2018-2019數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修四北師大版講義：第一章 三角函數(shù)1~2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1周期現(xiàn)象§2角的概念的推廣學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解現(xiàn)實(shí)生活中的周期現(xiàn)象.2。了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示。知識點(diǎn)一周期現(xiàn)象思考“鐘表上的時(shí)針每經(jīng)過12小時(shí)運(yùn)行一周，分針每經(jīng)過1小時(shí)運(yùn)行一周，秒針每經(jīng)過1分鐘運(yùn)行一周.”這樣的現(xiàn)象，具有怎樣的屬性?答案周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn).梳理(1）以相同間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象叫作周期現(xiàn)象。（2)要判斷一種現(xiàn)象是否為周期現(xiàn)象，關(guān)鍵是看每隔一段時(shí)間這種現(xiàn)象是否會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，若出現(xiàn),則為周期現(xiàn)象;否則，不是周期現(xiàn)象。知識點(diǎn)二角的相關(guān)概念思考1將射線OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置,有幾種旋轉(zhuǎn)方向?答案有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向。思考2如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？答案不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零角。若角的終邊作了旋轉(zhuǎn),則這個(gè)角就不是零角.梳理(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角知識點(diǎn)三象限角思考把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊（除端點(diǎn)外）可能落在什么位置？答案終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi)。梳理在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角；軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角。知識點(diǎn)四終邊相同的角思考1假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°,420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系,它們與60°分別相差多少？答案它們的終邊相同。－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相隔了2個(gè)周角和1個(gè)周角.思考2如何表示與60°終邊相同的角？答案60°＋k·360°(k∈Z).梳理終邊相同角的表示一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝｛β|β＝α＋k×360°，k∈Z｝，即任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與周角的整數(shù)倍的和。1。終邊與始邊重合的角是零角.（×)提示終邊與始邊重合的角是k·360°（k∈Z）.2.小于90°的角是銳角.(×）提示銳角是指大于0°且小于90°的角.3。鈍角是第二象限角。(√)4.第二象限角是鈍角。(×）提示第二象限角不一定是鈍角.類型一周期現(xiàn)象的應(yīng)用例1水車上裝有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升,假設(shè)水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，計(jì)算1小時(shí)內(nèi)最多盛水多少升？考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用解因?yàn)?小時(shí)＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉(zhuǎn)一圈，所以1小時(shí)內(nèi)水車轉(zhuǎn)12圈。又因?yàn)樗嚿涎b有16個(gè)盛水槽，每個(gè)盛水槽最多盛水10升，所以每轉(zhuǎn)一圈，最多盛水16×10＝160（升），所以水車1小時(shí)內(nèi)最多盛水160×12＝1920（升)。反思與感悟（1）應(yīng)用周期現(xiàn)象中“周而復(fù)始”的規(guī)律性可以達(dá)到“化繁為簡”、“化無限為有限”的目的。（2)只要確定好周期現(xiàn)象中重復(fù)出現(xiàn)的“基本單位”就可以把問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)周期內(nèi)來解決.跟蹤訓(xùn)練1利用例1中的水車盛800升的水，至少需要多少時(shí)間？考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用解設(shè)x分鐘后盛水y升，由例1知每轉(zhuǎn)一圈,水車最多盛水16×10＝160(升），所以y＝eq\f（x,5)·160＝32x,為使水車盛800升的水，則有32x≥800，所以x≥25,即水車盛800升的水至少需要25分鐘。類型二象限角的判定例2在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.（1）－150°；(2）650°；（3)－950°15′?？键c(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角解（1）因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi),與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角.（2）因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以在0°~360°范圍內(nèi),與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角.（3)因?yàn)椋?50°15′＝－3×360°＋129°45′,所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角.反思與感悟判斷象限角的步驟（1)當(dāng)0°≤α〈360°時(shí)，直接寫出結(jié)果.（2）跟蹤訓(xùn)練2(1）判斷下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范圍內(nèi)終邊相同的角.①549°；②－60°；③－503°36′。(2)若α是第二象限角,試確定2α，eq\f(α,2）是第幾象限角.考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角解(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角為第三象限的角，與189°角終邊相同。②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角為第四象限的角,與300°角終邊相同。③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角為第三象限的角，與216°24′角終邊相同.（2）由題意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（k∈Z）,①所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°（k∈Z)。故2α是第三或第四象限角或終邊落在y軸負(fù)半軸上的角。由①得45°＋k·180°〈eq\f（α,2)〈90°＋k·180°(k∈Z)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k＝2n（n∈Z）,得45°＋n·360°〈eq\f（α,2）〈90°＋n·360°(n∈Z)，故eq\f（α，2）是第一象限角.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<eq\f(α，2)<90°＋180°＋n·360°（n∈Z),即225°＋n·360°〈eq\f（α，2）〈270°＋n·360°(n∈Z），故eq\f(α，2)為第三象限角.綜上可知，eq\f（α，2）為第一或第三象限角.類型三終邊相同的角eq\x（命題角度1求與已知角終邊相同的角）例3在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.（1)最大的負(fù)角;（2）最小的正角；(3)［360°，720°）的角.考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°（k∈Z)。（1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.（2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27,故所求的最小正角為β＝310°。(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26,故所求的角為β＝670°。反思與感悟求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.跟蹤訓(xùn)練3寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來?？键c(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為｛β｜β＝k·360°－1910°，k∈Z｝.∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z），∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f（11，36)(k∈Z)，故取k＝4，5，6.當(dāng)k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°;當(dāng)k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°；當(dāng)k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°.eq\x(命題角度2求終邊在給定直線上的角的集合）例4寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合?？键c(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解終邊在y＝－eq\r（3）x(x<0）上的角的集合是S1＝{α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z｝；終邊在y＝－eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S2＝｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z｝。因此,終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝｛α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪｛α|α＝300°＋k·360°，k∈Z},即S＝｛α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛α｜α＝120°＋(2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛α｜α＝120°＋n·180°，n∈Z｝。故終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝｛α|α＝120°＋n·180°，n∈Z｝。反思與感悟求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x〈0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并.跟蹤訓(xùn)練4寫出終邊在直線y＝eq\f(\r（3),3）x上的角的集合.考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解終邊在y＝eq\f（\r(3)，3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝｛α|α＝30°＋k·360°,k∈Z};終邊在y＝eq\f（\r(3),3)x（x〈0）上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.因此,終邊在直線y＝eq\f(\r(3)，3）x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α｜α＝30°＋k·360°，k∈Z｝∪｛α|α＝210°＋k·360°，k∈Z｝，即S＝｛α|α＝30°＋2k·180°,k∈Z｝∪｛α｜α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}。故終邊在直線y＝eq\f（\r（3),3）x上的角的集合是S＝｛α|α＝30°＋n·180°，n∈Z｝.1。下列是周期現(xiàn)象的為()①閏年每四年一次；②某交通路口的紅綠燈每30秒轉(zhuǎn)換一次；③某超市每天的營業(yè)額;④某地每年6月份的平均降雨量。A。①②④ B.③④C。①② D。①②③考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的判定答案C解析①②是周期現(xiàn)象;③中每天的營業(yè)額是隨機(jī)的，不是周期現(xiàn)象;④中每年6月份的平均降雨量也是隨機(jī)的，不是周期現(xiàn)象.2。與－457°角終邊相同的角的集合是（)A.｛α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°,k∈Z}C。｛α｜α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.｛α｜α＝k·360°－263°，k∈Z｝考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案C解析－457°＝－2×360°＋263°，故選C.3.2018°是（)A。第一象限角B.第二象限角C。第三象限角D。第四象限角考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案C解析2018°＝5×360°＋218°，故2018°是第三象限角。4.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，在平衡位置O點(diǎn)附近振動(dòng)，如果不考慮阻力，可將此振動(dòng)看作周期運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)第一次到達(dá)M點(diǎn)用了0.3s，又經(jīng)過0.2s第二次通過M點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)第三次通過M點(diǎn)，還要經(jīng)過的時(shí)間是s.考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用答案1。4解析如圖，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，O→M用了0。3s，M→A→M用了0。2s，由于M→O與O→M用時(shí)相同,因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)半周期eq\f（T,2）＝0.2＋0.3×2＝0。8（s),從而當(dāng)質(zhì)點(diǎn)第三次經(jīng)過M時(shí)還要經(jīng)過的時(shí)間應(yīng)為M→O→B→O→M所用時(shí)間，為0.3×2＋0.8＝1。4（s）.5.已知，如圖所示。(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；(2）寫出終邊落在陰影部分(包括邊界）的角的集合?？键c(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)區(qū)域角的表示解(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α｜α＝k·360°＋210°,k∈Z}。終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}。(2)終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z｝.1。判斷是否為周期現(xiàn)象,關(guān)鍵是看在相同的間隔內(nèi)，圖像是否重復(fù)出現(xiàn)。2。由于角的概念推廣了,那么終邊相同的角有無數(shù)個(gè),這無數(shù)個(gè)終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合。與α角終邊相同的角可表示為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z｝,要領(lǐng)會(huì)好k∈Z的含義.3.熟記終邊在坐標(biāo)軸上的各角的度數(shù)，才能正確快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的終邊隨整數(shù)k的改變而改變時(shí)，要對k分類討論.一、選擇題1。(2017·甘肅蘭州一中期末）下列命題正確的是（）A.終邊在x軸非正半軸上的角是零角B。第二象限角一定是鈍角C.第四象限角一定是負(fù)角D.若β＝α＋k·360°（k∈Z)，則α與β終邊相同考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案D解析終邊在x軸非正半軸上的角為k·360°＋180°，k∈Z，零角為0°，所以A錯(cuò)誤；480°角為第二象限角，但不是鈍角，所以B錯(cuò)誤；285°角為第四象限角，但不是負(fù)角，所以C錯(cuò)誤，故選D。2.設(shè)A＝｛θ｜θ為銳角｝，B＝｛θ｜θ為小于90°的角｝，C＝｛θ|θ為第一象限的角}，D＝｛θ|θ為小于90°的正角},則下列等式中成立的是(）A.A＝BB.B＝CC.A＝CD.A＝D考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)對任意角概念的理解答案D3.探索如圖所呈現(xiàn)的規(guī)律，判斷2017至2018箭頭的方向是（）考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用答案B4。若α是第四象限角，則180°－α是（)A。第一象限角 B。第二象限角C。第三象限角 D.第四象限角考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案C解析可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.5。四個(gè)小動(dòng)物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在①，②，③，④號位置上（如圖），第1次前后排動(dòng)物互換位置,第2次左右列互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第2017次互換座位后,小兔的位置對應(yīng)的是()①猴②兔③貓④鼠開始①貓②鼠③猴④兔第1次①鼠②貓③兔④猴第2次①兔②猴③鼠④貓第3次A.編號① B。編號②C。編號③ D。編號④考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用答案D6.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,則α與β的關(guān)系為（)A。α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC.α－β＝k·360°＋180°,k∈ZD。α－β＝k·360°，k∈Z考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案B解析特殊值法：令α＝30°,β＝150°，則α＋β＝180°。直接法：∵角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z。二、填空題7.如圖所示，變量y與時(shí)間t(s）的圖像如圖所示，則時(shí)間t至少隔s時(shí)y＝1會(huì)重復(fù)出現(xiàn)1次.考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用答案28.已知角α＝－3000°，則與α終邊相同的最小正角是.考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案240°解析與α＝－3000°終邊相同的角的集合為｛θ|θ＝－3000°＋k·360°,k∈Z},令－3000°＋k·360°〉0°,解得k〉eq\f(25，3），故當(dāng)k＝9時(shí)，θ＝240°滿足條件.9.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是；終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是；終邊落在陰影部分（含邊界)的角的集合是?？键c(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z｝{315°，－45°｝｛α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°,k∈Z}解析終邊落在OA的位置上的角的集合是｛α|α＝120°＋k·360°,k∈Z}。終邊落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z｝，取k＝0，－1得α＝315°，－45°.故終邊落在OB的位置上，且在－360°～360°內(nèi)的角的集合是｛315°,－45°}.終邊落在陰影部分的角的集合是｛α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°,k∈Z}。10。若α＝k·360°＋45°，k∈Z，則eq\f（α，2)是第象限角。考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案一或三解析∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，∴eq\f（α，2）＝k·180°＋22.5°,k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)，即k＝2n，n∈Z時(shí)，eq\f(α，2）＝n·360°＋22。5°,n∈Z,∴eq\f（α，2)為第一象限角;當(dāng)k為奇數(shù)，即k＝2n＋1,n∈Z時(shí)，eq\f(α,2)＝n·360°＋202.5°,n∈Z，∴eq\f（α,2)為第三象限角。綜上，eq\f（α，2）是第一或第三象限角.三、解答題11.已知角β的終邊在直線eq\r(3)x－y＝0上。(1）寫出角β的集合S；(2)寫出集合S中適合不等式－360°〈β〈720°的元素?？键c(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解（1）如圖,直線eq\r(3)x－y＝0過原點(diǎn)，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60°,終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為S1＝｛β|β＝60°＋k·360°,k∈Z｝，S2＝{β｜β＝240°＋k·360°，k∈Z},所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β｜β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪｛β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z｝∪{β｜β＝60°＋(2k＋1）·180°,k∈Z}＝｛β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}。（2)由于－360°〈β<720°,即－360°〈60°＋n·180°〈720°，n∈Z。解得－eq\f(7,3)〈n<eq\f(11,3),n∈Z,所以n＝－2,－1,0，1，2，3.所以集合S中適合不等式－360°〈β<720°的元素為60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°;60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°。12.游樂場中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40。5米，半徑40米，如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時(shí)間的變化而變化，以你登上摩天輪的時(shí)刻開始計(jì)時(shí),請解答下列問題:（1)你與地面的距離隨時(shí)間的變化而變化，這個(gè)現(xiàn)象是周期現(xiàn)象嗎？(2)轉(zhuǎn)四圈需要多少時(shí)間？（3）你第四次距地面最高需要多少時(shí)間?（4）轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)，你距離地面是多少？考點(diǎn)周期現(xiàn)象題點(diǎn)周期現(xiàn)象的應(yīng)用解(1)是周期現(xiàn)象，周期12分鐘。(2)轉(zhuǎn)四圈需要時(shí)間為4×12＝48(分鐘)。（3）第一次距離地面最高需eq\f(12,2)＝6(分鐘），而周期是12分鐘,所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分鐘)。（4)因?yàn)?0÷12＝5，所以轉(zhuǎn)60分鐘時(shí)你距離地面與開始時(shí)刻距離地面相同，即40.5－40＝0。5(米）。13.已知－180°<α<180°，且角α的終邊與其7倍角的終邊重合,求角α?？键c(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解∵角α的終邊與它的7倍角的終邊重合.∴7α＝k·360°＋α（k∈Z),∴α＝k·60°(k∈Z）。又∵－180°〈α<180°，∴－3〈k〈3(k∈Z)，∴當(dāng)k分別?。?，－1，0，1,2時(shí)，對應(yīng)的α為－120°,－60°，0°,60°，120°.四、探究與拓展14.設(shè)集合A＝｛α|α＝45