2021-2022學(xué)年四川省綿陽市開元中學(xué)高二年級下冊學(xué)期期末適應(yīng)性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年四川省綿陽市開元中學(xué)高二下學(xué)期期末適應(yīng)性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)命題否定的定義即可求解.【詳解】對于全稱量詞的否定是特稱量詞，并對結(jié)果求反，即；故選：D.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到，再求其虛部即可.【詳解】由題知：，，所以的虛部為.故選：A3．設(shè)，向量，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出y和x即可．【詳解】，∥，∴.故選：A.4．已知命題p：，，命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則下列命題中，是真命題的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷命題、的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真假性規(guī)則判斷即可；【詳解】解：對于命題，當(dāng)時，故命題為假命題，所以為真命題；對于，恒成立，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故命題為真命題，所以為假命題，所以為假命題，為假命題，為真命題；故選：D5．在二項式的展開式中，二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為（

）A．-32 B．-1 C．1 D．32【答案】B【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的和是，可解得，令代入結(jié)果即為展開式中各項系數(shù)的和．【詳解】∵二項式系數(shù)的和是32，則，∴令，則展開式中各項系數(shù)的和為故選：B．6．已知隨機(jī)變量，且，則=（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】由期望的性質(zhì)有，結(jié)合二項分布期望公式求參數(shù)，再由其方差公式求.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：D7．如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱、的中點，則點到平面的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點到平面的距離，故選：.【點睛】本題用向量法求點到平面的距離，我們也可以用等體積法求點到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個垂線段，然后放在直角三角形中去求.8．甲?乙?丙?丁四個人參加比賽，只有一人獲獎，甲說：是乙或丙獲獎，乙說：丙丁都未獲獎，丙說：甲獲獎了，丁說：乙沒獲獎.已知四人中有且只有一人說了假話，則獲獎的人為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別假設(shè)甲、乙、丙、丁獲獎，驗證是否符合題意,即可判斷出答案.【詳解】若甲獲獎，則四人中有且只有甲說了假話，符合題意；若乙獲獎，則四人中丙丁說了假話，不符合題意；若丙獲獎，則四人中乙丙說了假話，不符合題意；若丁獲獎，則四人中甲乙丙說了假話，不符合題意；故選:A9．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】求f(x)的導(dǎo)數(shù)，原問題等價于在上恒成立，據(jù)此即可求出a的范圍.【詳解】∵，∴，∵x∈時，，∴若在內(nèi)單調(diào)遞減，則在上恒成立，即得在恒成立，∴.故選：C.10．某學(xué)校有四個優(yōu)秀的同學(xué)甲、乙、丙、丁獲得了保送到哈爾濱工業(yè)大學(xué)、東北林業(yè)大學(xué)和哈爾濱醫(yī)科大學(xué)3所大學(xué)的機(jī)會，若每所大學(xué)至少保送1人，且甲同學(xué)要求不去哈爾濱醫(yī)科大學(xué)，則不同的保送方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．64種【答案】A【分析】先考慮甲去的學(xué)校有2種情況，對甲去的學(xué)校分類討論得解.【詳解】每所大學(xué)至少保送1人,且甲同學(xué)要求不去哈爾濱醫(yī)科大學(xué)，先考慮甲去的學(xué)校有2種情況，對甲去的學(xué)校分類討論，若該校只有1人保送，則另外3人去兩所學(xué)校共有；若甲去的學(xué)校有2人保送，則另外3人去3所學(xué)校共有.則不同的保送方案共有.故選:A.11．已知，，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：由，得，令，在上單調(diào)遞增，又，則．即當(dāng)，時，．顯然，，但由不能得到．故選：B．12．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex-kx，g′（x）=ex-k，需要對k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時的根．【詳解】∵函數(shù)的定義域是（0，+∞），∴．x=1是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的唯一根．∴ex-kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex-kxg′（x）=ex-k①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調(diào)遞增的g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；x＞lnk時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.∴g（x）的最小值為g（lnk）=k-klnk∴k-klnk≥0∴0＜k≤e綜上所述，k≤e．故選A．【點睛】本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問題．對參數(shù)需要進(jìn)行討論．屬于中檔題．二、填空題13．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則__________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長概念求解即可.【詳解】.故答案為：14．若，則__________.【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)通項求解即可.【詳解】，因為，令，解得.所以，即.故答案為：15．已知某中學(xué)高二年級學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）服從正態(tài)分布，且，從這些學(xué)生中任選一位，其數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間內(nèi)的概率為__________.【答案】【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】.故答案為：16．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為__________.【答案】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意得到在R上為增函數(shù)，再將轉(zhuǎn)化為求解即可.【詳解】設(shè)，，因為，所以，即在R上為增函數(shù)..因為在R上為增函數(shù)，所以，解得.故答案為：三、解答題17．如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.(1)設(shè)試用表示向量；(2)求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）將，代入中化簡即可得出答案.（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運算律計算即可.【詳解】（1）∵M(jìn)是PC的中點，∴.∵，∴，結(jié)合，，，得.（2）∵，∴，∵，∴，，∴.∴，即BM的長等于.18．已知曲線．(1)若，過點作的切線，求切線的方程；(2)當(dāng)有3個零點時，求a的取值范圍．【答案】(1)和(2)【分析】（1）設(shè)出切點，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，進(jìn)而表達(dá)出切線方程，代入，求出切點橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程；（2）利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，得到不等式組，求出a的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，所以，設(shè)所求切線的切點坐標(biāo)為，切線斜率為，則所求切線方程為．因為切線過點，所以，即，解得：或．所以或．即所求的切線有兩條，方程分別是和．即和．（2），令，解得，．令，得或，在上為增函數(shù)，令，得，在上為減函數(shù)，所以的極大值為，極小值為．因為有3個零點，所以，解得：．所以a的取值范圍是19．如圖，在等腰梯形ADEF中，，，，．在矩形ABCD中，．平面平面ABCD．(1)證明：；(2)求直線AF與平面CEF所成角的大小．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）過點F作AD的垂線，則平面ABCD，結(jié)合條件可得，即得；（2）利用坐標(biāo)法，由題可得平面CEF的一個法向量，利用線面角的向量求法即得.【詳解】（1）如圖，過點F作AD的垂線，垂足為M，連接MB，MC．∵四邊形ADEF為等腰梯形，，，，∴，．∵平面平面ABCD，平面平面，平面ADEF，，∴平面ABCD，而MB,MC在平面ABCD中∴，．∵四邊形ABCD為矩形，，，∴，，，．∵，∴．（2）以A為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸，y軸的正方向，以過點A垂直于平面ABCD且向上的方向為z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．∴，，．設(shè)平面CEF的一個法向量為．由，得．令，得．設(shè)直線AF與平面CEF所成的角為．則．又，∴．∴直線AF與平面CEF所成角的大小為．20．某理科考生參加自主招生面試，從道題中（道甲組題和道乙組題）不放回地依次任取道作答.（1）求該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答道甲組題和道乙組題，該考生答對甲組題的概率均為，答對乙組題的概率均為，若每題答對得分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到道題（道甲組題和道乙組題），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）利用條件概率公式，即可求得該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率；（2）先明確的可能取值，求出相應(yīng)的概率值，得到的分布列，進(jìn)而得到數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記“該考生在第一次抽到甲組題”為事件，“該考生第二次和第三次均抽到乙組題”為事件，則,.所以該考生在第一次抽到甲組題的條件下，第二次和第三次均抽到乙組題的概率為.（2）的可能取值為：，則，，，的分布列為X0102030P則的數(shù)學(xué)期望為.21．已知函數(shù).（1）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：當(dāng)時，.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，即恒成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得最小值即可；（2）利用放縮法進(jìn)行放縮，然后證明，即可證明構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，根據(jù)最小值大于證得結(jié)果.【詳解】（1）由，即在恒成立，設(shè)，，恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，即；（2）要證明當(dāng)時，，即證時，，當(dāng)時，恒成立，，故有，若證得，即可證得，下面證明，不等式兩側(cè)同時除以可將不等式轉(zhuǎn)化為，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，，故當(dāng)時，.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；(2)已知點P的直角坐標(biāo)為，直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）由曲線的參數(shù)方程消去即可得曲線的普通方程；由直線的極坐標(biāo)方程為及，即可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)題意得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（為參數(shù)），把它代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)的幾何意義解題即可.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程得．∴曲線C的普通方程為．直線l的極坐標(biāo)方程化簡為．由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系，，得直線l的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）．將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，整理