全等三角形及三角形全等的條件一對(duì)一輔導(dǎo)講義

課題全等三角形及三角形全等的條件教學(xué)目的1、掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理計(jì)算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準(zhǔn)確找到判定定理的條件，并熟練運(yùn)用。教學(xué)內(nèi)容課前檢測(cè)1．如圖（1），△中，，平分∠，則≌．2．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是，底邊和腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等的根據(jù)是．3．已知△≌△，△的周長(zhǎng)為32，9，12則，，．圖（1）圖（2）圖（3）如圖（2），，要使△≌△還需知道的一個(gè)條件是如圖（3），若∠1=∠2，∠∠D，則△≌，理由．不能確定兩個(gè)三角形全等的條件是（）A．三邊對(duì)應(yīng)相等B．兩邊及其夾角相等C．兩角和任一邊對(duì)應(yīng)相等D．三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等7·△和△中，，∠∠D，若△≌△還需要（）A．∠∠EB．∠∠FC．D．前三種情況都可以8·在△和△A′B′C′中①′B′②′C′③′C′A．具備①②④B．具備①②⑤C．具備①⑤⑥D(zhuǎn)．具備①②③參考答案：1．△△2．（或）3．912114．∠∠或△6·D7·D8·A知識(shí)梳理知識(shí)要點(diǎn)：要點(diǎn)1：全等三角形的概念及其性質(zhì)（1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)相等、面積相等要點(diǎn)2：全等三角形的判定（1）兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等；（2）兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等；（3）兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；（4）三邊對(duì)就應(yīng)相等。要點(diǎn)3：找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法（1）若給出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。（2）若給出一些對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，反之，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊就可找出其他幾組對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。（3）按照兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角，兩對(duì)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊來(lái)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。（4）一般情況下，在兩個(gè)全等三角形中，公共邊、公共角、對(duì)頂角等往往是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角。要點(diǎn)4：尋找兩個(gè)三角形全等的途徑（1）三角形全等的判定是這個(gè)單元的重點(diǎn)，也是平面幾何的重點(diǎn)①有兩組對(duì)應(yīng)角相等時(shí)；找②有兩組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí)；找③有一邊，一鄰角相等時(shí)；找④有一邊，一對(duì)角相等時(shí)；找任一組角相等（）（2）利用兩個(gè)三角形的公共邊或公共角尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素如圖（一）中的，圖（二）中的都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有，利用公有的線段就可推出。圖（四）中若有∠∠，就能推出∠∠。三、例題講解：例1.如圖，四點(diǎn)共線，，，，。求證：。.思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時(shí)減去得到，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，，可以證明，從而得到。解答過(guò)程：，在和中∴()，即在和中()解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路例2.如圖，在中，是∠的平分線，，垂足為。求證：。思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。則在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將延長(zhǎng)交于，則構(gòu)造了△，可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明∠2=∠，可以由三角形外角定理得∠∠1+∠C。解答過(guò)程：延長(zhǎng)交于在和中(又。解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.如圖，在中，，。為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，連接和。求證：。思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段為邊的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過(guò)程：，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)在和中()。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，，是的中線。求證：。思路分析：要證明“”，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長(zhǎng)至，使。解答過(guò)程：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接在和中()，又，在和中()又。解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。課堂練習(xí)一、選擇題：1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是() A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等 B.一銳角對(duì)應(yīng)相等 C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等 D.斜邊相等2.根據(jù)下列條件，能畫(huà)出唯一的是() A.，， B.，， C.，， D.，3.如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④。其中能使的條件有() A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)（第3題）（第4題）（第5題）（第6題）4.如圖，已知，，，則等于() A. B. C. D.無(wú)法確定二、填空題：5.如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，且，，則點(diǎn)到的距離等于；將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為；三、解答題：7.如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，和交于點(diǎn)。求的度數(shù)。8.如圖，，，為上一點(diǎn)，，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：。9.如圖，已知⊥，⊥，，，.求證：（1），（2）⊥10.已知：如圖，在△中，，∠90°，∠1=∠2，⊥的延長(zhǎng)線于E.求證：2.參考答案一、選擇題：1.A 2.C 3.B 4.C二、填空題：5.4 6.三、解答題：7.解：為等邊三角形，在和中()。8.證明：，在和中()。9.證明：（1）∵，∴∠B＋∠180°又∵∠＋∠4＋∠＋∠3=360°，∠3=∠4=90°∴∠＋∠180°∴∠∠在△和△中∴△≌△（）∴（2）∵△≌△∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴⊥，即⊥10.證明：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠90°又∵⊥，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△和△中∴△≌△（）∴在△和△中∴△≌△（）∴∴2∴2課堂小結(jié)全等三角形的概念及其性質(zhì)全等三角形的判定找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法尋找兩個(gè)三角形全等的途徑六、課后作業(yè)一、填空題1·如圖（1），∠∠E，∠1=∠2，，則△按邊分是三角形．2·如圖（2），，⊥于D，⊥于E，交于P，則（填“<”或“>”或“=”）．3．如圖（3），△中，，現(xiàn)想利用證三角形全等證明∠∠C，若證三角形全等所用的公理是公理，則圖中所添加的輔助線應(yīng)是．圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）一個(gè)三角形的三邊為2、5、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、2、6，若這兩個(gè)三角形全等，則．如圖（4），，若△≌△，則需增加的條件是．（至少三個(gè)）選擇題6．如圖（8），圖中有兩個(gè)三角形全等，且∠∠D，和是對(duì)應(yīng)邊，則下列書(shū)寫(xiě)最規(guī)范的是（）A．△≌△B．△≌△C．△≌△D．△≌△7．如圖（9），，平分∠，E在上，則圖中能全等的三角形有對(duì)A．1B．2C．3D．4圖（8）圖（9）圖（10）圖（11）A．70°B．60°C．50°D．110°9．如圖（11），∥，且，則△≌△的根據(jù)是（）A．只能用B．只能用C．只能用D．用或10．如圖（12），△≌△，和，和是對(duì)應(yīng)邊，則∠等于（）A．∠B．∠C．∠FD．∠11．如圖（13），△中，∠90°，，平分∠交于D，⊥于E且6，則△的周長(zhǎng)為（）A．40B．6C．8D．10圖（12）圖（13）圖（14）12．如圖（14），∠1=∠2，∠∠D，，相交于點(diǎn)E，下面結(jié)論不正確的是（）A．∠∠B．△和△不全等C．D．△是等腰三角形三、解答題13．已知是上的兩點(diǎn)，，∥，且，求證：．圖（15）14．一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖（16）所示的殘片，你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后就可到建材部門(mén)割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說(shuō)明理由．圖（16）15．如圖（17），在△中，是中線，是高線．圖（17）（1）若比長(zhǎng)5，則△的周長(zhǎng)比△的周長(zhǎng)多．（2）若△的面積為102，則△的面積為2．A．10B．20C．30D．40（3）若又是△的角平分線，∠130°，求∠的度數(shù)．16．已知如圖（18），B是的中點(diǎn)，，．交于F點(diǎn)求證：（1）∥（2）．圖（18）參考答案一、1·等腰2．=3．為△的中線4．115．∠∠或∠∠B或或．（多寫(xiě)一