第3章小波分析概述2課件

第三章小波分析概述1、小波的產(chǎn)生及定義2、小波窗的優(yōu)點(diǎn)3、一些常用概念4、連續(xù)小波變換5、離散小波變換1第三章小波分析概述1、小波的產(chǎn)生及定義1一、小波的產(chǎn)生及定義小波是一個(gè)快速衰減的振蕩，是一個(gè)時(shí)頻窗，它具有時(shí)頻局部化特點(diǎn)，而且其窗口是自適應(yīng)的。小波是針對(duì)傅立葉分析的一些不足而發(fā)展出來(lái)的，二者不能相互代替。2一、小波的產(chǎn)生及定義小波是一個(gè)快速衰減的振蕩，是一個(gè)時(shí)頻窗，傅立葉分析傅立葉變換和逆變換：傅立葉變換沒有時(shí)域局域化的能力，任何局部時(shí)域上的變化都會(huì)影響整個(gè)頻域。（例子：一次實(shí)現(xiàn)多通道圖像的傅立葉變換）小波基與傅立葉變換基函數(shù)的差別？（提問(wèn)）3傅立葉分析傅立葉變換和逆變換：3

小波變換基函數(shù)（時(shí)頻局部化）付氏變換基函數(shù)（頻域局部化時(shí)域無(wú)限）注意第三種情況：時(shí)域有限，頻域無(wú)限（時(shí)域基函數(shù)為沖激函數(shù)，頻域?yàn)檎倚盘?hào)）；傅立葉變換的對(duì)偶性質(zhì)4小波變換基函數(shù)付氏變換注意第三種情況：時(shí)域1、小波是窗函數(shù)：從中可看出，在遠(yuǎn)處f(x)必然是有界的，且比x衰減快，注意圖形2、小波具有時(shí)頻局部化特點(diǎn)，即：時(shí)域和頻域窗的半徑都是有限的（注：窗的中心位置和窗寬類似期望值與方差；注意這里是等效窗寬）。

測(cè)不準(zhǔn)原理：

注：1）其它類似的還有：光學(xué)系統(tǒng)中空間分辨率與光闌/基帶波形的界2）時(shí)頻窗面積最小的是高斯函數(shù)，但它不是小波,為什么？為什么不用高斯函數(shù)作基帶波形（Q）3）不等式中的常數(shù)隨傅立葉變換的定義而變（差）且時(shí)頻窗面積＝小波的定義51、小波是窗函數(shù)：小波的定義53、小波是振蕩的：4、小波變換可重建（逆變換存在）注：并非所有小波變換都可重建由上面四個(gè)條件，可推出小波函數(shù)應(yīng)滿足的容許性條件(必要條件，逆變換存在的條件，容許小波）：63、小波是振蕩的：6二、小波的優(yōu)點(diǎn)——窗口自適應(yīng)性小波的收縮與平移（尺度和位移變換）小波時(shí)窗中心x*b＋ax*時(shí)窗半寬度時(shí)窗范圍7二、小波的優(yōu)點(diǎn)——窗口自適應(yīng)性小波的收縮與平移（尺度和位移變頻窗中心：頻窗半寬度：頻窗范圍：時(shí)頻窗面積不變R問(wèn)題：為何b沒有對(duì)頻窗寬度以及位置產(chǎn)生影響？8頻窗中心：R問(wèn)題：為何b沒有對(duì)頻窗寬度以及位置產(chǎn)生影響？8小波窗口的自適應(yīng)性9小波窗口的自適應(yīng)性9例：數(shù)字示波器采樣頻率提高，存貯深度不變Gabor變換與小波變換10例：10三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基Hilbert空間H中的函數(shù)族稱為一個(gè)框架，若：

能量特性，回憶Parseval定理：H空間中完全規(guī)范正交系列滿足緊框架：當(dāng)A=B時(shí)注：框架、緊框架不是正交基，因不是線性獨(dú)立的框架與規(guī)范正交基之間的聯(lián)系：若A=B=1且（)則構(gòu)成一組規(guī)范正交基（此時(shí)滿足Parseval定理）11三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基11

Riesz基：Banach空間中的{ej}若滿足（1）對(duì)任意,存在唯一的aj使（2）存在c2>c1>0,使得對(duì)任意aj有

（范數(shù)而非內(nèi)積，長(zhǎng)度）Riesz基與框架的區(qū)別？Riesz基是線性無(wú)關(guān)的/空間不同/能量與長(zhǎng)度/Riesz基不一定正交框架--（線性無(wú)關(guān)）Riesz基---(正交）正交基12Riesz基：Banach空間中的{ej}若滿足122、Lipschitz正則性（描述函數(shù)的光滑程度）稱函數(shù)f(t)在t?有Lipschitz指數(shù)，若存在常數(shù)K>0和

m次多項(xiàng)式，使：

助記：f(t)相當(dāng)于m次多項(xiàng)式的程度

一致Lipschitz指數(shù)：對(duì)所有都成立，且K與t?無(wú)關(guān)Lipschitz正則性：f(x)有一致Lipschitz指數(shù)a正則性階數(shù)：a的上確界討論：若

，則Lipschitz條件變?yōu)椋喝鬭=0,則f(x)在該點(diǎn)有界但不連續(xù)若，則f(x)在該點(diǎn)連續(xù)但不可微（例如：第一類不連續(xù)間斷點(diǎn)）132、Lipschitz正則性（描述函數(shù)的光滑程度）13從頻域的角度求正則性，若：則稱函數(shù)f(x)有界且有一致的Lipschitz指數(shù)a(注意a越大，頻域衰減越快，正則性階數(shù)越高，時(shí)域越光滑，且此時(shí)的a刻畫了整體正則性強(qiáng)弱，為什么？）3、消失矩（描述函數(shù)時(shí)域的衰減快慢，注意與Lipschitz指數(shù)頻域定義的相似性和區(qū)別）

的k

階矩：

若，而則稱具有p

階消失矩。(回憶k階導(dǎo)數(shù)與傅立葉變換的關(guān)系）14從頻域的角度求正則性，若：3、消失矩（描述函數(shù)時(shí)域的四、連續(xù)小波變換定義函數(shù)f(x)

的小波變換為：這是一個(gè)加窗的過(guò)程，從f(x)中提取出由a,b決定位置、形狀的窗內(nèi)信息。（注意與卷積、相關(guān)、內(nèi)積、積分算子的關(guān)系）15四、連續(xù)小波變換定義函數(shù)f(x)的小波變換為：15反演公式逆變換：注意存在條件：容許小波類似傅立葉逆變換，可看成是對(duì)f(x)的一種分解（不同的是這種分解有一個(gè)多尺度的思想）16反演公式逆變換：16五、離散小波變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的基函數(shù)是離散的，而離散小波變換的基函數(shù)是連續(xù)的17五、離散小波變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的基函數(shù)是離散的以劃分頻域二進(jìn)離散的含意：對(duì)頻域以形式劃分。這正是小波引入a因子并對(duì)a二進(jìn)取值的原因。18以劃分頻域二進(jìn)離散的含意：對(duì)頻域以形式問(wèn)題：上圖為離散小波變換對(duì)頻域的劃分情況，請(qǐng)指出圖中哪種情況與Riesz基和正交基分別對(duì)應(yīng)。離散后小波的窗口情況（頻域）離散后的頻窗中心和半徑:19問(wèn)題：上圖為離散小波變換對(duì)頻域的劃分情況，請(qǐng)指出圖中哪種情況離散小波變換后能重建原信號(hào)的小波若基小波滿足穩(wěn)定性條件（重構(gòu)條件），則它二進(jìn)離散后的窗可覆蓋整個(gè)正頻域:意義：用這組窗對(duì)信號(hào)濾波后，信號(hào)無(wú)損失，不管有多少冗余，總有方法可重構(gòu)。

20離散小波變換后能重建原信號(hào)的小波若基小波滿足穩(wěn)定性條件（重構(gòu)小波級(jí)數(shù)：對(duì)信號(hào)f(x)用穩(wěn)定性條件下的離散小波做分解（展開），總能找到辦法重建。

是相對(duì)于的重構(gòu)小波注意:

1.正交與雙正交的情況、對(duì)偶2.從積分到離散和的變化（冗余度的變化）21小波級(jí)數(shù)：對(duì)信號(hào)f(x)用穩(wěn)定性條件下的離散小波做分解（展開回顧：1、各種小波的關(guān)系（a,b的取值類型不同）。2、小波是一種窗，是自適應(yīng)的窗，小波變換是對(duì)信號(hào)加窗，是傅立葉分析的補(bǔ)充。22回顧：1、各種小波的關(guān)系（a,b的取值類型不同）。22習(xí)題1.請(qǐng)指出Riesz基與框架的不同之處（提示：線性相關(guān)性/空間）2.指出框架與正交基之間的關(guān)系3.簡(jiǎn)述各種小波的關(guān)系和特點(diǎn)（提示：根據(jù)a,b的取值類型進(jìn)行討論）。4.在小波變換中，b的物理意義是什么？5.從頻域與時(shí)域的角度說(shuō)明消失矩與正則性之間的聯(lián)系。23習(xí)題1.請(qǐng)指出Riesz基與框架的不同之處（提示：線性相關(guān)第三章小波分析概述1、小波的產(chǎn)生及定義2、小波窗的優(yōu)點(diǎn)3、一些常用概念4、連續(xù)小波變換5、離散小波變換24第三章小波分析概述1、小波的產(chǎn)生及定義1一、小波的產(chǎn)生及定義小波是一個(gè)快速衰減的振蕩，是一個(gè)時(shí)頻窗，它具有時(shí)頻局部化特點(diǎn)，而且其窗口是自適應(yīng)的。小波是針對(duì)傅立葉分析的一些不足而發(fā)展出來(lái)的，二者不能相互代替。25一、小波的產(chǎn)生及定義小波是一個(gè)快速衰減的振蕩，是一個(gè)時(shí)頻窗，傅立葉分析傅立葉變換和逆變換：傅立葉變換沒有時(shí)域局域化的能力，任何局部時(shí)域上的變化都會(huì)影響整個(gè)頻域。（例子：一次實(shí)現(xiàn)多通道圖像的傅立葉變換）小波基與傅立葉變換基函數(shù)的差別？（提問(wèn)）26傅立葉分析傅立葉變換和逆變換：3

小波變換基函數(shù)（時(shí)頻局部化）付氏變換基函數(shù)（頻域局部化時(shí)域無(wú)限）注意第三種情況：時(shí)域有限，頻域無(wú)限（時(shí)域基函數(shù)為沖激函數(shù)，頻域?yàn)檎倚盘?hào)）；傅立葉變換的對(duì)偶性質(zhì)27小波變換基函數(shù)付氏變換注意第三種情況：時(shí)域1、小波是窗函數(shù)：從中可看出，在遠(yuǎn)處f(x)必然是有界的，且比x衰減快，注意圖形2、小波具有時(shí)頻局部化特點(diǎn)，即：時(shí)域和頻域窗的半徑都是有限的（注：窗的中心位置和窗寬類似期望值與方差；注意這里是等效窗寬）。

測(cè)不準(zhǔn)原理：

注：1）其它類似的還有：光學(xué)系統(tǒng)中空間分辨率與光闌/基帶波形的界2）時(shí)頻窗面積最小的是高斯函數(shù)，但它不是小波,為什么？為什么不用高斯函數(shù)作基帶波形（Q）3）不等式中的常數(shù)隨傅立葉變換的定義而變（差）且時(shí)頻窗面積＝小波的定義281、小波是窗函數(shù)：小波的定義53、小波是振蕩的：4、小波變換可重建（逆變換存在）注：并非所有小波變換都可重建由上面四個(gè)條件，可推出小波函數(shù)應(yīng)滿足的容許性條件(必要條件，逆變換存在的條件，容許小波）：293、小波是振蕩的：6二、小波的優(yōu)點(diǎn)——窗口自適應(yīng)性小波的收縮與平移（尺度和位移變換）小波時(shí)窗中心x*b＋ax*時(shí)窗半寬度時(shí)窗范圍30二、小波的優(yōu)點(diǎn)——窗口自適應(yīng)性小波的收縮與平移（尺度和位移變頻窗中心：頻窗半寬度：頻窗范圍：時(shí)頻窗面積不變R問(wèn)題：為何b沒有對(duì)頻窗寬度以及位置產(chǎn)生影響？31頻窗中心：R問(wèn)題：為何b沒有對(duì)頻窗寬度以及位置產(chǎn)生影響？8小波窗口的自適應(yīng)性32小波窗口的自適應(yīng)性9例：數(shù)字示波器采樣頻率提高，存貯深度不變Gabor變換與小波變換33例：10三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基Hilbert空間H中的函數(shù)族稱為一個(gè)框架，若：

能量特性，回憶Parseval定理：H空間中完全規(guī)范正交系列滿足緊框架：當(dāng)A=B時(shí)注：框架、緊框架不是正交基，因不是線性獨(dú)立的框架與規(guī)范正交基之間的聯(lián)系：若A=B=1且（)則構(gòu)成一組規(guī)范正交基（此時(shí)滿足Parseval定理）34三、常用的概念1、框架－Riesz基－正交基11

Riesz基：Banach空間中的{ej}若滿足（1）對(duì)任意,存在唯一的aj使（2）存在c2>c1>0,使得對(duì)任意aj有

（范數(shù)而非內(nèi)積，長(zhǎng)度）Riesz基與框架的區(qū)別？Riesz基是線性無(wú)關(guān)的/空間不同/能量與長(zhǎng)度/Riesz基不一定正交框架--（線性無(wú)關(guān)）Riesz基---(正交）正交基35Riesz基：Banach空間中的{ej}若滿足122、Lipschitz正則性（描述函數(shù)的光滑程度）稱函數(shù)f(t)在t?有Lipschitz指數(shù)，若存在常數(shù)K>0和

m次多項(xiàng)式，使：

助記：f(t)相當(dāng)于m次多項(xiàng)式的程度

一致Lipschitz指數(shù)：對(duì)所有都成立，且K與t?無(wú)關(guān)Lipschitz正則性：f(x)有一致Lipschitz指數(shù)a正則性階數(shù)：a的上確界討論：若

，則Lipschitz條件變?yōu)椋喝鬭=0,則f(x)在該點(diǎn)有界但不連續(xù)若，則f(x)在該點(diǎn)連續(xù)但不可微（例如：第一類不連續(xù)間斷點(diǎn)）362、Lipschitz正則性（描述函數(shù)的光滑程度）13從頻域的角度求正則性，若：則稱函數(shù)f(x)有界且有一致的Lipschitz指數(shù)a(注意a越大，頻域衰減越快，正則性階數(shù)越高，時(shí)域越光滑，且此時(shí)的a刻畫了整體正則性強(qiáng)弱，為什么？）3、消失矩（描述函數(shù)時(shí)域的衰減快慢，注意與Lipschitz指數(shù)頻域定義的相似性和區(qū)別）

的k

階矩：

若，而則稱具有p

階消失矩。(回憶k階導(dǎo)數(shù)與傅立葉變換的關(guān)系）37從頻域的角度求正則性，若：3、消失矩（描述函數(shù)時(shí)域的四、連續(xù)小波變換定義函數(shù)f(x)

的小波變換為：這是一個(gè)加窗的過(guò)程，從f(x)中提取出由a,b決定位置、形狀的窗內(nèi)信息。（注意與卷積、相關(guān)、內(nèi)積、積分算子的關(guān)系）38四、連續(xù)小波變換定義函數(shù)f(x)的小波變換為：15反演公式逆變換：注意存在條件：容許小波類似傅立葉逆變換，可看成是對(duì)f(x)的一種分解（不同的是這種分解有一個(gè)多尺度的思想）39反演公式逆變換：16五、離散小波變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的基函數(shù)是離散的，而離散小波變換的基函數(shù)是連續(xù)的40五、離散小波變換離散傅立葉變換離散傅立葉變換的基函數(shù)是離散的以劃分頻域二進(jìn)離散的含意：對(duì)頻域以形式劃分。這正是小波引入