轉(zhuǎn)軸線方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn),加上控制設(shè)備可以隨時糾正運(yùn)行方向可能發(fā)生的偏離。二、回轉(zhuǎn)儀的旋進(jìn)(受到外力矩作用所產(chǎn)生的效應(yīng))
由一個厚而重、形狀對稱的剛體繞對稱軸高速自轉(zhuǎn)的裝置稱為回轉(zhuǎn)儀。玩具陀螺是一種簡單的回轉(zhuǎn)儀,下面解釋為什么高速旋轉(zhuǎn)的陀螺能夠立而不倒(或產(chǎn)生進(jìn)動的原因)?為。若絲毫不受外力矩作用,則角動量守恒不僅表現(xiàn)47如圖所示的玩具陀螺,如果陀螺不繞自身對稱軸旋轉(zhuǎn),則它將在其自重力對支點(diǎn)O的力矩作用下翻倒,但是當(dāng)陀螺以很高的轉(zhuǎn)速繞自身對稱軸旋轉(zhuǎn)(自轉(zhuǎn)或自旋)時,盡管陀螺仍然受重力矩的作用,陀螺卻不會翻倒,而是在自轉(zhuǎn)的同時,其自轉(zhuǎn)軸又繞通過定點(diǎn)O的豎直軸沿著虛線所示的錐面緩慢轉(zhuǎn)動。這種剛體繞自身對稱軸高速旋轉(zhuǎn)時,其自轉(zhuǎn)軸繞另一豎直軸的緩慢轉(zhuǎn)動稱為旋進(jìn)(又稱進(jìn)動)。下面利用角動量定理對陀螺的進(jìn)動作簡單分析。設(shè)陀螺自轉(zhuǎn)角速度大小為,自轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)角速度大小為,陀螺對定點(diǎn)O的角動量=自轉(zhuǎn)角動量+進(jìn)動角動量。OmgCL式中Ic是陀螺相對于自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,L與同方向,是沿如圖所示的玩具陀螺,如果陀螺不繞自身對稱軸旋轉(zhuǎn),則它將在其自48自轉(zhuǎn)軸的,陀螺受到的重力矩為是質(zhì)心C相對定點(diǎn)O的位矢,方向垂直于、mg
組成的平面,顯然也垂直于角動量L,對于定點(diǎn)O應(yīng)用可見在極短時間dt內(nèi),角動量增量也垂直于
L,這表明,在dt時間內(nèi),重力矩未改變角動量L的大小而只改變了L的方向,使L繞豎直軸轉(zhuǎn)過于角,由于與L時刻保持垂直,故L
方向不斷發(fā)生改變,以致迫使陀螺的自轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生繞豎直軸的進(jìn)動。自轉(zhuǎn)軸的,49由上式可知,若陀螺自轉(zhuǎn)角速度保持不變,則旋進(jìn)角速度也應(yīng)保持不變。實(shí)際上由于各種摩擦阻力矩的作用,將使不斷減小,與此同時將逐漸增大,旋進(jìn)將變得不穩(wěn)定,最后會倒下來。教材228頁的杠桿陀螺儀,當(dāng)它的自轉(zhuǎn)軸正在進(jìn)動的時侯,若我們加一水平力于杠桿之上,企圖加速它的進(jìn)動,結(jié)果杠桿又出乎意料地向下偏轉(zhuǎn)。就這樣,給陀螺儀鉛直方向的力,結(jié)果它沿水平方向運(yùn)動,而給水平方向的力,結(jié)果它沿鉛直方向運(yùn)動。陀螺儀的這種“不聽話”的運(yùn)動規(guī)律,同樣可以利用角動量和力矩的矢量性來說明。請同學(xué)們思考!由上式可知,若陀螺自轉(zhuǎn)角速度保持不變,則旋進(jìn)角速50高速旋轉(zhuǎn)的物體在外力矩作用下產(chǎn)生旋進(jìn)效應(yīng)(又稱回轉(zhuǎn)效應(yīng))有著十分廣泛的應(yīng)用。三、章動陀螺儀“不屈服”于重力的作用而傾倒,無論怎樣分析,總讓人感到有點(diǎn)不自在。實(shí)際上它也不是完全不屈服。如圖所示,如果先把一個快速旋轉(zhuǎn)的陀螺儀兩端都支撐起來,然后撤去一AO端(A點(diǎn))的支持,首先出現(xiàn)的現(xiàn)象是這一端確實(shí)下沉。然而,此后就立刻在水平面內(nèi)進(jìn)動了,與此同時下沉運(yùn)動放慢,直到A點(diǎn)完全沿水平方向運(yùn)動。但事情并不就此了結(jié),緊接著出現(xiàn)的是進(jìn)動放慢,A點(diǎn)重新高速旋轉(zhuǎn)的物體在外力矩作用下產(chǎn)生旋進(jìn)效應(yīng)51抬起,在理想的情況下可以達(dá)到它的初始高度。這樣的過程周而復(fù)始地繼續(xù)下去,端點(diǎn)A描繪出如圖中所示的擺線軌跡。陀螺的這種運(yùn)動叫做章動(nutation),拉丁語中是“點(diǎn)頭”的意思。地軸除進(jìn)動外,也有章動。地軸的章動是英國天文學(xué)家布拉得雷(J.Bradley)于是1748年分析了20年的觀測資料后發(fā)現(xiàn)的。地軸章動的周期為18.6年,近似地說,就是19年。在我國古代歷法中把19年稱為一“章”,這便是中譯名“章動”的來源。抬起,在理想的情況下可以達(dá)到它的初始高度。這樣的過程周而復(fù)始52第七章剛體力學(xué)(Chapter7Mechanicsofarigidbody)前言剛體運(yùn)動的描述剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)剛體的平衡自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)第七章剛體力學(xué)前言53前言一、本章的基本內(nèi)容及研究思路前面幾章討論了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動規(guī)律,本章將討論具有一定形狀和大小的物體的運(yùn)動。具有形狀和大小的實(shí)際物體的運(yùn)動一般是較復(fù)雜的,它可以平移、轉(zhuǎn)動,還可能發(fā)生形變。為了使問題簡化,一般假定物體無論受多大外力或轉(zhuǎn)動得多快都不變形,并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對象的另一個理想模型。本章的基本內(nèi)容是:剛體運(yùn)動學(xué)→剛體動力學(xué)(剛體定軸轉(zhuǎn)動,剛體的平面平行運(yùn)動)→剛體靜力學(xué)(對剛體受力的平動和轉(zhuǎn)動這兩種效果予以分析,從而得出不使剛體的狀態(tài)產(chǎn)生變化的條件)→剛體三維運(yùn)動。研究剛體力學(xué)時,設(shè)想將它分割成許多部分,每一部分都小到可看作質(zhì)點(diǎn),叫作剛體的“質(zhì)元”,對于剛體,它的任意兩質(zhì)元之間的距離保持不變,因此,剛體就像是一個凍結(jié)的質(zhì)點(diǎn)系,由于每個質(zhì)元服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律,由此出發(fā),就能推演出剛體的運(yùn)動規(guī)律。前言54這是剛體力學(xué)研究的基本方法。二、本章的基本要求理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量(角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度)并掌握角量與線量的關(guān)系;理解轉(zhuǎn)動慣量的概念并會計(jì)算一些剛體的轉(zhuǎn)動慣量;掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)規(guī)律;了解剛體平面平行運(yùn)動的特點(diǎn)。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題:教材251--252練習(xí)題:7.1.47.2.27.3.17.3.37.3.57.3.67.3.87.4.27.5.17.5.47.5.67.6.1這是剛體力學(xué)研究的基本方法。55§1剛體運(yùn)動的描述
剛體運(yùn)動學(xué)的任務(wù)在于研究如何描述剛體運(yùn)動但不涉及運(yùn)動變化的原因,只有給出剛體上所有質(zhì)元的運(yùn)動狀況,才算完整描述了剛體的運(yùn)動。一、剛體的平動如果在運(yùn)動中,剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變,這種運(yùn)動就稱為剛體的平動。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動。O§1剛體運(yùn)動的描述O56由于i,j是任意兩個質(zhì)元,所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的速度和加速度,各質(zhì)元的運(yùn)動軌跡的形狀也相同。這里很自然想到一個代表性的質(zhì)元——質(zhì)心。二、剛體的轉(zhuǎn)動
如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動就稱為剛體轉(zhuǎn)動,這直線稱為轉(zhuǎn)軸,轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動。例如機(jī)器上齒輪的運(yùn)動,門窗等都是定軸轉(zhuǎn)動。若轉(zhuǎn)軸上有一點(diǎn)靜止于參考系,而轉(zhuǎn)軸的方向在變動,這種轉(zhuǎn)動稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。例如玩具陀螺的轉(zhuǎn)動就屬于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。分析表明:剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動總可以分解為平動和轉(zhuǎn)動(定軸轉(zhuǎn)動或定點(diǎn)轉(zhuǎn)動)的疊加,例如車輪的滾動。研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,通常取任一垂直于定軸的平面作為轉(zhuǎn)動平面,如圖所示,通過分析,轉(zhuǎn)動平面內(nèi)各個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況搞清楚了,整個剛體的運(yùn)動情況就知道了。取任一質(zhì)點(diǎn)P,P在這一轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動,用矢徑r與Ox軸間由于i,j是任意兩個質(zhì)元,所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的57的夾角θ就能完全確定在空間的位置,θ稱為角坐標(biāo),規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動的θ為正,順時針方向?yàn)樨?fù)。θ=θ(t)——剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程。轉(zhuǎn)動平面參考方向轉(zhuǎn)軸xzPrθO不同位置質(zhì)元在時間內(nèi)的角位移都相同,可見,描述的是整個剛體轉(zhuǎn)過的角度,故稱為剛體轉(zhuǎn)動的角位移。式中稱為剛體轉(zhuǎn)動角速度。面對z軸觀察,,剛體逆時針轉(zhuǎn)動;,剛體順時針轉(zhuǎn)動。的夾角θ就能完全確定在空間的位置,θ稱為角坐標(biāo),規(guī)定逆時針58式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。與的符號相同時,剛體作加速運(yùn)動;反之,轉(zhuǎn)速減小,作減速運(yùn)動。注:對軸外所有各質(zhì)點(diǎn)在同一時間間隔內(nèi)走過的弧長雖不同,但角位移,角速度、角加速度(角量)都相同,但各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度(線量)各不相同。由轉(zhuǎn)動平面圖很容易得到線量與角量的關(guān)系。可見,角量充分地描述了剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。三、角速度矢量對于剛體定軸轉(zhuǎn)動,只有“正”“反”兩種轉(zhuǎn)動方向,通過的正負(fù)即可指明。但是當(dāng)剛體并非作定軸轉(zhuǎn)動時,其轉(zhuǎn)軸的方位是可能變動的。這里為了既描述轉(zhuǎn)動的快慢又能說明轉(zhuǎn)軸的方位,可以統(tǒng)一地用角速度矢量來描述。的大小是,式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。與59的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅適用于剛體轉(zhuǎn)動,也適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。在定軸轉(zhuǎn)動下,可利用將剛體上任一質(zhì)點(diǎn)P的速度表示為。原點(diǎn)不在圓心的情況圓周運(yùn)動中與的關(guān)系作為角速度對時間的變化率,角加速度也是矢量:的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅60角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動時,可令z軸與轉(zhuǎn)軸重合,則,故。前文定軸轉(zhuǎn)動中講到的和正是這里的與,它們分別是角速度矢量和角加速度矢量在轉(zhuǎn)軸(即z軸)上的投影。今后為明確起見,凡涉及角速度投影,均附以角標(biāo)。四、剛體的平面運(yùn)動
剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動,且這些平面均與一固定平面平行,稱作剛體作平面運(yùn)動,其特點(diǎn)是,剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn),運(yùn)動狀況都相同。根據(jù)此特點(diǎn),可利用與角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動61固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一經(jīng)確定,剛體的位置便確定了。今后說到“剛體”的時候,其實(shí)指的就是剖面。在平面平行運(yùn)動中,剛體內(nèi)各點(diǎn)的位移、速度和加速度是各不相同的,因此根本談不上什么剛體的位移、速度和加速度。應(yīng)當(dāng)將“剛體的運(yùn)動”與“剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動”區(qū)分開來。建立坐標(biāo)系O-xyz,使平面圖形在Oxy面內(nèi),如圖所示,z軸與紙面垂直,在平面上任選一點(diǎn)B,稱作基點(diǎn),其位置矢量為還不足以確定剛體位置,因平面圖形還可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動。建立以基點(diǎn)B為原點(diǎn),坐標(biāo)軸與O-xyz系各相應(yīng)軸保持平行的坐標(biāo)系。若能指出平面圖形繞B點(diǎn)或剛體繞軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo),即圖中任意點(diǎn)A的位置矢量與軸的夾角,剛體位置便可固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一62唯一確定??傊?,為描述平面運(yùn)動,必須給出即需要三個標(biāo)量函數(shù)才能描述剛體的平面運(yùn)動,與反映任意選定的基點(diǎn)的運(yùn)動,刻劃剛體繞通過基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動,在運(yùn)動學(xué)中,基點(diǎn)的選擇是任意的?,F(xiàn)在來研究剛體位置的改變。在時刻t,剛體的位置為ABC;過了一些時間,到了時刻,剛體的位置變?yōu)?。剛體位置的改變可以這樣來描述:剛體先隨基點(diǎn)A平動,位移為,再繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)一定的角度。唯一確定??傊?,為描述平面運(yùn)動,必須給出即需要三個標(biāo)量函數(shù)才63既然基點(diǎn)的選取是任意的,我們完全可以選取另一點(diǎn),例如C,作為基點(diǎn)。剛體隨C點(diǎn)平動,再繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動。剛體隨C點(diǎn)平動的位移不同于它隨A點(diǎn)平動的位移,剛體繞C轉(zhuǎn)動的角度則同于剛體繞A轉(zhuǎn)動的角度。就圖而言,不論取A點(diǎn)或取C點(diǎn)為基點(diǎn),剛體都是逆時針轉(zhuǎn)90°。這是毫不奇怪的,不論隨A點(diǎn)平動或隨C點(diǎn)平動,剛體都保持著原來的方位,將它從這種方位轉(zhuǎn)到新的方位所需要轉(zhuǎn)過的角度自然是一定的。令,剛體在一瞬刻的運(yùn)動情況可以這樣來描述:剛體隨著基點(diǎn)A以速度平動(即基點(diǎn)A的速度),并以角速ω繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動,平動的速度即基點(diǎn)的速度,與基點(diǎn)的選取有關(guān),轉(zhuǎn)動的角速度ω則與基點(diǎn)的選取無關(guān)。基于以上論述,可將剛體平面運(yùn)動視為隨基點(diǎn)的平動與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動的合成,事實(shí)上,平動與轉(zhuǎn)動是同時進(jìn)行的。下面討論作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度,以A點(diǎn)為例:既然基點(diǎn)的選取是任意的,我們完全可以選取另一點(diǎn),例如C,作為64此即作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。在每一瞬時,剛體中總有這么一點(diǎn),其即時速度為零。既然基點(diǎn)的選取是任意的,我們當(dāng)然可以選速度為零的這一點(diǎn)C為基點(diǎn),此時剛體的運(yùn)動情況的描述頗為簡便,其它各點(diǎn)只是簡單繞這基點(diǎn)轉(zhuǎn)動。C點(diǎn)稱為瞬時轉(zhuǎn)動中心,通過C點(diǎn)而垂直于所研究剖面的直線稱為瞬時轉(zhuǎn)動軸線。怎樣尋找瞬心?1、只要知道剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的瞬時速度的方向,即可找到瞬心;2、有些情況,一眼就可看出。例如行駛中的輪輪,若不滑動,則輪的著地點(diǎn)的即時速度為零(如果不為零,則著地點(diǎn)必相對于地面滑動)。在每一瞬時,輪都是繞著其著地點(diǎn)轉(zhuǎn)動。輪心的速度為這就是滾動著的物體不“打滑”的運(yùn)動學(xué)判據(jù)。此即作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。65轉(zhuǎn)動中心也可能在剛體的外面,可這樣理解:這個在剛體外面的瞬心好象剛性地聯(lián)結(jié)于剛體,而剛體則瞬時地繞它轉(zhuǎn)動。
§2剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理
動量是物理學(xué)中重要的守恒量,現(xiàn)將它運(yùn)用于剛體。質(zhì)點(diǎn)系的動量可表示為。剛體為不變質(zhì)點(diǎn)系,此二式仍適用。但因剛體內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)距離不變,故質(zhì)心相對于剛體的位置亦不變,對剛體說,用表示動量更方便。現(xiàn)在先研究剛體質(zhì)心,再討論有關(guān)動量的規(guī)律。一、剛體的質(zhì)心
對于質(zhì)點(diǎn)系,我們已經(jīng)知道其質(zhì)心坐標(biāo)為轉(zhuǎn)動中心也可能在剛體的外面,可這樣理解:這個在剛體外面的瞬心66對于剛體當(dāng)然適用,一般而言,剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及剛體體積V,分幾種情況:1、剛體具有對稱中心,質(zhì)心就是對稱中心;2、若剛體無對稱中心,但可以劃分為幾部分,而每一部分都有對稱中心,各部分的中心就是各部分的質(zhì)心,這些質(zhì)心形成為分立的質(zhì)點(diǎn)組,則剛體的質(zhì)心就歸結(jié)為這一質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心;3、前二個條件都不具備,這時就必須求積分,計(jì)算剛體的質(zhì)心。對于剛體當(dāng)然適用,一般而言,剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及67[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板,大小圓板相切,求余下部分的質(zhì)心。[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系,考慮對稱性,余下部分質(zhì)心一定在x軸上,即按第2種情況考慮:整體=陰影+小圓,得Oxy[例題]半圓形均勻薄板(半徑為R),試求其質(zhì)心所在。xyyRO[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系,由對稱性可知xc=0,yc=?將半圓劃分為許多平行于x軸的窄條,每一窄條中各點(diǎn)具有相同的y,陰影部分面積[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑68剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理課件69質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合;剛體質(zhì)心的位置也就完全可以不與剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合,換句話說:剛體的質(zhì)心完全可以在剛體之外?。ㄈ缬覉D所示)C1C2C由以上例子可看出,求質(zhì)心時需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,令坐標(biāo)軸沿對稱軸且令原點(diǎn)位于其中某一部分質(zhì)心處往往帶來方便。二、剛體的動量與質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和為零,則動量守恒。剛體受到的外力矢量和為零,動量當(dāng)然也守恒,即p=mvc=恒矢量。將質(zhì)心運(yùn)動定理用于剛體,亦有表示外力矢量和,ac為質(zhì)心加速度。質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位70§3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動動能
與轉(zhuǎn)動慣量
一、剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點(diǎn)的角動量
請大家現(xiàn)在閱讀教材201-203頁!動量總沿速度方向,而上例表明,當(dāng)剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時,剛體的角動量矢量并不一定沿角速度方向,它可能和角速度成某一角度。從這兩個最簡單的例子推而廣之,不難想到質(zhì)量分布與幾何形狀有共同對稱軸的剛體,當(dāng)繞該對稱軸轉(zhuǎn)動時剛體對軸上任一點(diǎn)的角動量與角速度方向相同。但就一般情況,剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸上一點(diǎn)的角動量并不一定沿角速度的方向,而是與之成一定夾角?!?剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動動能
與轉(zhuǎn)動慣量71二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能與轉(zhuǎn)動慣量整個剛體的動能是所有各質(zhì)點(diǎn)的動能之和,即括號內(nèi)的量常用I來表示,叫做剛體對給定z軸的轉(zhuǎn)動慣量。通過上面討論還知道:二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能與轉(zhuǎn)動慣量括號內(nèi)的量常用I來表示,叫72與平動公式相比較,可知轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時的質(zhì)量,是物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動慣量定義式:剛體的轉(zhuǎn)動慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近的分布情況。因此質(zhì)量大的剛體不一定有較大的轉(zhuǎn)動慣量,另外,就一定的剛體來說,對不同轉(zhuǎn)軸,各質(zhì)元距軸的距離不同,轉(zhuǎn)動慣量也可能不同,因此,一談到轉(zhuǎn)動慣量,必先明確是哪一個剛體對哪一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。下面舉幾個簡單而又非常重要的例子。[例題]均勻細(xì)棒繞垂直于通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。[解]任取一質(zhì)元xxdxl/2l/2O與平動公式相比較,可知轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時的質(zhì)量,是物體在轉(zhuǎn)73[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。[解]由于所有質(zhì)元都離軸等遠(yuǎn)R[例題]均勻圓盤繞垂直盤面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。參考教材P204頁,求得此結(jié)論也適用于圓柱體。注意:轉(zhuǎn)動慣量是可加的。即剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各個部分對同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的和。這一點(diǎn)可從定義式直接看出來。[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量74例如,求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動慣量-小
圓柱轉(zhuǎn)動慣量=
教材224頁表中結(jié)果要能推出并記住!以上例子中轉(zhuǎn)軸都是通過剛體質(zhì)心的對稱軸,若轉(zhuǎn)軸平移,轉(zhuǎn)動慣量如何變化?下面兩個定理對于轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算往往很有幫助,特別是定理一。
[定理一]平行軸定理:設(shè)剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為Ic,將軸朝任何方向平行移動一個距離d,則繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量ID為ID=Ic+md2[證]CDIcIDd例如,求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動慣量-小75[定理二]垂直軸定理:設(shè)剛性薄板平面為xy面,z軸與之垂直,則對于任何原點(diǎn)O繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為[定理二]垂直軸定理:設(shè)剛性薄板平面為xy面,z軸與之76
應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。提一個問題:通過剛體中的某個點(diǎn),可以引很多軸線,怎樣求剛體對于通過某個點(diǎn)各根軸線的轉(zhuǎn)動慣量?在理論力學(xué)中我們可以找到一個一般的公式——用到張量的概念。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對z軸的角動量定理及
剛體定軸轉(zhuǎn)動對軸的角動量定理:——用沖量矩表示的角動量定理對一定軸線I為常量:應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。77它表明:剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時,剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對此轉(zhuǎn)動軸線的合力矩——剛體定軸的轉(zhuǎn)動定理。[例題]如圖所示的裝置叫做阿特伍德(Atwood)機(jī),用一細(xì)繩跨過定滑輪,而在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和m2的物體,其中m1>m2,求它們的加速度及繩兩端的張力T1和T2,設(shè)繩不可伸長,質(zhì)量可忽略,它與滑輪之間無相對滑動;滑輪的半徑為R,質(zhì)量為m,且分布均勻。[解]選取固定于地面的坐標(biāo)系,令x軸堅(jiān)直向上,取逆時針方向?yàn)檎霓D(zhuǎn)動方向。列運(yùn)動方程式:m1m2T1T2a1a2xmgN它表明:剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時,剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加78由于繩子不可伸長且不打滑,因不計(jì)繩的質(zhì)量上述方程聯(lián)立求解可得:本題有利于理解“理想滑輪”的條件。由于繩子不可伸長且不打滑,上述方程聯(lián)立求解可得:本題有利于79[例題]如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端,穿出后速度損失3/4,求子彈穿出后,棒的角速度,已知棒長為l,質(zhì)量為M.[解]以f代表棒對子彈的阻力,對于子彈有子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為[例題]如圖所示,一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入80思考題(一):
1、此題可否用子彈和棒的總角動量守恒來作?2、子彈和棒的總動量在水方向上是否守恒?3、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為M的重物,在水平方向上動量是否守恒?4、機(jī)械能是否守恒?思考題(二):
若剛體車輪在地面上不作純滾動,試判斷輪與地面的滑動摩擦力方向。設(shè)輪的半徑、角速度和質(zhì)心的速度分別為R思考題(一):思考題(二):R81§4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理
在某些問題中,應(yīng)用動能定理及其在特殊情況下的表達(dá)式,即機(jī)械能守恒定律或功能原理,常使問題解決得簡便迅速。為了闡述的方便,與教材順序不一樣。一、剛體的重力勢能當(dāng)把剛體和地球視作一系統(tǒng)時,則可考慮該系統(tǒng)的重力勢能或簡稱剛體的重力勢能=各質(zhì)元重力勢能之和?!鼪Q定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距離勢能零點(diǎn)的高度,亦即,相當(dāng)于總質(zhì)量m集中在質(zhì)心C的高度yc上?!?剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理——它決定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距82二、剛體的動能剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角
速度平方乘積之半。三、力矩的功設(shè)是作用在質(zhì)元上的外力,則在時間間隔內(nèi),外力對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的元功為
由于功是用力矩和角位移表示,所以叫力矩的功,本質(zhì)上仍然是力作功,是在剛體轉(zhuǎn)動情況下力作功的表現(xiàn)形式。二、剛體的動能由于功是用力矩和角位移表示,所83四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理將質(zhì)點(diǎn)系動能定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動,由于剛體內(nèi)力作功的代數(shù)和為零,即得剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,轉(zhuǎn)動動能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和,這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。[例題]長為l的均勻細(xì)桿,繞過其一端O并與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。設(shè)桿從水平位置由靜止釋放,求當(dāng)桿與水平線成角時,桿的質(zhì)心的速度,設(shè)轉(zhuǎn)軸光滑。[解]解法一:應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理以桿為研究對象,它受到重力mg和轉(zhuǎn)軸的作用力N。由四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時,轉(zhuǎn)動動能的增量等84于轉(zhuǎn)軸光滑,N不作功,所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落至題設(shè)的位置時,重力作功為
mg
mgON在此期間,桿的動能的增量由動能定理質(zhì)心的速度為于轉(zhuǎn)軸光滑,N不作功,所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落85解法二:應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律以桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。由于軸光滑,使作用于桿的外力N不作功,而地球和桿的相互作用力為保守內(nèi)力,所以桿的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢能零點(diǎn),開始時至桿與水平線夾角為時所以解法二:應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律至桿與水平線夾角為86[例題]如圖所示,一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動,已知棒長為l,質(zhì)量為m,開始時將棒置于水平狀態(tài),然后由靜止擺下,求棒擺到豎直的瞬間:(1)棒的角速度;(2)棒的轉(zhuǎn)動動能;(3)質(zhì)心的加速度(不計(jì)摩擦阻力)。cOcOFyFx[例題]如圖所示,一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動,已87[解]
(1)棒的角速度對轉(zhuǎn)軸O,細(xì)棒除受重力矩外不受其他外力矩(O軸上的反力通過軸),故細(xì)棒的機(jī)械能守恒。設(shè)細(xì)棒在水平位置時的重力勢能為勢能零點(diǎn),則總機(jī)械能細(xì)棒擺到豎直位置時的角速度設(shè)為,則機(jī)械能[解](1)棒的角速度細(xì)棒擺到豎直位置時的角速度設(shè)為88(2)棒的轉(zhuǎn)動動能必須注意,在這里不能把棒的動能寫成(3)質(zhì)心的加速度由線量和角量的關(guān)系可算出又因棒在豎直位置時的角加速度,故(2)棒的轉(zhuǎn)動動能必須注意,在這里不能把棒的動能寫成(3)質(zhì)89還可以由質(zhì)心運(yùn)動定律求出棒在豎直位置時,O軸對棒的反力Fx和Fy:思考題:利用剛體力學(xué)知識簡要分析花樣滑冰、跳水運(yùn)動過程還可以由質(zhì)心運(yùn)動定律求出棒在豎直位置時,O軸對棒的反力F90§5剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)
一、剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程在運(yùn)動學(xué),可將剛體平面運(yùn)動視作隨任意選定的基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動。討論動力學(xué)問題時,這基點(diǎn)選在質(zhì)心上,以便應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理和對質(zhì)心的角動量定理。在慣性系中建立直角坐標(biāo)系O-xyz,Oxy坐標(biāo)平面與討論剛體平面運(yùn)動時提到的固定平面平行。又選擇剛體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn),建立質(zhì)心坐標(biāo)系,二坐標(biāo)系對應(yīng)的坐標(biāo)軸始終兩兩平行。一般說來,質(zhì)心作變速運(yùn)動,故質(zhì)心系為平動的非慣性系。圖中,兩坐標(biāo)標(biāo)系的z和軸均與紙面垂直且指向讀者。首先,在O系中對剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理,(1)§5剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)(1)91
m為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi),得投影式再從C系研究剛體繞軸的角動量對時間的變化率。將它投影于軸,得將它應(yīng)用于剛體,剛體對軸角動量對時間的變化率即和分別表示剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量和角加速度。于是有即作用于剛體各力對質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積,這與慣性系中剛體定軸轉(zhuǎn)動定理有完全(2)(3)(4)OCm為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi),92相同的形式,叫作剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理。(1)式給出了剛體隨質(zhì)心平動的動力學(xué),(3)式描述剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)。兩者合在一起稱剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程。二、作用于剛體力的力(自學(xué))產(chǎn)生兩種效果:使質(zhì)心作加速運(yùn)動,使剛體產(chǎn)生角加速度。由此可判斷作用于剛體的力是滑移矢量。力偶和力偶矩。三、剛體平面運(yùn)動的動能按克尼希定理,質(zhì)點(diǎn)組的總動能Ek等于相對于質(zhì)心系的動
能,加上整體隨質(zhì)心平動的動能。相同的形式,叫作剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理。93[例題]如圖所示,將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起來,其中一根繩子突然斷了,另一根繩內(nèi)的張力是多少?[解]設(shè)桿長為2l,質(zhì)心運(yùn)動定理和角動量定理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動
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