143因式分解教學(xué)課件

14.3.1因式分解——因式分解地定義與提公因式法ZQ14.3.1因式分解——因式分解地定義與提公因式法ZQ1復(fù)習(xí)回顧口答：反過來ZQ復(fù)習(xí)回顧口答：反過來ZQ2上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式地積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

.分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形ZQ上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式地積的形式，像這樣的式3

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式地積）ZQ依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾4創(chuàng)設(shè)情景

學(xué)校打算把操場(chǎng)重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、主席臺(tái)三個(gè)部分，如下圖，計(jì)算操場(chǎng)總面積.abcmZQ創(chuàng)設(shè)情景學(xué)校打算把操場(chǎng)重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運(yùn)動(dòng)5abcm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcmmZQabcm方法一：S=m(a+b+c)方法二6方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個(gè)多項(xiàng)式中每一個(gè)項(xiàng)都含有地因式，叫做

.公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)ZQ方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=7ma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個(gè)式子地因式分解過程中，先找到這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式與公因式相乘即可.這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項(xiàng)式地公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，

3、把它與公因式相乘.ZQma+mb+mc=m(a+b+c)8

如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式地公因式呢？

1、系數(shù)所有項(xiàng)地系數(shù)的最大公約數(shù)

2、字母應(yīng)提取每一項(xiàng)都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的.

3、系數(shù)與字母相乘ZQ如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式地公因式呢？1、系數(shù)ZQ9例題精講最大公約數(shù)為3=3a地最低指數(shù)為1ab地最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=4st2(-3s2+2t-1)pq(5q+7p+3)=ZQ例題精講最大公約數(shù)為3=3a地最低指數(shù)為1ab地最低指數(shù)為10做一做

按照提公因式法因式分解.ZQ做一做按照提公因式法因式分解.ZQ11提高訓(xùn)練(一)ZQ提高訓(xùn)練(一)ZQ12提高訓(xùn)練(二)ZQ提高訓(xùn)練(二)ZQ1314.3.2公式法——利用平方差公式進(jìn)行因式分解ZQ14.3.2公式法——利用平方差公式進(jìn)行因式分解ZQ14復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過地兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計(jì)算ZQ復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過地兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全15=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入試計(jì)算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計(jì)算過程中都逆用了平方差公式即：ZQ=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入16此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)地平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.

嘗試練習(xí)(對(duì)下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)ZQ此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：兩個(gè)數(shù)17判斷下列各式是否可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解①x2+4②–4x2+y2③x4–1④x2–x6⑤6x3–54xy2⑥(x+p)2–(x–q)2例(1)ZQ判斷下列各式是否可以①x2+4例18=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1=(x2+1)

(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!ZQ=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)②–419④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡(jiǎn)便！

在我們現(xiàn)學(xué)過地因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法.ZQ④x2–x6將前面②~⑥各式例(2)④x220⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)YXYXYXZQ⑤6x3–54xy2將前面②~⑥各式例(2)Y21做一做

利用平方差公式因式分解.ZQ做一做利用平方差公式因式分解.ZQ22提高訓(xùn)練(一)ZQ提高訓(xùn)練(一)ZQ23提高訓(xùn)練(二)2、n是自然數(shù)，代入n3–n中計(jì)算時(shí)，四個(gè)同學(xué)算出如下四個(gè)結(jié)果，其中正確地只可能是().A.421800B.438911C.439844D.428158ZQ提高訓(xùn)練(二)2、n是自然數(shù)，代入n3–n中計(jì)算時(shí)，四2415.4.2公式法（中級(jí)篇2）——利用完全平方公式進(jìn)行因式分解ZQ15.4.2公式法（中級(jí)篇2）——利用完全平方公式進(jìn)25復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)地完全平方公式嗎？計(jì)算：ZQ復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)地完全平方公式嗎？計(jì)算：ZQ26新課引入試計(jì)算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運(yùn)用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算與因式分解.即：ZQ新課引入試計(jì)算：9992+1998+27這個(gè)公式可以用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)地平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.

牛刀小試(對(duì)下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2ZQ這個(gè)公式可以用文字表述為：兩個(gè)數(shù)地平方和加上（或減去28判斷下列各式是否可以運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2③x2+2x–1④4x2–8xy+4y2⑤1–2a2+a4⑥(p+q)2–12(p+q)+36例(1)

形如a2±2ab+b2地式子叫做完全平方式.

完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解ZQ判斷下列各式是否可以①16x2+29完全平方式地特點(diǎn)：

1、必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）

2、有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng)

3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍）簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.ZQ完全平方式地特點(diǎn)：ZQ30將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2ZQ將例(1)中的完全平方式例(2)①16x31–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXXZQ–2a2+將例(1)中的完全平32做一做

用完全平方公式進(jìn)行因式分解.ZQ做一做用完全平方公式進(jìn)行因式分解.ZQ33做一做

用恰當(dāng)?shù)胤椒ㄟM(jìn)行因式分解.備選方法：提公因式法平方差公式完全平方公式ZQ做一做用恰當(dāng)?shù)胤椒ㄟM(jìn)行因式分解.備選方法：ZQ34提高訓(xùn)練(一)④

給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是________。ZQ提高訓(xùn)練(一)④給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完35提高訓(xùn)練(二)ZQ提高訓(xùn)練(二)ZQ36提高訓(xùn)練(三)ZQ提高訓(xùn)練(三)ZQ37TheEndZQTheEndZQ3815.4.3*因式分解（高級(jí)篇）——因式分解地其他常用方法ZQ15.4.3*因式分解（高級(jí)篇）——因式分解地其他常39知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……ZQ知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法ZQ40一、提公因式法

只需找到多項(xiàng)式中地公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可.往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)ZQ一、提公因式法只需找到多項(xiàng)式中地公因式，然后用原多項(xiàng)41二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合.接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。ZQ二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將符合其形式的公式42常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)ZQ常用公式ZQ43這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz地推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆ZQ這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz地推導(dǎo)過程ZQ44公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合.ZQ公式法隨堂練習(xí)：二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將45三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解ZQ三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：例1：因式分解x2+4x46例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單地說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2ZQ例2：因式分解x2–7x+10這個(gè)公式簡(jiǎn)單地說，十字相乘法①47三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2.這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)地形式.(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。ZQ三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2.既然是二次式，就48=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)ZQ=173x2+11x+106x2+7x49=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2.這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xyZQ=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x250四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的.例1：因式分解ab–ac+bd–cd.解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別地解法嗎？ZQ四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置51四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的.例1：因式分解ab–ac+bd–cd.解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)ZQ四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置52例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1.解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1ZQ例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1.解：原式53回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1.另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解ZQ回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1.另解：54

拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高地要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣.最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法ZQ拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高地要求，需要觀察到多項(xiàng)式55例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mnZQ例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+56配方法

配方法是一種特殊地拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解.因式分解a2–b2+4a+2b+3.解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式ZQ配方法配方法是一種特殊地拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全57六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20.通過十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設(shè)原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通過比較兩式同類項(xiàng)地系數(shù)可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)ZQ六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–58=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20雙十字相乘法

雙十字相乘法適用于二次六項(xiàng)式地因式分解，而待定系數(shù)法則沒有這個(gè)限制.因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20.21–336–345=–312–15∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)ZQ=3=1410+42x2+3xy–9y259七*、求根法

設(shè)原多項(xiàng)式等于零，解出方程地解x1、x2……，則原式就可以分解為(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多地方法需要同學(xué)們自己去尋找!多練才能擁有自己的解題智慧!ZQ七*、求根法設(shè)原多項(xiàng)式等于零，解出方程地解x1、x60綜合訓(xùn)練(一)ZQ綜合訓(xùn)練(一)ZQ61綜合訓(xùn)練(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后地結(jié)果是().

A.(y–z)(x+y)(x–z)B.(y–z)(x–y)(x+z)C.(y+z)(x–y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x–z)3、因式分解x3+6x2+11x+6。ZQ綜合訓(xùn)練(二)2、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z62綜合訓(xùn)練(三)ZQ綜合訓(xùn)練(三)ZQ63TheEndZQTheEndZQ6414.3.1因式分解——因式分解地定義與提公因式法ZQ14.3.1因式分解——因式分解地定義與提公因式法ZQ65復(fù)習(xí)回顧口答：反過來ZQ復(fù)習(xí)回顧口答：反過來ZQ66上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式地積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

.分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形ZQ上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式地積的形式，像這樣的式67

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式地積）ZQ依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾68創(chuàng)設(shè)情景

學(xué)校打算把操場(chǎng)重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、主席臺(tái)三個(gè)部分，如下圖，計(jì)算操場(chǎng)總面積.abcmZQ創(chuàng)設(shè)情景學(xué)校打算把操場(chǎng)重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運(yùn)動(dòng)69abcm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcmmZQabcm方法一：S=m(a+b+c)方法二70方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個(gè)多項(xiàng)式中每一個(gè)項(xiàng)都含有地因式，叫做

.公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)ZQ方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=71ma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個(gè)式子地因式分解過程中，先找到這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式與公因式相乘即可.這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項(xiàng)式地公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，

3、把它與公因式相乘.ZQma+mb+mc=m(a+b+c)72

如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式地公因式呢？

1、系數(shù)所有項(xiàng)地系數(shù)的最大公約數(shù)

2、字母應(yīng)提取每一項(xiàng)都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的.

3、系數(shù)與字母相乘ZQ如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式地公因式呢？1、系數(shù)ZQ73例題精講最大公約數(shù)為3=3a地最低指數(shù)為1ab地最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=4st2(-3s2+2t-1)pq(5q+7p+3)=ZQ例題精講最大公約數(shù)為3=3a地最低指數(shù)為1ab地最低指數(shù)為74做一做

按照提公因式法因式分解.ZQ做一做按照提公因式法因式分解.ZQ75提高訓(xùn)練(一)ZQ提高訓(xùn)練(一)ZQ76提高訓(xùn)練(二)ZQ提高訓(xùn)練(二)ZQ7714.3.2公式法——利用平方差公式進(jìn)行因式分解ZQ14.3.2公式法——利用平方差公式進(jìn)行因式分解ZQ78復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過地兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計(jì)算ZQ復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過地兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全79=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入試計(jì)算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計(jì)算過程中都逆用了平方差公式即：ZQ=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入80此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)地平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.

嘗試練習(xí)(對(duì)下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)ZQ此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：兩個(gè)數(shù)81判斷下列各式是否可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解①x2+4②–4x2+y2③x4–1④x2–x6⑤6x3–54xy2⑥(x+p)2–(x–q)2例(1)ZQ判斷下列各式是否可以①x2+4例82=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1=(x2+1)

(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!ZQ=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)②–483④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡(jiǎn)便！

在我們現(xiàn)學(xué)過地因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法.ZQ④x2–x6將前面②~⑥各式例(2)④x284⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)YXYXYXZQ⑤6x3–54xy2將前面②~⑥各式例(2)Y85做一做

利用平方差公式因式分解.ZQ做一做利用平方差公式因式分解.ZQ86提高訓(xùn)練(一)ZQ提高訓(xùn)練(一)ZQ87提高訓(xùn)練(二)2、n是自然數(shù)，代入n3–n中計(jì)算時(shí)，四個(gè)同學(xué)算出如下四個(gè)結(jié)果，其中正確地只可能是().A.421800B.438911C.439844D.428158ZQ提高訓(xùn)練(二)2、n是自然數(shù)，代入n3–n中計(jì)算時(shí)，四8815.4.2公式法（中級(jí)篇2）——利用完全平方公式進(jìn)行因式分解ZQ15.4.2公式法（中級(jí)篇2）——利用完全平方公式進(jìn)89復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)地完全平方公式嗎？計(jì)算：ZQ復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)地完全平方公式嗎？計(jì)算：ZQ90新課引入試計(jì)算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運(yùn)用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算與因式分解.即：ZQ新課引入試計(jì)算：9992+1998+91這個(gè)公式可以用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)地平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.

牛刀小試(對(duì)下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2ZQ這個(gè)公式可以用文字表述為：兩個(gè)數(shù)地平方和加上（或減去92判斷下列各式是否可以運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2③x2+2x–1④4x2–8xy+4y2⑤1–2a2+a4⑥(p+q)2–12(p+q)+36例(1)

形如a2±2ab+b2地式子叫做完全平方式.

完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解ZQ判斷下列各式是否可以①16x2+93完全平方式地特點(diǎn)：

1、必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）

2、有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng)

3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍）簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.ZQ完全平方式地特點(diǎn)：ZQ94將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2ZQ將例(1)中的完全平方式例(2)①16x95–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXXZQ–2a2+將例(1)中的完全平96做一做

用完全平方公式進(jìn)行因式分解.ZQ做一做用完全平方公式進(jìn)行因式分解.ZQ97做一做

用恰當(dāng)?shù)胤椒ㄟM(jìn)行因式分解.備選方法：提公因式法平方差公式完全平方公式ZQ做一做用恰當(dāng)?shù)胤椒ㄟM(jìn)行因式分解.備選方法：ZQ98提高訓(xùn)練(一)④

給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是________。ZQ提高訓(xùn)練(一)④給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完99提高訓(xùn)練(二)ZQ提高訓(xùn)練(二)ZQ100提高訓(xùn)練(三)ZQ提高訓(xùn)練(三)ZQ101TheEndZQTheEndZQ10215.4.3*因式分解（高級(jí)篇）——因式分解地其他常用方法ZQ15.4.3*因式分解（高級(jí)篇）——因式分解地其他常103知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……ZQ知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法ZQ104一、提公因式法

只需找到多項(xiàng)式中地公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可.往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)ZQ一、提公因式法只需找到多項(xiàng)式中地公因式，然后用原多項(xiàng)105二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合.接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。ZQ二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將符合其形式的公式106常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)ZQ常用公式ZQ107這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz地推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆ZQ這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz地推導(dǎo)過程ZQ108公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合.ZQ公式法隨堂練習(xí)：二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式地特點(diǎn)，再將109三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解ZQ三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：例1：因式分解x2+4x110例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單地說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2ZQ例2：因式分解x2–7x+10這個(gè)公式簡(jiǎn)單地說，十字相乘法①111三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2.這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)地形式.(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。ZQ三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2.既然是二次式，就112=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)ZQ=173x2+11x+106x2+7x113=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2.這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xyZQ=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2114四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的.例1：因式分解ab–ac+bd–cd.解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別地解法嗎？ZQ四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置115四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的.例1：因式分解ab–ac+bd–cd.解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)ZQ四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含地條件，通過交換項(xiàng)的位置116例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1.解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1ZQ例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1.解：原式117回顧例題：因式分解