高中數(shù)學(xué)模擬試題

數(shù)學(xué)試題一、單選題：共8題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若復(fù)數(shù)，則A．B． C．D．【解析】因?yàn)?所以.2.已知全集，集合，，則A.B.C.D.【解析】因?yàn)?所以.3．已知向量，，若，則A.B.C.D.【解析】由條件,,所以,從而4．已知關(guān)于x的方程存在兩個(gè)實(shí)根，，則“，且”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D.既不充分又不必要條件【解析】,且的充要條件是“,且,即“5.函數(shù)的圖象大致是【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以排除,又當(dāng)時(shí),.6.四名數(shù)學(xué)老師相約到定點(diǎn)醫(yī)院接種新冠疫苗，若他們一起登記后，等待電腦系統(tǒng)隨機(jī)叫號(hào)進(jìn)入接種室，則甲不被第一個(gè)叫到，且乙、丙被相鄰叫到的概率為A.B.C.D.【解析】四名教師總的進(jìn)入注射室的順序有種，則:=1\*GB3①甲第二個(gè)被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有種;=2\*GB3②甲第三個(gè)被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有種;=3\*GB3③甲第四個(gè)被叫到，且乙、丙被相鄰叫到的方法數(shù)有種.所以“甲不被第一個(gè)叫到，且乙、丙被相鄰叫到”的概率為.7.棱長(zhǎng)均相等的三棱錐的頂點(diǎn)都在球的球面上，為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作球的截面，所得截面圓面積的最大值與最小值之比為 A. B. C. D.【解析】設(shè)該三棱雉的外接球球心為,的外接圓圓心為,設(shè)三棱雉的棱長(zhǎng)為2,則平面,,,,設(shè)三棱雉的外接球半徑為,在中,由,得,所以.過(guò)點(diǎn)的截面中,大圓面積最大;當(dāng)垂直于截面圓時(shí),截面圓面積最小,設(shè)該圓半徑為,則,故面積之比為.8.早在3000年前，中華民族的祖先就已經(jīng)開(kāi)始用數(shù)字來(lái)表達(dá)這個(gè)世界.在《乾坤譜》中，作者對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”進(jìn)行了一系列推論,用來(lái)解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，如圖.該數(shù)列從第一項(xiàng)起依次是,若記該數(shù)列為,則 B.2022 C. D.【解析】由條件,,故.二、多選題：共4題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.空氣指數(shù)是根據(jù)空氣中的各種成分占比，將監(jiān)測(cè)的空氣濃度簡(jiǎn)化成為單一的概念性指數(shù)值形式，它將空氣污染程度和空氣質(zhì)量狀況分級(jí)表示，適合于表示城市的短期空氣質(zhì)量狀況和變化趨勢(shì).如圖所示是某市2022年2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，下列說(shuō)法正確的是 月8日至2月14日空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為138 月.1日至2月14日空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為190 C.這14日內(nèi)僅有2天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良 月2日至2月5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好【解析】選項(xiàng)A:中位數(shù)為;選項(xiàng):極差為.CD10.正方體中，下列結(jié)論正確的是A.直線與直線所成角為B.直線與平面$ABCD$所成角為C.二面角的大小為D.平面平面解析】選項(xiàng)A：與所成角即為與所成角，為正三角形，所以該角為；選項(xiàng)B：與平面所成角為；選項(xiàng)C：二面角的平面角為；選項(xiàng)D：設(shè)，顯然不垂直于面.AC11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是A.的方程為B.在軸上存在異于，的兩個(gè)定點(diǎn)，，使得C.當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，D.若點(diǎn)，則在上存在點(diǎn)，使得解析】設(shè)，由條件，得，即，所以的方程為.選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由對(duì)稱性可知，存在，滿足條件；選項(xiàng)C：，，所以，故；選項(xiàng)D：由知，的軌跡是線段的垂直平分線，其方程為，圓的圓心到的距離，所以直線與圓相交，故在上存在點(diǎn)，使得.BCD12.設(shè)函數(shù)是常數(shù)，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則下列說(shuō)法正確的是A.的周期為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為C.的對(duì)稱軸為D.的圖象可由的圖像向左平移個(gè)普位得到【解析】由在區(qū)間上具有單調(diào)性知，的周期T滿足，所以，又因?yàn)?，所以在同一個(gè)周期內(nèi)且，故的一條對(duì)稱軸為，又由知的一個(gè)對(duì)稱中心為，且所求得的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心是相鄰的，所以，得，即.又因?yàn)榈囊粋€(gè)對(duì)稱中心為，所以，，由知，，故.下逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)即可ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是_____________.【答案】8414.若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則圓雉曲線的離心率為.【答案】若實(shí)數(shù)滿足,且,則的最小值是.【答案】4【解析】取等條件時(shí)取等.設(shè)函數(shù),若在上有且只有一個(gè)正整數(shù),使得,則的取值范圍是.【答案】【解析】由，，得，令.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為.如圖，，，的斜率，當(dāng)時(shí)，符號(hào)題意，所以.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．在中,.(1)求;(2)若的面積為,求.【解析】（1）∵，，∴，又∵，所以，又為銳角，∴，.（2）在中，∵，∴.又∵，∴，∴.18.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求證:為等比數(shù)列;(2)若的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的前項(xiàng)和.意圖：等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，特殊數(shù)列的求和【解析】（1）設(shè)公差為，則，即，當(dāng)時(shí)，則，，對(duì)任意，，即為等比數(shù)列．當(dāng)時(shí)，則，，對(duì)任意，，即為等比數(shù)列．綜上，為等比數(shù)列．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，．因?yàn)樗?9.如圖，,是以為直徑的圓上兩點(diǎn)，且，，將所在的半圓沿直徑折起，使得點(diǎn)在平面上的正投影在線段上，如圖.（1）求證：平面；（2）已知為中點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)椋?，，所以面，因?yàn)槊妫?，又，，所以平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于的方向?yàn)檩S正方向，為軸正方向，垂直于面的方向?yàn)檩S正方向，不妨設(shè)圓的半徑為，為點(diǎn)在平面上的正投影，所以在軸正方向上．由，知，，，，所以，，設(shè)，由知即為平面的法向量，，若平面，則，即，，所以線段上不存在點(diǎn)，使得在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，直線和橢圓交于,兩點(diǎn).當(dāng)經(jīng)過(guò)的焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線的傾斜角為鈍角，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為的中點(diǎn)（在軸下方），當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程.【答案】(1)橢圓的方程為；(2)直線的方程為．【解析】(1)由條件，，，解得，，所以橢圓的方程為．……………分(2)設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，……………分則，，，記的傾斜角為，的傾斜角為，則．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到“”，此時(shí)直線的方程為…………………分21.為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書(shū)法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委給出所有參賽作品評(píng)分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)都在[70，100）內(nèi)，在以5為組距畫(huà)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”）時(shí)，發(fā)現(xiàn)滿足（1）試確定的所有取值，并求k；（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在[95，100）的參賽者評(píng)為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在[90，95）的同學(xué)評(píng)為二等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有EQ\F(1,11)的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在[85，90）的同學(xué)評(píng)為三等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有EQ\F(1,7)的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí),且附加賽獲獎(jiǎng)等級(jí)在第一階段獲獎(jiǎng)等級(jí)基礎(chǔ)上，最多升高一級(jí)）．已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段評(píng)為二等獎(jiǎng)．①求學(xué)生B最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生A的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎(jiǎng)，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）根據(jù)題意，X在[75，100）內(nèi)，按5為組距可分成5個(gè)小區(qū)間，分別是[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），因?yàn)?5≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），，所以n=15，16，17，18，19．每個(gè)小區(qū)間的頻率值分別是，由，解得．（2）=1\*GB3①由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.由(1)知，學(xué)生的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間，，，，的概率分別是：，，，，.我們用符號(hào)或表示學(xué)生或在第一輪獲獎(jiǎng)等級(jí)為，通過(guò)附加賽最終獲獎(jiǎng)等級(jí)為，其中.記學(xué)生最終獲獎(jiǎng)不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)為事件，則.=2\*GB3②學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是.學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是.，，.所以的分布列為：012.22.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為(1)當(dāng)時(shí),求證:.(2)若只有一個(gè)零點(diǎn),