立體幾何15題提分計劃 2022年新高考模擬題專項訓(xùn)練（一） 北京卷專用解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第頁立體幾何15題提分計劃2022年新高考模擬題專項訓(xùn)練（一）北京卷專用1．（2022·北京順義·二模）如圖，在正方體中，為的中點.(1)過點作出一條與平面平行的直線，并說明理由；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定，只需過點作與平面中任一一條直線平行的直線即可；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求得線面角的正弦值.(1)取的中點，連結(jié)，如下所示：因為為正方體，為的中點，為的中點，所以//，又因為平面，平面，所以//平面，故過點可以作出與平面平行，也可以做出其它直線，答案不唯一.(2)因為是正方體，設(shè)其棱長為，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如下所示：則有，，，，所以，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，所以有，令，可得，所以，所以=，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.2．（2022·北京·一模）如圖，在三棱柱中，平面，，，為線段上一點.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明過程見解析；(2).【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算公式進行證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合空間點到面距離公式進行求解即可.(1)因為平面，平面，所以，而，因此建立如圖所示的空間直角坐標系：，，因為，所以，即，(2)設(shè)平面的法向量為，，所以有，因為直線與平面所成角為，所以，解得，即，因為，所以點到平面的距離為：.【點睛】3．（2022·北京昌平·二模）如圖，在棱長為的正方體中，點是的中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直證明線面垂直.（2）根據(jù)空間向量，求法向量進一步得二面角.（3）根據(jù)空間向量法求點面距.(1)在正方體中，因為平面，平面，所以，即.因為四邊形是正方形，所以.因為平面，所以平面.(2)如圖，建立空間直角坐標系，則，所以.由（1）知，平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為，則所以.

令，則，所以.所以.由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的大小為.(3)設(shè)點到平面的距離，，則.所以點到平面的距離為.4．（2022·北京西城·一模）如圖，四邊形是矩形，平面，平面，，，點在棱上.(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)若點到平面的距離為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得平面；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值；（3）設(shè)，則，，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍可求得的值.(1)證明：在矩形中，.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，所以，因為平面，平面，所以平面.又因為平面，平面，，所以平面平面.因為平面，所以平面.(2)解：因為平面，平面，平面，所以，，又因為是矩形，，所以、、兩兩垂直，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則、、，所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，可得，取平面的一個法向量為，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值是.(3)解：設(shè)，則，，所以，因為點到平面的距離.因為，解得，故.5．（2022·北京·一模）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.(1)求證：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）取的中點，連接，證明出平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可求得棱的長.(1)證明：因為四邊形為正方形，則，因為平面平面，平面平面，平面，平面，平面，所以，.(2)解：取的中點，連接，，為的中點，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，其中，則、、、、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由題意可得，，解得，則.6．（2022·北京市八一中學(xué)一模）如圖，在四棱錐中，平面平面.是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，.(1)求證：面；(2)求二面角的余弦值；(3)請問棱上是否存在點Q到面的距離為，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)棱上存在點到面的距離為，.【解析】【分析】（1）由即可得出平面；（2）建立空間坐標系，求出平面和平面的法向量，計算法向量的夾角得出二面角的大?。唬?）設(shè)，用表示點到平面距離，求解可得的值．(1)證明：，平面，平面，平面．(2)是直角梯形，，，，，，，又，到的距離為，平面平面，到平面的距離為2．以為原點，以，，及平面過的垂線為坐標軸建立空間坐標系如圖所示：，0，，，5，，，3，，，4，，，1，，，5，，，2，，設(shè)平面的法向量為，，，平面的法向量為，，，則，，，，令，可得，0，，，，，．由圖形可知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．(3)假設(shè)棱上存在點到面的距離為，設(shè)，2，，，，，，，，，，點到平面的距離，，棱上存在點到面的距離為，．7．（2022·北京·101中學(xué)模擬預(yù)測）請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并作答.①；②；③點P在平面ABCD的射影在直線AD上.如圖，平面五邊形PABCD中，△PAD是邊長為2的等邊三角形，，，，將△PAD沿AD翻折成四棱錐P-ABCD，E是棱PD上的動點（端點除外），F(xiàn)?M分別是AB?CE的中點，且___________.(1)求證：；(2)當(dāng)EF與平面PAD所成角最大時，求平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取AD，CD的中點分別為O，G，連接PO，F(xiàn)G，EG.選擇①：證明，結(jié)合，推出BA⊥平面PAD.證明MG//平面PAD，F(xiàn)G//平面PAD.推出平面FGM//平面PAD，得到BA⊥平面FGM，即可證明.選擇②：連接OC，證明，即可，推出BA⊥平面PAD.，然后證明MG//平面PAD，F(xiàn)G//平面PAD.推出平面FGM//平面PAD，得到BA⊥平面FGM.即可證明.選擇③：證明OP⊥平面ABCD，推出，然后證明BA⊥平面PAD，通過證明平面FGM//平面PAD，轉(zhuǎn)化證明.（2）連接AE，EF，說明∠AEF即為EF與平面PAD所成的角.點O為坐標原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面CAE的法向量，結(jié)合平面PAD的法向量，然后求解平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值.(1)證明：取AD，CD的中點分別為O，G，連接PO，F(xiàn)G，EG.選擇①：因為，所以，即.又，，所以BA⊥平面PAD.因為M，G分別為CE，CD的中點，所以，且平面PAD，平面PAD，所以MG//平面PAD.同理可得：FG//平面PAD.因為，所以平面FGM//平面PAD，所以BA⊥平面FGM.又平面FGM，所以.選擇②：連接OC，則OC=AB=2，，因為，所以.又，所以BA⊥平面PAD.因為M，G分別為CE，CD的中點，所以MG//PD，且平面PAD，平面PAD，所以MG//平面PAD.同理可得：FG//平面PAD.因為，所以平面FGM//平面PAD，所以BA⊥平面FGM.又平面FGM，所以.選擇③：因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上，所以平面PAD⊥平面ABCD.因為平面平面ABCD=CD，平面PAD，，所以平面ABCD，所以.又，，所以BA⊥平面PAD.因為M，G分別為CE，CD的中點，所以MG//PD，且平面PAD，平面PAD，所以MG//平面PAD.同理可得：FG//平面PAD.因為，所以平面FGM//平面PAD，所以BA⊥平面FGM.又平面FGM，所以.(2)連接AE，EF，由（1）可知：AB⊥平面PAD，所以∠AEF即為EF與平面PAD所成的角.因為，所以當(dāng)AE最小時，∠AEF最大，所以當(dāng)，即E為PD中點，AE最小.以點O為坐標原點，以O(shè)C為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.所以.設(shè)平面CAE的法向量為，則，令，得.由題意可知：平面PAD的法向量為，所以，所以平面ACE與平面PAD所成的銳二面角的余弦值為.8．（2022·北京房山·一模）如圖，在三棱柱中，平面，(1)求證：平面；(2)若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)①；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，主要證明即可；（2）建立坐標系，先求出平面的法向量，利用空間向量解決.(1)在三棱柱中，四邊形為平行四邊形.所以，因為平面，平面，所以平面.(2)因為平面，平面，所以，，又，所以兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標系，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，于是.①設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.②因為面，所以直線與平面的距離就是點到平面的距離設(shè)A到面的距離為，則9．（2022·北京通州·一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，，．為等邊三角形，平面平面ABCD，E為AD的中點．(1)求證：；(2)求平面PAC與平面ABCD夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證明平面ABCD，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，可求得相關(guān)向量的坐標，從而求得平面PAC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得答案.(1)證明：因為△PAD為正三角形，E為AD中點，所以，因為平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD．因為平面ABCD，所以．(2)由（1）知，平面ABCD．取BC中點F，連結(jié)EF,因為底面ABCD為矩形，E為AD中點，所以,所以EA，EF，EP兩兩垂直．分別以E為坐標原點，EA，EF，EP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，則，，，，所以，．設(shè)平面PAC的法向量，由，得，令，得，，所以，平面ABCD的法向量可?。O(shè)平面PAC與平面ABCD夾角大小為，可知為銳角，則，所以平面PAC與平面ABCD夾角的余弦值為．10．（2022·北京豐臺·二模）如圖，在正三棱柱中，，D為BC的中點，平面平面．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用面面平行證明線線平行；（2）建立空間直角系，分別求出平面與平面的法向量，利用求出答案.(1)連接，平面∥平面，∵平面平面，平面平面，∴∥.(2)設(shè)=2m以D為坐標原點，AD為x軸，CD為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,∴，，，設(shè)平面的法向量為，聯(lián)立方程解得：，∴同理求得平面的法向量∴平面與平面夾角的余弦值的余弦值為.11．（2022·北京·二模）如圖，平面平面，，，、分別為、的中點，，．(1)設(shè)平面平面，判斷直線l與的位置關(guān)系，并證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)l∥PC，證明見解析；(2)．【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判斷定理和性質(zhì)定理即可判斷；(2)以O(shè)為原點，OB、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，求出各點坐標，利用向量法即可求出直線與平面所成角的余弦值和正弦值．(1)∵、分別為、的中點，∴在△APC中，DO∥PC，∵DO平面BOD，PC平面BOD，∴PC∥平面BOD，∵PC平面PBC，平面PBC∩平面BOD=l，∴根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知PC∥l；(2)∵AB=BC，O是AC中點，∴BO⊥AC，∵平面平面，平面平面=AC，BO平面ABC，∴BO⊥平面APC，同理∵AP=PC，∴PO⊥AC，PO垂直平面ABC，故OB、OC、OP三線兩兩垂直，故可以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標系．由題可知AC=8，AB=BC=，OA=OC=OB=4，OP=3，則，，，，則，，，設(shè)平面BOD的法向量為，則，取，則，則，，∴直線與平面所成角的正弦值．12．（2022·北京·二模）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點為棱上動點（不與，重合），平面與棱交于點.(1)求證：；(2)若，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個條件作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；條件③：.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由棱柱的性質(zhì)可得，即可得到平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）選條件①②，連接，取中點，連接，，即可得到，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，即可建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；選條件②③，連接，取中點，連接，，依題意可得，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，接下來同①②；選條件①③，取中點，連接，，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，再由勾股定理逆定理得到接下來同①②；(1)證明：在三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，又因為平面平面，所以.(2)解：選條件①②.連接，取中點，連接，.在菱形中，，所以為等邊三角形.又因為為中點，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，且，所以平面，平面，所以.又因為，所以.以為原點，以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，.所以，.設(shè)平面的一個法向量為，則，所以令，則，，故.又因為，設(shè)直線與平面所成角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.選條件②③.連接，取中點，連接，.在菱形中，，所以為等邊三角形.又為中點，故，且.又因為，.所以，所以.又因為，所以平面.以下同選①②.選條件①③取中點，連接，.在中，因為，所以，且，.又因為平面平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.在中，.又因為，，所以，所以.以下同選①②.13．（2022·北京·模擬預(yù)測）如圖，在正方體中，為棱的中點，棱交平面于點．(1)求證：平面平面；(2)求證：；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）依據(jù)面面垂直判定定理去證明平面平面；（2）利用面面平行性質(zhì)定理和平行公理去證明；（3）建立空間直角坐標系，利用向量的方法去求二面角的余弦值．(1)在正方體中，平面.因為平面，所以．

又因為是正方形，所以．又因為，所以平面．

又平面，所以平面平面．(2)在正方體中，平面平面.又平面平面，平面平面，則．

又因為且，所以是平行四邊形．所以．

所以.(3)