第四章-代數(shù)系統(tǒng)課件

第四章代數(shù)系統(tǒng)

本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對(duì)象——代數(shù)系統(tǒng)，研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和特殊的元素，代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點(diǎn)。它們將集合、集合上的運(yùn)算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進(jìn)行研究。前三章內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，熟練地掌握集合、關(guān)系、函數(shù)等概念和性質(zhì)是理解本章內(nèi)容的關(guān)鍵。主要內(nèi)容如下：4.1運(yùn)算4.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)和同構(gòu)4.2代數(shù)系統(tǒng)4.4代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù)*第四章代數(shù)系統(tǒng)4.1運(yùn)算

一、運(yùn)算討論從集合到的這一類函數(shù)。在這里是笛卡爾積，即例1

設(shè)A={a,b,c},則例2

設(shè)A={a,b},則4.1運(yùn)算

例1設(shè)A={a,b,c},則例2設(shè)

設(shè)有集合和函數(shù)，于是對(duì)于中的每一個(gè)有序元組，,在中必有唯一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即

定義４－１

設(shè)有非空集合A，函數(shù)稱為A上的一個(gè)n元運(yùn)算。特別，函數(shù)稱為A上的二元運(yùn)算，稱為A上的一元運(yùn)算.。例如例如

對(duì)例2定義函數(shù)，使得對(duì)任意的，設(shè)有集合和函數(shù)例１

設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意

例如，

例２

設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意，

例如

，,但減法運(yùn)算不是正整數(shù)集N上的二元運(yùn)算.例１設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意例3

定義函數(shù)為。例如~，~但求倒數(shù)的運(yùn)算不能看作實(shí)數(shù)集Ｒ上的一元運(yùn)算。

例４

集合的并、交運(yùn)算可以看作是全集合U的冪集上的二元運(yùn)算。求補(bǔ)集的運(yùn)算可看作是上的一元運(yùn)算。對(duì)任意，對(duì)任意,例3定義函數(shù)二、一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的表示方法

A是有限集時(shí)，A上的一元運(yùn)算和二元運(yùn)算有時(shí)采用運(yùn)算表的方式來定義。

例如設(shè)上的一元運(yùn)算~和二元運(yùn)算*用運(yùn)算表定義如下：二、一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的表示方法

A是有限集時(shí)，A上的一三、運(yùn)算的封閉性定義在集合A上的運(yùn)算在A上一定是封閉的.定義在集合A上的運(yùn)算在A的子集上是否封閉呢？定義４－２

設(shè)是集合A上的一個(gè)二元（或一元）運(yùn)算，，若對(duì)于每一個(gè)序偶，（或?qū)τ诿恳唬加袆t稱運(yùn)算在S上是封閉的。三、運(yùn)算的封閉性定義在集合A上的運(yùn)算在A的子集上是否封閉呢？例５定義函數(shù)，使令顯然，于是，若，則，但是否屬于呢？

對(duì)于任意，,，,這意味著正整數(shù)集N上的運(yùn)算*在N的子集上也是封閉的.例５定義函數(shù)，使令令，顯然，

任取，且*是N上的二元運(yùn)算，因此，但是否屬于呢？我們?nèi)。瑒t，因此運(yùn)算在的子集上不封閉。但令，顯然四、二元運(yùn)算的一些常見的性質(zhì)定義４-３

設(shè)Ａ是非空集合，和是A上的二元運(yùn)算。（１）若對(duì)于任意，有，則稱在A上是可交換的。（２）若對(duì)于任意，有則稱在A上是可結(jié)合的。（３）若對(duì)于任意的有

則稱運(yùn)算對(duì)運(yùn)算是可分配的。四、二元運(yùn)算的一些常見的性質(zhì)例６

實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算定義為:因?yàn)樗詽M足交換律。所以滿足結(jié)合律。例６實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算定義為:因?yàn)樗?/p>

例７

全集合U的冪集上的“”運(yùn)算和“”運(yùn)算都是可交換、可結(jié)合的運(yùn)算、“”對(duì)“”,“”對(duì)“”均是可分配的。

例８

設(shè)是集合A上的關(guān)系}，對(duì)于任意，仍是A上的關(guān)系，所以關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算是S上的二元運(yùn)算。該運(yùn)算不滿足交換律，但滿足結(jié)合律.

例７全集合U的冪集上的“”運(yùn)算和“”五、集合中與二元運(yùn)算相關(guān)的一些特殊的元素

１．單位元定義４－４

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，若存在一元素，使得對(duì)于任意的，有則稱是A中運(yùn)算的左單位元；

若存在一元素，使得對(duì)于任意，有，則稱是A中運(yùn)算的右單位元；

若存在一元素，使得對(duì)于任意，有，則稱是A中運(yùn)算的單位元。五、集合中與二元運(yùn)算相關(guān)的一些特殊的元素若是運(yùn)算的右單位元。b和d都是運(yùn)算的左單位元，*例９

設(shè),

和是A上的兩個(gè)二元運(yùn)算.是運(yùn)算的右單位元。b和d都是運(yùn)算的左單位元，定理４－１

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，和分別是的左單位元和右單位元，則，且是的唯一的單位元。例10

在例８中，對(duì)任意關(guān)系，有，所以恒等關(guān)系是集合上關(guān)系復(fù)合運(yùn)算的單位元。證明

因?yàn)楹头謩e是的左、右單位元，因此，，

令，則是的單位元。設(shè)也是的單位元，則

因此是的唯一的單位元。

定理４－１設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，和2．

零元定義４－5

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，若存在一元素，使得對(duì)于任意的,若存在Zl有，則稱是A中運(yùn)算的左零元；若存在一元素，使得對(duì)于任意,則稱是A中運(yùn)算的右零元，若存在一元素，使得對(duì)于任意的,,則稱Z是A中運(yùn)算的零元。

例11

設(shè)定義A上的二元運(yùn)算“”為與b中之小者。對(duì)于任意，=3對(duì)于任意的，2．

零元例11設(shè)例12

對(duì)于全集合U的冪集上“”運(yùn)算和“”運(yùn)算，對(duì)任意

定理４－２

設(shè)是Ａ上的二元運(yùn)算，和分別是的左零元和右零元，則,且是唯一的零元。例12對(duì)于全集合U的冪集上“３．冪等元定義４-６

設(shè)是集合A中的二元運(yùn)算，若且，則稱是A中關(guān)于運(yùn)算的冪等元。例13

通常數(shù)的乘法運(yùn)算是實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算,其中０和１均是冪等元。例14

對(duì)于全集合U的冪集上的并運(yùn)算和交運(yùn)算,中的每一個(gè)元素都是冪等元。

即對(duì)任意,均有,

。

３．冪等元例13通常數(shù)的乘法運(yùn)算是實(shí)數(shù)集R上的４．元素的逆元

定義４－７

設(shè)是集合上具有單位元的二元運(yùn)算，對(duì)于元素，若存在一元素使得，則稱關(guān)于是左可逆的，稱是的左逆元；

若存在，使得，則稱關(guān)于是右可逆的，稱是的右逆元；若存在一元素，使得，則稱關(guān)于是可逆的，稱是的逆元。４．元素的逆元若存在，使得

例15

在例６中曾定義實(shí)數(shù)集上的二元運(yùn)算：，考慮它是否存在在單位元。

若是左單位元，則對(duì)任意，應(yīng)有，于是由于是任意的，只有＝０，

因此，０是運(yùn)算的單位元。Ａ中的元素是否有逆元呢？

設(shè)是的左逆元，則應(yīng)有

，于是，

即，

因此，只要，中任意元素均有逆元，其逆元是。例如，5的逆元是例15

在例６中曾定義實(shí)數(shù)集上的二元運(yùn)算定理４－３

設(shè)是集合上具有單位元且可結(jié)合的二元運(yùn)算，若元素有左逆元和右逆元，則且是唯一的逆元。證明：

因?yàn)楹头謩e是的左逆元和右逆元，所以因此于是，令則是的逆元。

設(shè)還有逆元，則

于是定理４－３設(shè)是集合上具有單位元

例16

設(shè)，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算是上的二元運(yùn)算，對(duì)任意，使得，所以是上運(yùn)算的單位元。解

即問是否存在函數(shù)，使得？

因此可以如下定義函數(shù)

現(xiàn)有函數(shù)，定義為對(duì)任意，試問h是否有左逆元？右逆元或逆元？例16設(shè)，函數(shù)的無論如何定義函數(shù)，均無法使得是滿射。因此沒有右逆元。但沒有右逆元。無論如何定義函數(shù)定理4－4

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，且。若運(yùn)算有單位元和零元，則證明（反證法）設(shè)，因?yàn)?，所以至少還有一元素，但矛盾。故必有。定理4－4設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，且練習(xí)4-1

在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y”或“N”分別表示肯定和否定。

1通常數(shù)的乘法運(yùn)算是否可看作下列集合上的二元運(yùn)算？NYYYYYY且e＝2YYN()

()

()

2設(shè)有整數(shù)集I，對(duì)I中任意元素，定義運(yùn)算為：（1）運(yùn)算在I上是否封閉？（2）運(yùn)算是否可交換？（3）運(yùn)算是否可結(jié)合？（4）運(yùn)算在I中是否有單位元？（5）對(duì)運(yùn)算是否所有的元素都有逆元？（6）運(yùn)算在I中是否有冪等元？（7）運(yùn)算在I中是否有零元？()()()()()()()練習(xí)4-1NYYYYYY且e＝2YYN(4．2代數(shù)系統(tǒng)

一、

代數(shù)系統(tǒng)

定義4-8

一個(gè)非空集合S和定義在該集合上的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算所組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)。用記號(hào)表示，其中S稱為該代數(shù)系統(tǒng)的域。例1

通常數(shù)的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算和減法運(yùn)算都可看作是實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算，它們構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例2

設(shè)是集合A上的關(guān)系}，是求復(fù)合關(guān)系的運(yùn)算。它們構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例3

全集合的冪集和集合的并、交以及補(bǔ)運(yùn)算構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)4．2代數(shù)系統(tǒng)

例1通常數(shù)的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算和

例4

整數(shù)集I和定義在I上的通常數(shù)的加法和乘法運(yùn)算組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記作，這兩個(gè)運(yùn)算具有如下一些性質(zhì)：

對(duì)任意i,j,k∈I,有（1）交換律（2）結(jié)合律（3）分配律（4）單位元（5）加法的可逆性（6）乘法的相約性例4整數(shù)集I和定義在I上的通常數(shù)的加法和乘法運(yùn)算組二、

子代數(shù)

定義4-9

設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中運(yùn)算均是一元或二元運(yùn)算，H是S的一個(gè)非空子集，如果S上的這三個(gè)運(yùn)算在H上也都是封閉的，則稱是的子代數(shù)或子系統(tǒng)。

如果是一元運(yùn)算，所謂在子集H上封閉，意味著在H中任取一元素b，其運(yùn)算結(jié)果.

若是二元運(yùn)算，所謂在子集H上封閉，意味著在H中任取兩元素，其運(yùn)算結(jié)果仍屬于H.二、

子代數(shù)

如果是一元運(yùn)對(duì)于任意

是代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)。

但不一定在B中，例如，只能得出是代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)。而卻不是的子代數(shù)。例5

設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)，其中Z表示非負(fù)整數(shù)集，＋和?是通常數(shù)的運(yùn)算。對(duì)于任意對(duì)于任意是代數(shù)系統(tǒng)練習(xí)4－21．通常數(shù)的減法運(yùn)算能否和下列集合構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng).（2）非負(fù)整數(shù)集Z()（3）整數(shù)集I（）（4）有理數(shù)集Q（）NYY2．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)，其中I表示整數(shù)集，＋和·分別表示通常的加法和乘法運(yùn)算，下面的各個(gè)子集，它是否能構(gòu)成V的子代數(shù)？

（1）（2）()(

)3．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)，其中二元運(yùn)算定義為中較大的數(shù),則有

個(gè)子代數(shù)。A．3B．6C．7D．8NYC練習(xí)4－2NYY2．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)4.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)

一、

代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)1．同態(tài)的概念定義4-1設(shè)是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，是從的一個(gè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，有對(duì)任意，有則稱是從代數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)同態(tài)。4.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)先運(yùn)算后取象等同于先取象后運(yùn)算.

兩集合中“對(duì)應(yīng)元素的運(yùn)算結(jié)果仍然對(duì)應(yīng)”。

xyh(x)h(y)h(x)x先運(yùn)算后取象等同于先取象后運(yùn)算.兩集合中“對(duì)應(yīng)元素的運(yùn)算結(jié)

定義上的二元運(yùn)算，對(duì)任意，是把行鏈接在行的后面，例如，設(shè)則構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例1

設(shè)是字母的集合，稱為字母表。由中有限個(gè)字母組成的序列稱為字母表上的句子或行。例如等.對(duì)任意行，中字母的個(gè)數(shù)稱為的長(zhǎng)度，記作。不包含任何字母的行稱作空行，記作。字母表上所有行的集合用表示。定義上的二元運(yùn)算，對(duì)

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)和，定義函數(shù)，對(duì)任意，則是到的一個(gè)同態(tài)。因?yàn)閷?duì)于任意

對(duì)于任意整數(shù)i和正整數(shù)m，我們用記號(hào)表示i被m除后所得的非負(fù)余數(shù)。例如對(duì)于給定的i和m，是唯一確定的，且

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)和

例2設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)和代數(shù)系統(tǒng)

⊙6＞,和⊙6分別表示模6的加法和模6的乘法

例如4⊙6⊙6

定義函數(shù)，對(duì)于任意，有例如可以證明是從到的一個(gè)同態(tài)。例2設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)必須證明如下兩個(gè)等式：對(duì)于任意的，有

⊙6即對(duì)任意的，有

⊙6

(2)為此，設(shè)，則，因此另一方面因此必須證明如下兩個(gè)等式：即對(duì)任意的對(duì)于等式（2），因?yàn)?/p>

所以另一方面⊙6⊙6因此⊙6由此可知是從到的一個(gè)同態(tài)。對(duì)于等式（2），因?yàn)樗粤硪环矫?．

由特殊函數(shù)定義的特殊的同態(tài)。

定義4-11

設(shè)是從代數(shù)系統(tǒng)到的同態(tài)。(1)如果h是內(nèi)射，則稱h是從V1到V2的單一同態(tài)。(2)如果h是滿射，則稱h是從V1到V2的滿同態(tài)(3)如果h是雙射，則稱h是從V1到V2的同構(gòu)。2．

由特殊函數(shù)定義的特殊的同態(tài)。

例3

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)，定義函數(shù)對(duì)于任意的，

對(duì)于任意的因此是從到的同態(tài)。

是單一同態(tài)，但不是滿同態(tài)。

例4

例1中從的同態(tài)是滿同態(tài)，但不是單一同態(tài)。例如例如例3對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)，定義函數(shù)例5

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)，即

定義函數(shù)，對(duì)任意定義函數(shù)，對(duì)任意因?yàn)閷?duì)任意，有對(duì)任意，有

所以是由到的同態(tài)，是由到的同態(tài)。

f是從V1到V3的同構(gòu)。

不是到的同構(gòu)。

例5對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)

二、

滿同態(tài)的性質(zhì)

定理4-5設(shè)h是從代數(shù)系統(tǒng)到的一個(gè)滿同態(tài)，則（1）若是可交換的，則也是可交換的；（2）若是可結(jié)合的，則也是可結(jié)合的；（3）若對(duì)是可分配的，則對(duì)也是可分配的；（4）在中若具有單位元，則中也具有單位元；（5）在中若具有零元，則中也具有零元；

（6）若對(duì)于，元素x具有逆元，則對(duì)于x的像也具有逆元。二、

滿同態(tài)的性質(zhì)（6）若對(duì)于，關(guān)于（1），已知對(duì)于任意，有，要證明對(duì)于任意，有

證明

任取，因?yàn)槭菨M射，所以必存在，使得

因?yàn)榭山粨Q所以于是因?yàn)槭峭瑧B(tài)，所以此即

關(guān)于（1），已知對(duì)于任意關(guān)于（4），已知有單位元，對(duì)于任意的，有要證明對(duì)于任意的，有證明

對(duì)任意，因?yàn)閔是滿射，所以必存在，使得，

又因?yàn)樗?/p>

由是同態(tài)，于是有

即

關(guān)于（4），已知有單位元，對(duì)于任

要證明中的像對(duì)于也存在逆元，且其逆元是，即要證明證明

因?yàn)?/p>

所以由同態(tài)的定義有

xh(x)h關(guān)于（6），已知中某一元素對(duì)于存在逆元，

要證明中的像三、

關(guān)于同構(gòu)

設(shè)是從代數(shù)系統(tǒng),到的同構(gòu)，那么是從到的雙射，此時(shí)存在有逆函數(shù)，

從抽象的觀點(diǎn)來看，兩個(gè)同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)可以看作同一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)來加以研究。

可以證明（證明略,可參見參考書籍[1]。）也必是從到的同構(gòu).即對(duì)于任意對(duì)于任意的,這樣一來，代數(shù)系統(tǒng)和彼此同構(gòu)。三、

關(guān)于同構(gòu)從抽象的觀點(diǎn)來看，兩個(gè)同構(gòu)的代數(shù)系統(tǒng)可例6

設(shè),現(xiàn)定義函數(shù)（1）（2）（3）試問，以上這些函數(shù)是否到的同構(gòu)或到的自同構(gòu)？

解（1）關(guān)于，對(duì)任意所以是由到的同態(tài)，

但不是內(nèi)射,因?yàn)?，例如故不是由到的同?gòu)。例6設(shè)（2）關(guān)于，是由到的同態(tài)，

對(duì)于任意，所以，它是雙射，因此是由到的自同構(gòu)。(3）關(guān)于，對(duì)任意，

因此，故不是由到的自同態(tài)，也不是同構(gòu)。（2）關(guān)于，是由例７

代數(shù)系統(tǒng)與是否同構(gòu)？

解

如果與同構(gòu)，則這兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)應(yīng)具有完全相同的性質(zhì)，但事實(shí)上,中運(yùn)算·有零元０，使得任意，但中運(yùn)算＋沒有零元，因此與不同構(gòu)。例７代數(shù)系統(tǒng)與是否同構(gòu)解

對(duì)任意由上可知g和h是V上的自同態(tài).

１．設(shè)，令，，這些函數(shù)中,哪些是上的自同態(tài)？

練習(xí)4－3解對(duì)任意由上可知g和h是V上的自同態(tài).１．設(shè)4．4

代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù)*

定義4－12

設(shè)代數(shù)系統(tǒng)和，其中和都是二元運(yùn)算。和的積代數(shù)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，即，其中

是二元運(yùn)算，定義為對(duì)任意的

4．4

代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù)*

例如

設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)其中，和分別是模2和模3的加法，即運(yùn)算表如下：根據(jù)定義4－12，積代數(shù)其中對(duì)于任意，

例如設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)運(yùn)算的運(yùn)算表如下:運(yùn)算的運(yùn)算表如下:習(xí)題1．在下列N的子集中，哪些在加法下是封閉的？證明你的回答：（1）{n|n與5互素}；（2）{n|6整除n，而24整除}.

解（1）令A(yù)={n|n和5互質(zhì)}，則A在加法下不是封閉的，例如但也能被24整除,因此能被24整除,由此可知.（2）令A(yù)={n|6整除n,而24整除}。集合A在加法下是封閉的，因?yàn)槿粼O(shè)，則所以能被6整除。因?yàn)槟鼙?4整除，能被24整除，習(xí)題解（1）令A(yù)={n|n和5互質(zhì)}，則A在加法下不2．證明在減法下封閉的整數(shù)的集合在加法下一定也是封閉的。

證明：設(shè)J是在減法下封閉的整數(shù)集。并設(shè)

則因?yàn)镴在減法下封閉。所以

又因此。

故J在加法下也是封閉的。例如就是本題一例。2．證明在減法下封閉的整數(shù)的集合在加法下一定也是封閉的。證3．下面是實(shí)數(shù)集合R上的二元運(yùn)算*的不同定義。在每一情況下，判定*是否是可交換的，是否是可結(jié)合的，R對(duì)于*是否有單位元？如果有單位元的話，R中的每一元素對(duì)于*是否都是可逆的？

①因所以*是可交換的。②又③R對(duì)于*沒有單位元。若*有單位元e，則，但由于，當(dāng)時(shí)，等式顯然不能成立，所以不可能有單位元。例如，取則而.因此*是不可結(jié)合的。

3．下面是實(shí)數(shù)集合R上的二元運(yùn)算*的不同定義。在每一情況下，解①因?yàn)?，所?是可交換的。②因?yàn)樗?。?是可結(jié)合的。③沒有單位元，顯然，若有單位元，由運(yùn)算公式，單位元只可能為0，但當(dāng)時(shí),

解4．設(shè)<S;*>是一代數(shù)系統(tǒng)，*是可結(jié)合的二元運(yùn)算，且對(duì)于所有的χ,y∈S,若χ*y=y*χ,則χ=y。試證明S中每一個(gè)元素均是冪等元。證明

因?yàn)?可結(jié)合，所以對(duì)于任意的χ∈S,有(χ*χ)*χ=χ*(χ*χ)由題設(shè)條件χ*χ=χ，故χ是冪等元，由χ的任意性，S中每一元素均是冪等元。

4．設(shè)<S;*>是一代數(shù)系統(tǒng)，*是可結(jié)合的二元運(yùn)算，且對(duì)5．設(shè)是從到的同態(tài)，是從到的同態(tài)，這里運(yùn)算ο、*和×均是二元運(yùn)算。試證明復(fù)合函數(shù)是從到的同態(tài)。

證明

因?yàn)楹途峭瑧B(tài)，所以對(duì)于任意的有故是從到同態(tài)。5．設(shè)是從6．設(shè)和都是從代數(shù)系統(tǒng)到的同態(tài)，這里*和都是二元運(yùn)算，且是可交換和可結(jié)合。定義函數(shù)使得對(duì)于任意

試證明h也是從到的同態(tài)。證明對(duì)于任意因?yàn)楹投际菑牡降耐瑧B(tài)，所以有

又因?yàn)?/p>

是可交換和可結(jié)合的，

所以

由x,y的任意性，可知h也是從到的同態(tài)。6．設(shè)和都是從代數(shù)系統(tǒng)到第四章代數(shù)系統(tǒng)

本章在集合、關(guān)系和函數(shù)等概念基礎(chǔ)上，研究更為復(fù)雜的對(duì)象——代數(shù)系統(tǒng)，研究代數(shù)系統(tǒng)的性質(zhì)和特殊的元素，代數(shù)系統(tǒng)與代數(shù)系統(tǒng)之間的關(guān)系。如代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)，這些概念較為復(fù)雜也較為抽象，是本課程中的難點(diǎn)。它們將集合、集合上的運(yùn)算以及集合間的函數(shù)關(guān)系結(jié)合在一起進(jìn)行研究。前三章內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，熟練地掌握集合、關(guān)系、函數(shù)等概念和性質(zhì)是理解本章內(nèi)容的關(guān)鍵。主要內(nèi)容如下：4.1運(yùn)算4.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)和同構(gòu)4.2代數(shù)系統(tǒng)4.4代數(shù)系統(tǒng)的積代數(shù)*第四章代數(shù)系統(tǒng)4.1運(yùn)算

一、運(yùn)算討論從集合到的這一類函數(shù)。在這里是笛卡爾積，即例1

設(shè)A={a,b,c},則例2

設(shè)A={a,b},則4.1運(yùn)算

例1設(shè)A={a,b,c},則例2設(shè)

設(shè)有集合和函數(shù)，于是對(duì)于中的每一個(gè)有序元組，,在中必有唯一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即

定義４－１

設(shè)有非空集合A，函數(shù)稱為A上的一個(gè)n元運(yùn)算。特別，函數(shù)稱為A上的二元運(yùn)算，稱為A上的一元運(yùn)算.。例如例如

對(duì)例2定義函數(shù)，使得對(duì)任意的，設(shè)有集合和函數(shù)例１

設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意

例如，

例２

設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意，

例如

，,但減法運(yùn)算不是正整數(shù)集N上的二元運(yùn)算.例１設(shè)有函數(shù)，對(duì)于任意例3

定義函數(shù)為。例如~，~但求倒數(shù)的運(yùn)算不能看作實(shí)數(shù)集Ｒ上的一元運(yùn)算。

例４

集合的并、交運(yùn)算可以看作是全集合U的冪集上的二元運(yùn)算。求補(bǔ)集的運(yùn)算可看作是上的一元運(yùn)算。對(duì)任意，對(duì)任意,例3定義函數(shù)二、一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的表示方法

A是有限集時(shí)，A上的一元運(yùn)算和二元運(yùn)算有時(shí)采用運(yùn)算表的方式來定義。

例如設(shè)上的一元運(yùn)算~和二元運(yùn)算*用運(yùn)算表定義如下：二、一元運(yùn)算和二元運(yùn)算的表示方法

A是有限集時(shí)，A上的一三、運(yùn)算的封閉性定義在集合A上的運(yùn)算在A上一定是封閉的.定義在集合A上的運(yùn)算在A的子集上是否封閉呢？定義４－２

設(shè)是集合A上的一個(gè)二元（或一元）運(yùn)算，，若對(duì)于每一個(gè)序偶，（或?qū)τ诿恳唬加袆t稱運(yùn)算在S上是封閉的。三、運(yùn)算的封閉性定義在集合A上的運(yùn)算在A的子集上是否封閉呢？例５定義函數(shù)，使令顯然，于是，若，則，但是否屬于呢？

對(duì)于任意，,，,這意味著正整數(shù)集N上的運(yùn)算*在N的子集上也是封閉的.例５定義函數(shù)，使令令，顯然，

任取，且*是N上的二元運(yùn)算，因此，但是否屬于呢？我們?nèi)?，則，因此運(yùn)算在的子集上不封閉。但令，顯然四、二元運(yùn)算的一些常見的性質(zhì)定義４-３

設(shè)Ａ是非空集合，和是A上的二元運(yùn)算。（１）若對(duì)于任意，有，則稱在A上是可交換的。（２）若對(duì)于任意，有則稱在A上是可結(jié)合的。（３）若對(duì)于任意的有

則稱運(yùn)算對(duì)運(yùn)算是可分配的。四、二元運(yùn)算的一些常見的性質(zhì)例６

實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算定義為:因?yàn)樗詽M足交換律。所以滿足結(jié)合律。例６實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算定義為:因?yàn)樗?/p>

例７

全集合U的冪集上的“”運(yùn)算和“”運(yùn)算都是可交換、可結(jié)合的運(yùn)算、“”對(duì)“”,“”對(duì)“”均是可分配的。

例８

設(shè)是集合A上的關(guān)系}，對(duì)于任意，仍是A上的關(guān)系，所以關(guān)系的復(fù)合運(yùn)算是S上的二元運(yùn)算。該運(yùn)算不滿足交換律，但滿足結(jié)合律.

例７全集合U的冪集上的“”運(yùn)算和“”五、集合中與二元運(yùn)算相關(guān)的一些特殊的元素

１．單位元定義４－４

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，若存在一元素，使得對(duì)于任意的，有則稱是A中運(yùn)算的左單位元；

若存在一元素，使得對(duì)于任意，有，則稱是A中運(yùn)算的右單位元；

若存在一元素，使得對(duì)于任意，有，則稱是A中運(yùn)算的單位元。五、集合中與二元運(yùn)算相關(guān)的一些特殊的元素若是運(yùn)算的右單位元。b和d都是運(yùn)算的左單位元，*例９

設(shè),

和是A上的兩個(gè)二元運(yùn)算.是運(yùn)算的右單位元。b和d都是運(yùn)算的左單位元，定理４－１

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，和分別是的左單位元和右單位元，則，且是的唯一的單位元。例10

在例８中，對(duì)任意關(guān)系，有，所以恒等關(guān)系是集合上關(guān)系復(fù)合運(yùn)算的單位元。證明

因?yàn)楹头謩e是的左、右單位元，因此，，

令，則是的單位元。設(shè)也是的單位元，則

因此是的唯一的單位元。

定理４－１設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，和2．

零元定義４－5

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，若存在一元素，使得對(duì)于任意的,若存在Zl有，則稱是A中運(yùn)算的左零元；若存在一元素，使得對(duì)于任意,則稱是A中運(yùn)算的右零元，若存在一元素，使得對(duì)于任意的,,則稱Z是A中運(yùn)算的零元。

例11

設(shè)定義A上的二元運(yùn)算“”為與b中之小者。對(duì)于任意，=3對(duì)于任意的，2．

零元例11設(shè)例12

對(duì)于全集合U的冪集上“”運(yùn)算和“”運(yùn)算，對(duì)任意

定理４－２

設(shè)是Ａ上的二元運(yùn)算，和分別是的左零元和右零元，則,且是唯一的零元。例12對(duì)于全集合U的冪集上“３．冪等元定義４-６

設(shè)是集合A中的二元運(yùn)算，若且，則稱是A中關(guān)于運(yùn)算的冪等元。例13

通常數(shù)的乘法運(yùn)算是實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算,其中０和１均是冪等元。例14

對(duì)于全集合U的冪集上的并運(yùn)算和交運(yùn)算,中的每一個(gè)元素都是冪等元。

即對(duì)任意,均有,

。

３．冪等元例13通常數(shù)的乘法運(yùn)算是實(shí)數(shù)集R上的４．元素的逆元

定義４－７

設(shè)是集合上具有單位元的二元運(yùn)算，對(duì)于元素，若存在一元素使得，則稱關(guān)于是左可逆的，稱是的左逆元；

若存在，使得，則稱關(guān)于是右可逆的，稱是的右逆元；若存在一元素，使得，則稱關(guān)于是可逆的，稱是的逆元。４．元素的逆元若存在，使得

例15

在例６中曾定義實(shí)數(shù)集上的二元運(yùn)算：，考慮它是否存在在單位元。

若是左單位元，則對(duì)任意，應(yīng)有，于是由于是任意的，只有＝０，

因此，０是運(yùn)算的單位元。Ａ中的元素是否有逆元呢？

設(shè)是的左逆元，則應(yīng)有

，于是，

即，

因此，只要，中任意元素均有逆元，其逆元是。例如，5的逆元是例15

在例６中曾定義實(shí)數(shù)集上的二元運(yùn)算定理４－３

設(shè)是集合上具有單位元且可結(jié)合的二元運(yùn)算，若元素有左逆元和右逆元，則且是唯一的逆元。證明：

因?yàn)楹头謩e是的左逆元和右逆元，所以因此于是，令則是的逆元。

設(shè)還有逆元，則

于是定理４－３設(shè)是集合上具有單位元

例16

設(shè)，函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算是上的二元運(yùn)算，對(duì)任意，使得，所以是上運(yùn)算的單位元。解

即問是否存在函數(shù)，使得？

因此可以如下定義函數(shù)

現(xiàn)有函數(shù)，定義為對(duì)任意，試問h是否有左逆元？右逆元或逆元？例16設(shè)，函數(shù)的無論如何定義函數(shù)，均無法使得是滿射。因此沒有右逆元。但沒有右逆元。無論如何定義函數(shù)定理4－4

設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，且。若運(yùn)算有單位元和零元，則證明（反證法）設(shè)，因?yàn)?，所以至少還有一元素，但矛盾。故必有。定理4－4設(shè)是集合A上的二元運(yùn)算，且練習(xí)4-1

在相應(yīng)的括號(hào)中鍵入“Y”或“N”分別表示肯定和否定。

1通常數(shù)的乘法運(yùn)算是否可看作下列集合上的二元運(yùn)算？NYYYYYY且e＝2YYN()

()

()

2設(shè)有整數(shù)集I，對(duì)I中任意元素，定義運(yùn)算為：（1）運(yùn)算在I上是否封閉？（2）運(yùn)算是否可交換？（3）運(yùn)算是否可結(jié)合？（4）運(yùn)算在I中是否有單位元？（5）對(duì)運(yùn)算是否所有的元素都有逆元？（6）運(yùn)算在I中是否有冪等元？（7）運(yùn)算在I中是否有零元？()()()()()()()練習(xí)4-1NYYYYYY且e＝2YYN(4．2代數(shù)系統(tǒng)

一、

代數(shù)系統(tǒng)

定義4-8

一個(gè)非空集合S和定義在該集合上的一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算所組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)。用記號(hào)表示，其中S稱為該代數(shù)系統(tǒng)的域。例1

通常數(shù)的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算和減法運(yùn)算都可看作是實(shí)數(shù)集R上的二元運(yùn)算，它們構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例2

設(shè)是集合A上的關(guān)系}，是求復(fù)合關(guān)系的運(yùn)算。它們構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例3

全集合的冪集和集合的并、交以及補(bǔ)運(yùn)算構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)4．2代數(shù)系統(tǒng)

例1通常數(shù)的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算和

例4

整數(shù)集I和定義在I上的通常數(shù)的加法和乘法運(yùn)算組成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記作，這兩個(gè)運(yùn)算具有如下一些性質(zhì)：

對(duì)任意i,j,k∈I,有（1）交換律（2）結(jié)合律（3）分配律（4）單位元（5）加法的可逆性（6）乘法的相約性例4整數(shù)集I和定義在I上的通常數(shù)的加法和乘法運(yùn)算組二、

子代數(shù)

定義4-9

設(shè)是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中運(yùn)算均是一元或二元運(yùn)算，H是S的一個(gè)非空子集，如果S上的這三個(gè)運(yùn)算在H上也都是封閉的，則稱是的子代數(shù)或子系統(tǒng)。

如果是一元運(yùn)算，所謂在子集H上封閉，意味著在H中任取一元素b，其運(yùn)算結(jié)果.

若是二元運(yùn)算，所謂在子集H上封閉，意味著在H中任取兩元素，其運(yùn)算結(jié)果仍屬于H.二、

子代數(shù)

如果是一元運(yùn)對(duì)于任意

是代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)。

但不一定在B中，例如，只能得出是代數(shù)系統(tǒng)的子代數(shù)。而卻不是的子代數(shù)。例5

設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)，其中Z表示非負(fù)整數(shù)集，＋和?是通常數(shù)的運(yùn)算。對(duì)于任意對(duì)于任意是代數(shù)系統(tǒng)練習(xí)4－21．通常數(shù)的減法運(yùn)算能否和下列集合構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng).（2）非負(fù)整數(shù)集Z()（3）整數(shù)集I（）（4）有理數(shù)集Q（）NYY2．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)，其中I表示整數(shù)集，＋和·分別表示通常的加法和乘法運(yùn)算，下面的各個(gè)子集，它是否能構(gòu)成V的子代數(shù)？

（1）（2）()(

)3．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)，其中二元運(yùn)算定義為中較大的數(shù),則有

個(gè)子代數(shù)。A．3B．6C．7D．8NYC練習(xí)4－2NYY2．設(shè)代數(shù)系統(tǒng)4.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)

一、

代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)1．同態(tài)的概念定義4-1設(shè)是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，是從的一個(gè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，有對(duì)任意，有則稱是從代數(shù)系統(tǒng)的一個(gè)同態(tài)。4.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)先運(yùn)算后取象等同于先取象后運(yùn)算.

兩集合中“對(duì)應(yīng)元素的運(yùn)算結(jié)果仍然對(duì)應(yīng)”。

xyh(x)h(y)h(x)x先運(yùn)算后取象等同于先取象后運(yùn)算.兩集合中“對(duì)應(yīng)元素的運(yùn)算結(jié)

定義上的二元運(yùn)算，對(duì)任意，是把行鏈接在行的后面，例如，設(shè)則構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)。例1

設(shè)是字母的集合，稱為字母表。由中有限個(gè)字母組成的序列稱為字母表上的句子或行。例如等.對(duì)任意行，中字母的個(gè)數(shù)稱為的長(zhǎng)度，記作。不包含任何字母的行稱作空行，記作。字母表上所有行的集合用表示。定義上的二元運(yùn)算，對(duì)

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)和，定義函數(shù)，對(duì)任意，則是到的一個(gè)同態(tài)。因?yàn)閷?duì)于任意

對(duì)于任意整數(shù)i和正整數(shù)m，我們用記號(hào)表示i被m除后所得的非負(fù)余數(shù)。例如對(duì)于給定的i和m，是唯一確定的，且

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)和

例2設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)和代數(shù)系統(tǒng)

⊙6＞,和⊙6分別表示模6的加法和模6的乘法

例如4⊙6⊙6

定義函數(shù)，對(duì)于任意，有例如可以證明是從到的一個(gè)同態(tài)。例2設(shè)有代數(shù)系統(tǒng)必須證明如下兩個(gè)等式：對(duì)于任意的，有

⊙6即對(duì)任意的，有

⊙6

(2)為此，設(shè)，則，因此另一方面因此必須證明如下兩個(gè)等式：即對(duì)任意的對(duì)于等式（2），因?yàn)?/p>

所以另一方面⊙6⊙6因此⊙6由此可知是從到的一個(gè)同態(tài)。對(duì)于等式（2），因?yàn)樗粤硪环矫?．

由特殊函數(shù)定義的特殊的同態(tài)。

定義4-11

設(shè)是從代數(shù)系統(tǒng)到的同態(tài)。(1)如果h是內(nèi)射，則稱h是從V1到V2的單一同態(tài)。(2)如果h是滿射，則稱h是從V1到V2的滿同態(tài)(3)如果h是雙射，則稱h是從V1到V2的同構(gòu)。2．

由特殊函數(shù)定義的特殊的同態(tài)。

例3

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)，定義函數(shù)對(duì)于任意的，

對(duì)于任意的因此是從到的同態(tài)。

是單一同態(tài)，但不是滿同態(tài)。

例4

例1中從的同態(tài)是滿同態(tài)，但不是單一同態(tài)。例如例如例3對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)，定義函數(shù)