普陀初中培訓(xùn)機(jī)構(gòu)：銳角三角比

唐L老師初三秋季班教案21-銳角三角比以及實際應(yīng)用知識點歸納1.在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與鄰邊的比是一個固定值.2.如圖，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別記為a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切.記作tanA.tanA＝3.在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切.記作cotA.cotA＝4.（1）在Rt⊿ABC中，∠A+∠B=90°：則有tanA·cotA=1tanA=tanB=（2）0°＜α＜90°：當(dāng)角度不斷增大時，正切值變大余切值變小（3）一個角的正切值等于它余角的余切值。5.在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比是一個固定值.6.如圖，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別記為a、b、c.在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦.記作sinA.sinA＝；7．在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余弦.記作cosA.cosA＝；8.（1）若,那么=或=;（2）;（3）（3）0°＜α＜90°：當(dāng)角度不斷增大時，正弦值變大余弦值變小（4）一個角的正弦值等于它余角的余弦值（正正余余）9.我們把由已知元素求出所有末知元素的過程，叫做解直角三角形.10.解直角三角形無非以下兩種情況：(1)已知兩條邊，求其他邊和角.(2)已知一條邊和一個銳角，求其他邊角11.在測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.12.坡面的鉛垂高度（h）和水平寬度（L）的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i，即i=.坡度通常寫成1:m的形式，如i=1∶1.5．坡面與水平面的夾角叫做坡角,記作α.坡度i與坡角α之間的關(guān)系:i==tanα.13.sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=cot(A+B)=cot(A-B)=sin()=cos()=tan()=cot()=tan()==準(zhǔn)備好了嗎？讓我們開始沖關(guān)之旅?。　頡ound1☆小試牛刀ABC1．如圖，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，則ABCA．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,3)2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，tanA=eq\f(2,3)，則邊AC的長是()A．eq\r(,13)B．3C．eq\f(4,3)D．eq\r(,5)3．如圖,在中，,,,求sinB，cosB的值.4．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=,求cosA和tanB的值.5．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，則有（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠C＝90°，如果，那么tanB的值為（）A．B．C．D．☆Round2☆嶄露頭角一．關(guān)于三角比的計算1.（1）（2）（3）（4）與圖形相結(jié)合1．如果∠A是等邊三角形的一個內(nèi)角，那么cosA的值等于（）。（A）（B）（C）（D）12．有一個角是30°的直角三角形，斜邊為1cm，則斜邊上的高為（）。（A）cm（B）（C）（D）3．如圖3，在中,,,則的長是()（A）（B）（C）（D）4．如圖4，沿折疊矩形紙片，使點落在邊的點處．已知，，AB=8,則的值為()（A）（B）（C）（D）圖3圖4圖55．如圖5，在等腰直角三角形中，，，為上一點，若，則的長為()（A）（B）（C）（D）6．已知正三角形，一邊上的中線長為，則此三角形的邊長為()（A）（B）（C）（D）7．在中，、都是銳角，且，，則的形狀是()（A）直角三角形（B）鈍角三角形（C）銳角三角形（D）不能確定8．等腰三角形中，腰長為5cm，底邊為8cm，則他的底角的正切值為_______.9．在Rt△ABC中,∠B=90°,AC邊上的中線BD=5，AB=8，則cos∠ACB=_______.圖1110．如圖11所示，在高2米、坡角為的樓梯表面鋪地毯，圖11地毯的長度至少需______米．（,精確到0.1米）11.如圖，D為△ABC的AB邊上一點，且BD=3AD，CD=6，cos，求BC邊上的高AE的長。12．如圖，已知：在ΔABC中，∠ABC＝135°，P為AC上一點，且∠PBA＝90°，CP:PA＝1:2。（1）求tan∠APB。（2）若PB＝2，求AC長。如圖12所示，中，，于，，，則cosC是多少？三．與實際問題相結(jié)合（一）俯仰角問題1.已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求山的高度及纜繩AC的長(答案可帶根號)．AB12千米PAB12千米PCDG60°MNBOADOC30°45°MNBOADOC30°45°ACPDB4.山頂有一鐵塔，從地面A點看塔頂P的仰角是45°，沿坡度1：ACPDB5．在一個陽光明媚、清風(fēng)徐來的周末，小明和小強(qiáng)一起到郊外放風(fēng)箏﹒他們把風(fēng)箏放飛后，將兩個風(fēng)箏的引線一端都固定在地面上的C處(如圖).現(xiàn)已知風(fēng)箏A的引線（線段AC）長20m，風(fēng)箏B的引線（線段BC）長24m，在C處測得風(fēng)箏A的仰角為60°，風(fēng)箏B的仰角為45°.AB45°AB45°60°CED(第19題圖)（2）求風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離. (精確到0.01m；參考數(shù)據(jù)：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）6.圖1為已建設(shè)封頂?shù)?6層樓房和其塔吊圖，圖2為其示意圖，吊臂AB與地面EH平行，測得A點到樓頂D點的距離為5m,每層樓高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m,求塔吊的高CH的長．7.為了緩解酒泉市區(qū)內(nèi)一些主要路段交通擁擠的現(xiàn)狀，交警隊在一些主要路口設(shè)立了交通路況顯示牌（如圖）．已知立桿AB高度是3m，從側(cè)面D點測得顯示牌頂端C點和底端B點的仰角分別是60°和45°．求路況顯示牌BC的高度．第19題圖第19題圖（二）方位角問題ＣＢＡ北北東45°5°ＣＢＡ北北東45°5°60°5°變式練習(xí)：PABC30°PABC30°60°北2.如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的東偏北30°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市東偏北60°方向，測繪員沿主輸氣管道步行2000米到達(dá)C處，測得小區(qū)M位于C的北偏西60°方向，請你在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，并求AN的長.3.已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°，貨輪以每小時20海里的速度航行，1小時后到達(dá)B處，測得燈塔M在北偏西45°，問該貨輪繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?(精確到0.1海里，)4.在某海濱城市O附近海面有一股臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于該城市的東偏南70°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向西偏北25°的PQ的方向移動，臺風(fēng)侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴(kuò)張．(1)當(dāng)臺風(fēng)中心移動4小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米；又臺風(fēng)中心移動t小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米．(2)當(dāng)臺風(fēng)中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風(fēng)是否侵襲這座海濱城市？請說明理由(參考數(shù)據(jù)，)．5.如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口分別是A，B，C．經(jīng)測量花卉世界D位于點A的北偏東45°方向、點B的北偏東30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．ABABC中山路文化路D和平路45°15°30°環(huán)城路EF（2）求C，D之間的距離．ABC北北60o45oD6.載著“點燃激情，傳遞夢想”的使用，6月2日ABC北北60o45oD北30°30°東OB北30°30°東OBCA（第20題）北（1）快艇從港口B到小島C需要多少時間?（2）快艇從小島C出發(fā)后最少需要多少時間才能和考察船相遇?（三）存在性問題ABCD60ABCD60°45°北變式練習(xí)：某大草原上有一條筆直的公路，在緊靠公路相距40千米的A、B兩地，分別有甲、乙兩個醫(yī)療站，如圖，在A地北偏東45°、B地北偏西60°方向上有一牧民區(qū)C．一天，甲醫(yī)療隊接到牧民區(qū)的求救電話，立刻設(shè)計了兩種救助方案，方案I：從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處，再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C．方案II：從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C．已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍．（1）求牧民區(qū)到公路的最短距離CD．（2）你認(rèn)為甲醫(yī)療隊設(shè)計的兩種救助方案，哪一種方案比較合理？并說明理由．ADＢ北C東ADＢ北C東45°60°2.《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70km/h”，一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛，在距路邊25m處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點，所用時間為1.5s．（1）試求該車從A點到B點的平均速度;（2）試說明該車是否超過限速．3.某市為改變城市交通狀況，在大街拓寬工程中，要伐掉一棵樹AB．在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離B點3m遠(yuǎn)的D點測得樹的頂部A點的仰角為60°，樹的底部B的仰角為30°，如圖，問距離B點8m遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險區(qū)內(nèi)?BCFEA4.去年夏季山洪暴發(fā)，我市好幾所學(xué)校被山體滑坡推倒教學(xué)樓，為防止滑坡，經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過45o時，可以確保山體不滑坡．某學(xué)校緊挨一座山坡，如圖所示，已知AF∥BC，斜坡AB長30米，坡角∠ABC＝60BCFEACBADEFCBADEFG26、如圖，在氣象站臺A的正西方向的B處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心以每小時的速度沿北偏東的BD方向移動，在距離臺風(fēng)中心內(nèi)的地方都要受到其影響。（1）臺風(fēng)中心在移動過程中，與氣象臺A的最短距離是多少？圖26（2）臺風(fēng)中心在移動過程中，氣象臺將受臺風(fēng)的影響，求臺風(fēng)影響氣象臺的實踐會持續(xù)多長？圖26（四）梯形問題1.如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫截面，已知斜坡CD的坡度，∠B=60°，AB=6，AD=4，求攔水壩的橫截面ABCD的面積。3米DAC3米DACCOABP山坡水平地面3.如圖，某人在山坡坡腳處測得電視塔尖點的仰角為，沿山坡向上走到處再測得點的仰角為，已知米，山坡坡度且在同一條直線上．求電視塔的高度以及此人所在位置點的鉛直高度．（測傾器高度忽略不計，結(jié)果保留根號形式）COABP山坡水平地面4.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由45°改為30°.已知原傳送帶AB長為4米.（1）求新傳送帶AC的長度；（2）如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出2米的通道，試判斷距離B點4米的貨物MNQP是否需要挪走，并說明理由．(說明：⑴⑵的計算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45)5.如圖，沿水庫攔水壩的背水坡將壩頂加寬2米，坡度由原來的1:2改為1:2.5，已知壩高6米，壩長50米．(1)求加寬部分橫斷面AFEB的面積；(2)完成這一工程需要多少方土？ 6.已知：如圖，在1998年特大洪水時期，要加固全長為10000m的河堤．大堤高5m，壩頂寬4m，迎水坡和背水坡都是坡度為1∶1的等腰梯形．現(xiàn)要將大堤加高1m，背水坡坡度改為1∶1.5．已知壩頂寬不變，求大壩橫截面面積增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?☆Round3☆挑戰(zhàn)中考一．選擇題1.（天津市）的值等于（）（A）1（B）（C）（D）22.（浙江杭州）如圖，在Rt△ABO中，斜邊AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，則（）（A）點B到AO的距離為sin54°（B）點B到AO的距離為tan36°（C）點A到OC的距離為sin36°sin54°（D）點A到OC的距離為cos36°sin54°3.（浙江寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，則BC的長為（）（A）4（B）2（C）（D）4.（江蘇無錫）sin45°的值等于（）（A）（B）（C）（D）15.（四川樂山）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，則sinB的值為（）（A）（B）（C）（D）16.（四川內(nèi)江）如圖所示，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則的值為（）（A）（B）（C）（D）7.（山東濱州）把△ABC三邊的長度都擴(kuò)大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（）（A）不變（B）縮小為原來的（C）擴(kuò)大為原來的3倍（D）不能確定8.（山東濟(jì)南）如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tan∠ACB的值為（）（A）（B）（C）（D）39.（廣西貴港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（2，1）和點B（3，0），則sin∠AOB的值等于（）（A）EQ\F(\R(,5),5)（B）EQ\F(\R(,5),2)（C）EQ\F(\R(,3),2)（D）EQ\F(1,2)10.（甘肅蘭州）sin60°的相反數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）11.（青海?。┤鐖D，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=5，AC=6，則tanB的值是（）（A）（B）（C）（D）12.（內(nèi)蒙古包頭）在Rt△ABC中，∠C=900，若AB=2AC，則sinA的值是（）（A）（B）（C）（D）14.（黑龍江哈爾濱）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，則sinB的值是（）（A）（B）（C）（D）15.（泰安中考）如圖，在中，，于，若，，則的值為（）ACBDACBD（A）（B）（C）（D）16.（長春中考）．菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，則點的坐標(biāo)為（）（A）（B）（C）（D）17.(定西中考)某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險，那么梯子的長至少為（）（A）8米（B）米（C）米（D）米18.（畢節(jié)中考）A（cos60°，－tan30°）關(guān)于原點對稱的點A1的坐標(biāo)是（）（A）（B）（C）（D）19.（益陽中考）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）α5米α5米AB（A）（B）（C）（D）20.（蘭州中考）如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）（A）5m（B）6m（C）7m（D）8m21.(濰坊中考)如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離，在A點測得，在C點測得，又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．（A）25（B）（C）（D）二、填空題1.（寧夏區(qū)）在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，則tanA=____________.2.（江蘇常州）若∠α=60°，則∠α的余角為__________，cosα的值為__________。3.（湖北武漢）tan60°＝_________．4.（湖北孝感）計算：cos245o＋tan30o·sin60o＝_________．5.（貴州黔東南）計算cos60°=_________．6.（山東煙臺）計算：tan45°+cos45°=_________．7.（荊門中考）=______．8.（衡陽中考）某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時他與水平地面的垂直距離為米，則這個坡面的坡度為_________.三、解答題1.（江西南昌）計算：sin30°+cos30°?tan60°．2.（黃石中考）計算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°3.（崇左中考）計算：．（義烏中考）計算：5.（寧夏中考）在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，求△ABC的周長和tanA的值．6.（蕪湖中考）如圖，在△ABC中，AD是BC上的高，，(1)求證：AC=BD；(2)若，BC=12，求AD的長．7.（上海市）如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為點E．已知AC=15，cosA=．（1）求線段CD的長；（2）求sin∠DBE的值．9.