2018-2019數(shù)學新學案同步必修四北師大版講義：第一章 三角函數(shù)7

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§7正切函數(shù)學習目標1。理解任意角的正切函數(shù)的定義.2。能畫出y＝tanxeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f（π,2)＋kπ，k∈Z）)的圖像.3。理解正切函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性，及其在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2），\f(π，2）))內(nèi)的單調(diào)性。4.正切函數(shù)誘導公式的推導及應用。知識點一正切函數(shù)的定義思考1設角α的終邊與單位圓交于點P(a，b）,那么eq\f(b,a)何時有意義？答案當a≠0時，eq\f(b,a）有意義.思考2正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)有怎樣的關系？答案tanα＝eq\f（sinα,cosα)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α∈R，α≠\f(π，2)＋kπ，k∈Z)）.梳理(1)任意角的正切函數(shù)如果角α滿足：α∈R,α≠eq\f(π，2)＋kπ(k∈Z)，那么，角α的終邊與單位圓交于點P(a，b)，唯一確定比值eq\f（b,a)，我們把它叫作角α的正切函數(shù),記作y＝tanα，其中α∈R，α≠eq\f（π，2)＋kπ，k∈Z.（2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關系根據(jù)定義知tanα＝eq\f（sinα,cosα)（α∈R，α≠eq\f（π,2)＋kπ，k∈Z）。(3）正切值在各象限的符號根據(jù)定義知，當角在第一和第三象限時,其正切函數(shù)值為正；當角在第二和第四象限時，其值為負.知識點二正切線思考正切線是過單位圓上哪一點作出的?答案過單位圓與x軸的非負半軸的交點A（1，0)。梳理如圖所示，線段AT為角α的正切線.知識點三正切函數(shù)的圖像與性質思考1正切函數(shù)的定義域是什么?答案eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R,x≠\f（π，2)＋kπ，k∈Z)））).思考2能否說正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù)？答案不能.正切函數(shù)y＝tanx在每段區(qū)間eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π,2),kπ＋\f（π,2）））(k∈Z）上是增函數(shù),但不能說正切函數(shù)在其整個定義域內(nèi)是增函數(shù).梳理解析式y(tǒng)＝tanx圖像定義域eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠kπ＋\f(π,2）,k∈Z)))）值域R周期最小正周期是π奇偶性奇函數(shù)對稱中心eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（kπ,2),0)），k∈Z單調(diào)性在開區(qū)間eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，2)＋kπ，\f(π，2)＋kπ)）(k∈Z）上是增加的知識點四正切函數(shù)的誘導公式思考前面我們學習過π±α,－α,eq\f(π，2)±α，2π±α等的正弦、余弦的誘導公式,并總結出“奇變偶不變，符號看象限"的記憶口訣.對正切函數(shù)能適用嗎？答案因為tanα＝eq\f（sinα，cosα）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α∈R,α≠kπ＋\f（π，2）,k∈Z)），所以口訣對正切函數(shù)依然適用.梳理函數(shù)角y＝tanx記憶口訣kπ＋αtanα函數(shù)名不變，符號看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanαeq\f（π，2)＋α－cotα函數(shù)名改變，符號看象限eq\f(π，2）－αcotα類型一正切函數(shù)的概念例1若角θ的終邊經(jīng)過點Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（4,5）,m））,且tanθ＝eq\f（3,4),則m＝.考點正切函數(shù)的定義題點已知正切值求參數(shù)答案－eq\f(3，5)解析由正切函數(shù)的定義得,eq\f(m，－\f（4,5))＝eq\f（3，4)，解得m＝－eq\f(3,5).反思與感悟（1)解決本題的關鍵是熟記正切函數(shù)的定義,即tanα＝eq\f（b,a).(2)已知角終邊上的一點M（a，b）(a≠0)，求該角的正切函數(shù)值，或者已知角α的正切值,求角α終邊上一點的坐標，都應緊扣正切函數(shù)的定義求解，在解題過程中，應注意分子、分母的位置.跟蹤訓練1已知點P(－2a，3a)（a≠0）是角θ終邊上的一點,求tanθ的值?？键c正切函數(shù)的定義題點由定義求正切值解由于a≠0，∴tanθ＝eq\f（3a，－2a）＝－eq\f（3,2)。類型二正切函數(shù)的圖像及性質例2畫出函數(shù)y＝|tanx|的圖像，并根據(jù)圖像判斷其單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性?？键c正切函數(shù)的圖像及性質題點正切函數(shù)的圖像及性質綜合解由y＝｜tanx｜,得y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（tanx，kπ≤x<kπ＋\f（π,2)k∈Z，,－tanx,－\f(π,2）＋kπ〈x<kπk∈Z,)）其圖像如圖所示。由圖像可知，函數(shù)y＝｜tanx|是偶函數(shù)，遞增區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π，2)））（k∈Z），遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,2)＋kπ,kπ））(k∈Z），周期為π.反思與感悟(1)作出函數(shù)y＝｜f（x)|的圖像一般利用圖像變換方法，具體步驟是：①保留函數(shù)y＝f（x）圖像在x軸上方的部分；②將函數(shù)y＝f（x)圖像在x軸下方的部分沿x軸向上翻折。（2）若函數(shù)為周期函數(shù)，可先研究其一個周期上的圖像，再利用周期性,延拓到定義域上即可.跟蹤訓練2將本例中的函數(shù)y＝|tanx|改為y＝tan｜x｜,回答同樣的問題,結果怎樣?考點正切函數(shù)的圖像及性質題點正切函數(shù)的圖像及性質綜合解由于y＝tan|x|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(tanxx≥0,，tan－xx<0.))其圖像如下:由圖像可知,函數(shù)y＝tan|x|是偶函數(shù)，遞增區(qū)間為eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2））)，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（kπ－\f(π,2)，kπ＋\f（π,2））)（k為正整數(shù)），遞減區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2）,kπ＋\f(π，2）)）(k為負整數(shù)）和eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，2)，0）），不是周期函數(shù)。類型三正切函數(shù)誘導公式的應用例3求下列各式的值。(1)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；（2）eq\f（tan225°＋tan750°,tan－30°－tan－45°）。考點正切函數(shù)的誘導公式題點利用誘導公式求值解（1)原式＝7cos（180°＋90°)＋3sin（180°＋90°)＋tan（2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3×1＋1＝－2.(2)原式＝eq\f（tan180°＋45°＋tan2×360°＋30°，－tan30°＋tan45°）＝eq\f(tan45°＋tan30°，tan45°－tan30°)＝eq\f（1＋\f（\r(3），3）,1－\f（\r(3）,3））＝2＋eq\r(3).反思與感悟(1）熟記誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值是解決此類問題的基礎和關鍵。（2)無條件求值,又稱給角求值,關鍵是利用誘導公式將任意的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值。跟蹤訓練3eq\f（cos190°·sin－210°,cos－350°·tan－585°)?？键c同名誘導公式的綜合應用題點同名誘導公式的綜合應用解原式＝eq\f（cos180°＋10°·［－sin180°＋30°]，cos－360°＋10°·［－tan360°＋225°］）＝eq\f（－cos10°·sin30°,cos10°·[－tan180°＋45°])＝eq\f（－sin30°,－tan45°）＝eq\f（1，2)。1。函數(shù)y＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,6)))的最小正周期是(）A.πB.2πC。eq\f(π,2）D.eq\f（π，6)考點正切函數(shù)的周期性題點求正切函數(shù)的周期答案C解析最小正周期為T＝eq\f(π，｜ω｜)＝eq\f(π，2).2。函數(shù)f(x）＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,4）))的遞增區(qū)間為(）A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（π，2），kπ＋\f（π,2)）)，k∈Z B。（kπ，(k＋1）π），k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（3π，4),kπ＋\f(π，4))）,k∈Z D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，4）,kπ＋\f(3π,4）))，k∈Z考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點求正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案C3。在下列函數(shù)中同時滿足:①在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2))）上遞增；②以2π為周期；③是奇函數(shù)的是()A。y＝tanx B。y＝cosxC.y＝taneq\f（x，2） D。y＝－tanx考點正切函數(shù)的性質題點正切函數(shù)性質的綜合答案C4。函數(shù)y＝tanx＋eq\f（1,tanx)是（）A。奇函數(shù)B。偶函數(shù)C。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)考點正切函數(shù)的周期性、對稱性題點正切函數(shù)的奇偶性答案A解析函數(shù)的定義域是eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（x≠\f(1，2)kπ，k∈Z）)）），且tan(－x)＋eq\f(1,tan－x）＝－tanx－eq\f(1,tanx）＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（tanx＋\f(1,tanx）)），所以函數(shù)y＝tanx＋eq\f（1,tanx）是奇函數(shù)。5。將tan1，tan2，tan3按大小排列為.(用“〈”連接)考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點正切函數(shù)單調(diào)性的應用答案tan2〈tan3〈tan1解析tan2＝tan(2－π），tan3＝tan(3－π），∵－eq\f(π，2)〈2－π〈3－π〈1〈eq\f(π,2）,且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2),\f（π，2)）)上是增加的，∴tan(2－π）〈tan(3－π)<tan1，即tan2<tan3<tan1。1.正切函數(shù)的圖像正切函數(shù)有無數(shù)多條漸近線,漸近線方程為x＝kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z，相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線，且是增加的.2。正切函數(shù)的性質（1)正切函數(shù)y＝tanx的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2),k∈Z））)），值域是R.(2)正切函數(shù)y＝tanx的最小正周期是π，函數(shù)y＝Atan（ωx＋φ)(A,ω≠0）的周期為T＝eq\f（π，|ω|)。(3)正切函數(shù)在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2)＋kπ，\f（π，2）＋kπ）)（k∈Z)上是增加的，不能寫成閉區(qū)間，正切函數(shù)無遞減區(qū)間。一、選擇題1.函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,5）)),x∈R且x≠eq\f（3,10)π＋kπ，k∈Z的一個對稱中心是()A.(0，0) B。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，5），0））C.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4,5）π，0）） D.(π,0)考點正切函數(shù)的對稱性題點求正切函數(shù)的對稱中心答案C2.函數(shù)f（x）＝2tan(－x)是（）A.奇函數(shù) B。偶函數(shù)C.奇函數(shù)，也是偶函數(shù) D。非奇非偶函數(shù)考點正切函數(shù)的奇偶性題點正切函數(shù)的奇偶性答案A解析因為f(－x）＝2tanx＝－2tan（－x)＝－f(x)，且f(x）的定義域關于原點對稱,所以函數(shù)f(x）＝2tan（－x）是奇函數(shù).3.滿足tanA〉－1的三角形的內(nèi)角A的取值范圍是(）A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（3,4）π））B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2）))∪eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，\f(3，4)π）)C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,4)π，π）)D.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2））)∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，4）π，π））考點正切函數(shù)的單調(diào)性題點利用正切函數(shù)的單調(diào)性解不等式答案D解析因為A為三角形的內(nèi)角，所以0<A〈π.又tanA>－1，結合正切曲線得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)））∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3π,4)，π)）.4.下列各點中,不是函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－2x))的圖像的對稱中心的是（）A.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，8)，0)）B.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,8),0））C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，4）,0)）D。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)π，0）)考點正切函數(shù)的對稱性題點求正切函數(shù)的對稱中心答案C解析令eq\f（π，4）－2x＝eq\f(kπ，2)，k∈Z,得x＝eq\f(π,8)－eq\f(kπ,4)(k∈Z)。令k＝0，得x＝eq\f（π,8);令k＝1，得x＝－eq\f（π,8）；令k＝2，得x＝－eq\f(3π，8).故選C。5。A.0B。1C.－1D.eq\f(π，4)考點正切函數(shù)的圖像及應用題點正切函數(shù)的圖像及應用答案A解析由題意,得T＝eq\f(π,ω）＝eq\f（π,4），∴ω＝4?！鄁(x)＝tan4x，f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4))）＝tanπ＝0.6.下列關于函數(shù)y＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π，3)））的說法正確的是(）A。在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,6)，\f（5π，6)）)上是增加的B.最小正周期是πC。圖像關于點eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，4)，0)）成中心對稱D.圖像關于直線x＝eq\f(π,6）成軸對稱考點正切函數(shù)的圖像及應用題點正切函數(shù)的圖像與性質的綜合問題答案B解析令kπ－eq\f(π，2)<x＋eq\f（π，3）〈kπ＋eq\f（π,2),解得kπ－eq\f(5π,6）<x〈kπ＋eq\f(π，6)，k∈Z，顯然eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6））)不滿足上述關系式，故A錯誤；易知該函數(shù)的最小正周期為π，故B正確;令x＋eq\f(π，3)＝eq\f（kπ,2），解得x＝eq\f（kπ，2）－eq\f（π,3），k∈Z，任取k值不能得到x＝eq\f(π,4)，故C錯誤；正切函數(shù)曲線沒有對稱軸，因此函數(shù)y＝taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π,3)））的圖像也沒有對稱軸，故D錯誤.故選B。7.已知f（α）＝eq\f(sinπ－αcos2π－αtan\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－α＋\f（3π,2)）)，cos－π－α)，則f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(31，3）π))的值為()A.eq\f（1,2）B.－eq\f(1，2）C。eq\f（\r(3),2)D。－eq\f(\r（3），2）考點三角函數(shù)的誘導公式題點利用誘導公式求值答案B解析由于taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f（3π,2)))＝eq\f（sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－α＋\f(3π，2)））,cos\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－α＋\f(3π,2)）））＝eq\f(－cosα，－sinα）＝eq\f(cosα,sinα）,所以f（α）＝eq\f(sinαcosα·\f(cosα,sinα）,－cosα)＝－cosα,則f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(31，3）π))＝－coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(31，3)π））＝－coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－10π－\f(π，3)））＝－coseq\f(π,3）＝－eq\f（1,2）.二、填空題8。函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3x＋\f（π,4)）)的對稱中心的坐標是.考點正切函數(shù)的對稱性題點求正切函數(shù)的對稱中心答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(kπ，6）－\f(π,12），0)）(k∈Z）解析由3x＋eq\f(π，4）＝eq\f(kπ，2）（k∈Z）,得x＝eq\f（kπ，6）－eq\f（π，12）（k∈Z），所以對稱中心的坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（kπ,6）－\f(π,12)，0)）（k∈Z）。9.函數(shù)y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,4），\f(π,4））)的值域為.考點正切函數(shù)的值域題點正切函數(shù)的值域答案[－4，4］解析∵－eq\f(π,4）≤x≤eq\f(π，4),∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，則t∈［－1,1],∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2)2＋5.∴當t＝－1，即x＝－eq\f（π，4）時，ymin＝－4,當t＝1，即x＝eq\f（π，4)時，ymax＝4。故所求函數(shù)的值域為[－4，4］.10.函數(shù)y＝3taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π，6）））的最小正周期是eq\f（π，2），則ω＝.考點正切函數(shù)的周期性題點求正切函數(shù)的周期答案±2解析T＝eq\f(π，|ω|）＝eq\f（π,2),∴ω＝±2。三、解答題11。判斷函數(shù)f（x）＝lgeq\f（tanx＋1,tanx－1）的奇偶性?？键c正切函數(shù)的奇偶性題點判斷正切函數(shù)的奇偶性解由eq\f(tanx＋1，tanx－1）>0,得tanx〉1或tanx<－1?！嗪瘮?shù)定義域為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，2)，kπ－\f(π，4）)）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π，4），kπ＋\f（π，2))）(k∈Z）,關于原點對稱。f（－x）＋f（x)＝lgeq\f（tan－x＋1,tan－x－1)＋lgeq\f(tanx＋1，tanx－1)＝lgeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(－tanx＋1,－tanx－1）·\f(tanx＋1,tanx－1))）＝lg1＝0?！鄁（－x)＝－f（x），∴f(x)是奇函數(shù)。12。求函數(shù)y＝taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x，2）－\f(π,3)))的定義域、周期、單調(diào)區(qū)間和對稱中心?？键c正切函數(shù)的圖像及應用題點正切函數(shù)的圖像與性質的綜合問題解①由eq\f(x,2）－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f（π，2）,k∈Z，得x≠2kπ＋eq\f(5π，3），k∈Z.∴函數(shù)的定義域為eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠2kπ＋\f(5π，3)，k∈Z)）)).②∵T＝eq\f(π，\f(1,2）)＝2π，∴函數(shù)的周期為2π.③由kπ－eq\f（π，2）<eq\f(x,2)－eq\f(π，3）〈kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z,解得2kπ－eq\f（π,3）〈x〈2kπ＋eq\f（5π，3），k∈Z。∴函數(shù)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2kπ－\f（π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))，k∈Z.④由eq\f（x,2）－eq\f（π,3）＝eq\f(kπ,2),k∈Z,得x＝kπ＋eq\f(2π,3），k∈Z.∴函數(shù)的對稱中心是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π，3）,0）），k∈Z.13。已知角α的終邊經(jīng)過點Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4，5），－\f(3，5)）)。（1）求sinα的值；(2）求eq\f(sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)－α)）,sinα＋π)·eq\f（tanα－π，cos3π－α）的值.考點三角函數(shù)定義與誘導公式題點三角函數(shù)定義與誘導公式解(1)∵｜OP|＝eq\r(\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4，5)）)2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5）)）2）＝1,∴sinα＝eq\f（