2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修三蘇教版講義：第2章 統(tǒng)計(jì)2.2.1-2.2.2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§2.2總體分布的估計(jì)2．2。1頻率分布表2．2。2頻率分布直方圖與折線圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.體會(huì)分布的意義和作用.2.學(xué)會(huì)用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù).3。能通過(guò)頻率分布表或頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計(jì)．知識(shí)點(diǎn)一頻率分布表思考要做頻率分布表，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)做哪些工作？答案分組，頻數(shù)累計(jì)，計(jì)算頻數(shù)和頻率．梳理一般地，制作頻率分布表的步驟如下:（1）求全距,決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(全距，組數(shù))；(2)分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間;（3)登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．知識(shí)點(diǎn)二頻率分布直方圖與頻率分布折線圖（1)在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\f（頻率,組距）,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用小長(zhǎng)方形的面積來(lái)表示，各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1。（2）將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái),那么就得到頻率分布折線圖．(3)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，組距足夠小時(shí)，頻率分布折線圖就趨近于總體分布的密度曲線．1．頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值．（√）2．頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積表示該組的個(gè)體數(shù)．（×)3．頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形面積之和為1。（√)類型一頻率分布概念的理解例1一個(gè)容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下：組別［0，10)［10，20)[20，30）［30,40)[40,50)[50,60)[60,70］頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在[10，40）上的頻率為_(kāi)_______．答案0.52解析由題意可知頻數(shù)在［10,40)的有13＋24＋15＝52（個(gè)），所以頻率為eq\f(52，100）＝0。52。反思與感悟頻率分布的關(guān)鍵就是對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，按照分組登記頻數(shù)，計(jì)算頻率,列出頻率分布表．跟蹤訓(xùn)練1容量為100的某個(gè)樣本，數(shù)據(jù)拆分為10組，并填寫頻率分布表,若前七組頻率之和為0.79，而剩下的三組的頻率依次相差0。05，則剩下的三組中頻率最大的一組頻率為_(kāi)_______．答案0.12解析設(shè)剩下的三組中頻率最大的一組的頻率為x,則另兩組的頻率分別為x－0。05,x－0。1，而由頻率和為1得0.79＋（x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得x＝0.12。類型二頻率分布直方圖的繪制例2從某校高三學(xué)生中抽取50名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)分組（單位：分）及各組的頻數(shù)如下：［40,50）,2；［50，60)，3；[60,70)，10;[70，80），15;[80，90)，12；[90，100］，8。(1）列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3）估計(jì)成績(jī)?cè)冢?0，90)分的學(xué)生比例．解(1)頻率分布表如下：成績(jī)分組頻數(shù)頻率［40，50)20.04［50,60)30.06［60，70)100。20[70,80)150。30[80，90）120.24[90,100]80。16合計(jì)501.00（2）頻率分布直方圖如圖所示:(3)成績(jī)?cè)冢?0，90）分的學(xué)生比例,即學(xué)生成績(jī)?cè)冢?0,90）分的頻率為0。20＋0.30＋0.24＝0.74＝74％.所以估計(jì)成績(jī)?cè)赱60，90）分的學(xué)生比例為74％.反思與感悟頻率分布表和頻率分布直方圖之間的密切關(guān)系是顯然的,它們只不過(guò)是相同的數(shù)據(jù)的兩種不同的表達(dá)方式，是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，并由此估計(jì)總體的分布情況．跟蹤訓(xùn)練2一個(gè)農(nóng)技站為了考察某種大麥穗生長(zhǎng)的分布情況，在一塊試驗(yàn)田里抽取了100株麥穗，量得長(zhǎng)度如下(單位：cm)：6．56.46.75。85。95.95.24。05。44.65．85.56.06。55.16。55.35.95.55.86．25。45.05.06。86。05.05.76.05.56．86。06.35.55.06.35.26.07.06。46．45.85。95。76.86。66。06。45。77.46．05。46.56。06。85.86。36。06。35。65．36。45.76.76。25。66.06.76。76.05．66。26。15。36.26。86.64。75.75.75．85.37。06。06。05。95。46。05。26.06．35.76.86。14.55。66.36.05。86。3根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表,繪制出頻率分布直方圖，并估計(jì)在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5.75～6。35cm之間的麥穗所占的百分比．解(1)求全距:7.4－4.0＝3。4.(2)決定組距與組數(shù)：若取組距為0。3，因?yàn)閑q\f（3。4,0.3)≈11.3,需分為12組，組數(shù)合適,所以取組距為0.3,組數(shù)為12。(3）決定分點(diǎn)：使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并且把第1小組的起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)，那么所分的12個(gè)小組可以是3。95～4。25,4。25~4。55，4。55～4。85，…,7。25～7.55。(4)列頻率分布表:分組頻數(shù)頻率［3.95，4.25)10。01［4.25，4。55）10.01[4。55,4。85)20.02[4.85,5.15)50.05［5.15,5。45)110.11［5。45,5。75）150.15[5。75,6.05)280.28［6.05，6.35)130。13［6.35，6.65）110.11[6.65，6。95)100。10［6。95，7.25）20。02[7.25,7.55］10.01合計(jì)1001。00(5）繪制頻率分布直方圖如圖．從表中看到，樣本數(shù)據(jù)落在5。75～6.35之間的頻率是0.28＋0.13＝0。41,于是可以估計(jì)，在這塊試驗(yàn)田里長(zhǎng)度在5。75～6.35cm之間的麥穗約占41％。類型三頻率分布表及頻率分布直方圖的應(yīng)用例3為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖），圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.(1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2)若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?解（1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小,因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0。08；又因?yàn)轭l率＝eq\f（頻數(shù)，樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組頻數(shù),第二小組頻率）＝eq\f（12,0。08）＝150.（2）由圖可估計(jì)該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f（17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3）×100%＝88％。反思與感悟在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量,頻率之和等于1.跟蹤訓(xùn)練3在生產(chǎn)過(guò)程中，測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細(xì)的一種量）共有100個(gè)數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率[1.30，1.34)4［1。34，1。38)25［1。38，1。42)30［1。42，1.46)29［1。46，1。50）10［1.50,1。54]2合計(jì)100（1)完成頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；(2）估計(jì)纖度落在[1。38，1.50)內(nèi)的可能性及纖度小于1。42的可能性各是多少？解（1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率［1。30,1。34)40。04［1.34,1。38)250。25[1。38，1.42）300.30[1。42,1.46)290。29[1。46，1.50）100.10［1。50,1.54]20.02合計(jì)1001.00頻率分布直方圖如圖所示：(2）纖度落在［1.38,1.50)的可能性即為纖度落在［1.38，1.50）的頻率,即為0.3＋0.29＋0。10＝0。69＝69%.纖度小于1。42的可能性即為纖度小于1.42的頻率，即為0.04＋0。25＋0。30＝0。59＝59%.1．已知樣本7,10,14,8，7，12,11，10,8,10,13，10，8，11,8,9,12,9,13,20,那么這組數(shù)據(jù)落在［8。5,11。5)內(nèi)的頻率為_(kāi)_______．答案0.4解析樣本的總數(shù)為20,數(shù)據(jù)落在［8。5，11。5）內(nèi)的個(gè)數(shù)為8，故所求頻率為eq\f(8,20）＝0.4.2．一個(gè)樣本的容量為72,分成5組，已知第一、五組的頻數(shù)都為8，第二、四組的頻率都為eq\f(2,9)，則第三組的頻數(shù)為_(kāi)__________________________________．答案24解析因?yàn)轭l率＝eq\f（頻數(shù)，樣本容量）,所以第二、四組的頻數(shù)都為72×eq\f（2,9)＝16.所以第三組的頻數(shù)為72－2×8－2×16＝24。3．統(tǒng)計(jì)某校1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)水平測(cè)試成績(jī)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示．若滿分為100分，規(guī)定不低于60分為及格,則及格率是________．答案80％解析樣本中及格的頻率為(0。025＋0.035＋0.010＋0。010)×10＝0。8＝80％，由樣本估計(jì)總體，得及格率是80%。4．下列命題正確的是________．（填序號(hào))①頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積等于相應(yīng)組的頻數(shù);②頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和等于1；③頻率分布直方圖中各小矩形的高（平行于縱軸的邊)表示頻率與組距的比．答案②③解析在頻率分布直方圖中,橫軸表示樣本數(shù)據(jù)；縱軸表示eq\f(頻率,組距）.由于小矩形的面積＝組距×eq\f（頻率，組距）＝頻率，所以各小矩形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,因此各小矩形面積之和等于1。綜上可知②③正確．5．為了了解我校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是________．答案48解析因?yàn)榈?小組的頻數(shù)為12,且前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3,所以前3個(gè)小組的頻數(shù)分別為6，12,18，共6＋12＋18＝36,第4,5兩小組的頻率和為5×0.0375＋5×0.0125＝5×0。05＝0.25,所以前3個(gè)小組的頻率和為1－0。25＝0.75，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是eq\f（36，0。75)＝48.1．頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小,總體分布是指總體取值的頻率分布規(guī)律，我們通常用樣本的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計(jì)總體的分布．2．頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式,用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式,可展示數(shù)據(jù)的分布情況．通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．3．樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,它可以讓我們更清楚地看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況,并由此估計(jì)總體的分布情況．一、填空題1．下列關(guān)于頻率分布直方圖的說(shuō)法正確的是__________．(填序號(hào))①頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高就是該組的頻率；②頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的寬一樣大；③頻率分布直方圖能直觀地表明樣本數(shù)據(jù)的分布情況．答案②③2．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為_(kāi)_______．答案200,20解析該地區(qū)中小學(xué)生總?cè)藬?shù)為3500＋2000＋4500＝10000，則樣本容量為10000×2%＝200，其中抽取的高中生近視人數(shù)為2000×2%×50％＝20.3．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組［10，20)[20,30）［30，40)[40,50）[50，60)［60，70］頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10，40)的頻率為_(kāi)_______．答案0.45解析由表知［10，40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間［10，40)的頻率為eq\f(9，20)＝0。45.4．某校為了了解高三學(xué)生的身體情況，抽取了100名女生的體重．將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了如圖的頻率分布直方圖,則所抽取的女生中體重在40~45kg的人數(shù)是______．答案10解析由圖可知頻率＝eq\f(頻率,組距）×組距，知頻率＝0.02×5＝0。1，所以0。1×100＝10。5．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是［17。5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17。5，20），[20，22。5)，[22.5,25)，[25,27.5），［27。5,30]．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是________．答案140解析設(shè)所求人數(shù)為N,則N＝2。5×(0.16＋0.08＋0.04）×200＝140。6．某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某段時(shí)間內(nèi)有2000輛車通過(guò)該站,現(xiàn)隨機(jī)抽取其中的200輛進(jìn)行車速分析，分析結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖．則圖中a＝______,估計(jì)在這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)該站的汽車中速度不小于90km/h的約有________輛．答案0。02600解析因?yàn)榻M距為10，所以直方圖中5組的頻率分別為0.1、10a、0.4、0.25和0。05,由和為1可得a＝0.02.不小于90km/h的汽車所占的頻率為0.25＋0。05＝0。3，故約有汽車2000×0。3＝600（輛)．7．將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖．若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27,則n的值為_(kāi)_____．答案60解析∵n·eq\f（2＋3＋4，2＋3＋4＋6＋4＋1）＝27,∴n＝60.8．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成6組：[40,50），［50，60),［60，70),[70，80)，[80，90)，[90，100］加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高一年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于60分的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)_______．答案480解析少于60分的學(xué)生人數(shù)為600×(0。05＋0。15)＝120,所以不少于60分的學(xué)生人數(shù)為480.9．100輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速在[60,70)的汽車大約有________輛．答案40解析時(shí)速在[60,70)的汽車的頻率為0．04×（70－60）＝0.4，又因?yàn)槠嚨目傒v數(shù)為100，所以時(shí)速在[60,70)的汽車大約有0.4×100＝40（輛)．10．如圖是根據(jù)部分城市某年6月份的平均氣溫(單位:℃）數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的范圍是［20.5，26。5］，樣本數(shù)據(jù)的分組為［20。5，21.5),[21。5，22.5)，［22.5,23。5)，[23.5，24。5），[24。5,25.5)，［25.5，26。5］．已知樣本中平均氣溫低于22。5℃的城市個(gè)數(shù)為11，則樣本中平均氣溫不低于25。5℃的城市個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案9解析最左邊兩個(gè)矩形面積之和為0。10×1＋0.12×1＝0.22，總城市數(shù)為11÷0。22＝50，最右面矩形面積為0。18×1＝0.18，所以樣本中平均氣溫不低于25。5℃的城市個(gè)數(shù)為50×0。18＝9.11.某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)．下圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重(單位:克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是［96,106］,樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98）,［98,100)，［100,102)，[102，104），［104，106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案90解析∵樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0。050＋0。100)×2＝0.3，頻數(shù)為36,∴樣本總數(shù)為eq\f（36，0。3）＝120?！邩颖局袃糁卮笥诨虻扔?8克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為（0.100＋0。150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為120×0。75＝90。二、解答題12．某制造商在今年3月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽樣100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位:mm)，將數(shù)據(jù)分組如下表：分組頻數(shù)頻率［39.95,39。97）10[39.97，39.99）20[39。99,40。01）50[40。01，40。03］20合計(jì)100補(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù)），并在上圖中畫出頻率分布直方圖．解頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率［39。95，39。97)100。10［39.97,39。99)200。20［39。99,40。01)500。50［40.01，40。03]200。20合計(jì)1001.00頻率分布直方圖如圖：13．某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50，60),[60,70）,[70，80），[80,90），[90,100］．(1)求圖中a的值；(2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分；（3）若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（x）與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y)之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0，90)之外的人數(shù)。分?jǐn)?shù)段[50,60)[60，70)［70，80）［80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1）由頻率分布直方圖知(2a＋0。02＋0.03＋0。04)×10＝1，解得a＝0。005.(2)由頻率分布直方圖知這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為55×0。005×10＋65×0。04×10＋75×0。03×10＋85×0。02×10＋95×0.005×10＝73（分)．(3）由頻率分布直方圖知語(yǔ)文成績(jī)?cè)冢?0，60)，［60，70），[70，80）,[80,90)各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)依次為0。005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20。由題中給