第十章 數(shù)項級數(shù)

第十章數(shù)項級數(shù)研究級數(shù)的目的1．借助級數(shù)表示很多有用的非初等函數(shù)2．解微分方程。3．利用多項式來逼近一般的函數(shù)。4．實數(shù)的近似計算。x2 x3 xn例1ex=1+x+ +H F——H 2! 3! n!例2ln2二1例2ln2二1+.…+3!1+?…n!111 +—— +.?.2 3 4數(shù)值級數(shù)一．收斂與發(fā)散概念TOC\o"1-5"\h\z若數(shù)列｛u｝，即u,u,u?u，… （1）n 1 2 3,n將（1）的項依次用加號連接起來，即u+u+u+…+u+… （2）1 2 3 n簡寫為無u稱為數(shù)值級數(shù)，簡稱級數(shù)。u,u,…,u，…稱為級數(shù)（2）的項，u稱為（2）的n 1 2n nn=1第n項與通項。有限和是我們熟知的，但無限和對我們是陌生的。怎樣來計算無限和呢？無限和叫做什么？因此，元很多個數(shù)的和是一個未知的新概念，它是有限和的推廣。級數(shù)的定義考察前n項部分和S=u+u+???+u或S=Xu。于是，級數(shù)（2）對應(yīng)TOC\o"1-5"\h\zn1 2 nn kk=1著 一 個 部 分 和 數(shù) 列 ， 即S=u,S=u+u,S=u+u+u, S=u+u+ u 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n1 2 n定義如果級數(shù)（2）的部分和數(shù)列｛S｝收斂,定義如果級數(shù)（2）的部分和數(shù)列｛S｝收斂,nn稱S是級數(shù)（2）的和。記為S=區(qū)u=u+u+uH FuHn123nn=1如果部分和數(shù)列｛S｝發(fā)散，稱級數(shù)（2）發(fā)散，此時級數(shù)（2）沒有和。n這樣，級數(shù)的收斂與發(fā)散轉(zhuǎn)化為它的部分和數(shù)列的收斂與發(fā)散。于是，級數(shù)的各種性質(zhì)轉(zhuǎn)化為它的部分和數(shù)列的各種性質(zhì)來討論。實質(zhì)：級數(shù)及其和正是數(shù)列及其極限的一種新的形式。例1以等比數(shù)列為通項的幾何級數(shù)區(qū)arn=a+ar+ar2+…+am+…的斂散性。其中n=1a豐0,r是公比。解：1）當(dāng)|廠|豐1時，幾何級數(shù)的部分和S是na-arnS=a+ar+ar2+ +arn—1=TOC\o"1-5"\h\zn 1-ri）當(dāng)|r<1時，極限limS=lim =n 1——r1——r即卩藝arn即卩藝arn—1n=1因此，當(dāng)|廠|<1時幾何級數(shù)收斂，其和是1—ra一arnii）當(dāng)|r|>1時，極限limS= =sn 1——rns因此，當(dāng)r>1時，幾何級數(shù)發(fā)散。2）當(dāng)|廠|=1時（i）r=1時，幾何級數(shù)是a+a+a+???+a+…S=a+a+a+…+a=nanlimS=limna=a（a豐0）nnT8 nT8即部分和數(shù)列｛S｝發(fā)散。n（ii）當(dāng)r=—1時，幾何級數(shù)是a-a+a-a+ +C1》-1a+—S=0，當(dāng)n是偶數(shù)；S=a，當(dāng)n是奇數(shù)。nn即部分和數(shù)列｛S｝發(fā)散。n(2)當(dāng)廠'1時，幾何級數(shù)發(fā)散。L 1 111 1例2乙 = + + +■??+ +■??n(n-1)1-22-33-4 n-In+1)n=11、=1-n（n+1）nS=丄+丄+丄+…+亠=1-1+1-1+1-1+…+丄-1+1-丄=1-丄n1-22-33-4n-\n+1） 22334n一1nnn+1n+1=1于是lim=1nns例3證明級數(shù)例3證明級數(shù)1-66-1111-16匚+…十（5n-4）X（5n+1）+…收斂'并求其和。證明：通項u可改寫為n=1、—1=（5n-4）-（5n+1）=55n-4 5n+1「1\r11)r11）r1-+—+—+—?+V6丿V611丿V1116丿V15n-415n-45n+1丿1-6+6-11+，*，+（5n-4）6+1）=51（1-5（ 5n+1丿于是limS于是limSnns=lim^ns5V1-5n+1丿TOC\o"1-5"\h\z11 1例4證明：調(diào)和級數(shù)1+ +~+——+…是發(fā)散的。23 n證明：由于u都是正數(shù)，所以部分和數(shù)列｝是嚴(yán)格增加的，討論子數(shù)列｛n n 2m

1〔11\〔1111)〔11〔11\〔1111)〔111\1+—+—+—+—+—+—+—+?… + +….+ 2134丿(5 6 7 8丿.2m-1+12m-1+22m丿2m-12m48S2,S，S，…,S'…S2m22211_11TOC\o"1-5"\h\z—— ——,———— >— — — —4 4 25678 8 8 8 811111111—+—+—+———,:2…+丄>2m-11111111—+—+—+———,:2limS>lim〔1+—、m丿2mm—g即limS-g,Vn>2,3唯一的自然數(shù)m使2m-1<limS>lim〔1+—、m丿2mm—g即limS-g,Vn>2,3唯一的自然數(shù)m使2m-1<n<2m,m* 2m且有S2m-12m當(dāng)nTg時，有mTg，則limS_g，即調(diào)和級數(shù)發(fā)散。nn—g二收斂級數(shù)的性質(zhì)Th1（柯西收斂準(zhǔn)則）級數(shù)工u收斂的充要條件是：V8>0,3N當(dāng)n>N時，對任意p，有nu+u+ u<8n+1 n+2 n+p數(shù)列｛sI存在極限，是指對V8>0,3N,n當(dāng)n>N時，對任給的自然數(shù)pIs-s<8n n+p推論1若級數(shù)藝u收斂,nn_1則limu_0nn—g等價命題是：如果limu0，nn—g則級數(shù)藝unn_1發(fā)散。例工亠100n1limu_limnlimu_limnn—gn—g100n+1 100豐0,則級數(shù)工n100n+1發(fā)散。注意：limu—0僅是級數(shù)藝u收斂的必要條件，而不是充分條件，即limu注意：n n nn—g n—gn_1藝u也可以發(fā)散。nn_111有l(wèi)imu=lim=0,而調(diào)和級數(shù)工 卻是發(fā)散的。nT8nnT8n n從柯西收斂準(zhǔn)則知，級數(shù)區(qū)u收斂等價于級數(shù)藝u的充分遠(yuǎn)（即n>N）的任意片段（即nnn=1 n=1對任意p,u +u+…+u）的絕對值可以任意小，由些可見，級數(shù)無u的斂散性僅與n+1 n+2 n+p nn=1級數(shù)充分遠(yuǎn)的任意片段有關(guān)，與級數(shù)藝u任意指定的有限和無關(guān)，從而我們有nn=1推論2若去掉，增添或改變級數(shù)無u的有限項，則不改變級數(shù)藝u的斂散性。nnn=1 n=1例如去掉幾何級數(shù)的前100項，區(qū)arn+i仍收斂。去掉調(diào)和級數(shù)的前100項,n=1藝1100+nn=1（數(shù)列去掉前有限項仍具有收斂性與發(fā)散性）根據(jù)數(shù)列的運(yùn)算定理，可得到級數(shù)的運(yùn)算定理111= + +…+ +…仍發(fā)散。101 102 100+n 仍發(fā)散定理2若級數(shù)藝U收斂，其和是S，則級數(shù)藝CU=CUi+CU一+…+CU+…也收斂，其和nn=1是cS，其中c是常數(shù)證明：n=1部分和分別是部分和分別是S與S，有n n設(shè)級數(shù)區(qū)u與nn=1

區(qū)cu的n項nn=1S=cu+cu+…cun1 2 n=c(u+u+…+u1 2 n)=cSn已知limS=S，有l(wèi)imS=limcS=cS，即級數(shù)工nnT8n nns nscu收斂，其和是cSnTh2可寫為工cu=cS=c區(qū)unnn=1即收斂級數(shù)具有分配性。Th3若級數(shù)藝u與區(qū)v收斂，其和分別是A和B，則級數(shù)nn土v)=(u土v)+(u土v) (unn 1 1 2 2土vnn）+…也收斂。其和是A+Bn=14nn=112n 3nn=1 n=1三同號級數(shù)藝4nn=112n 3nn=1 n=1三同號級數(shù)TOC\o"1-5"\h\z2 3 6同號級數(shù)是指級數(shù)u+u+…+u+…的每一項u的符號是非負(fù)或非正。如果同號級數(shù)是指級數(shù)1 2 n nu>0(n=1,2,…)，稱級數(shù)區(qū)u是正項級數(shù)；如果u<0(n=1,2,…)n n nn=1一般形式：(2)藝acosnxnn=1(kGZ)例(2)藝acosnxnn=1(kGZ)nn=1解(1)當(dāng)解xM2kn時藝sin藝sinnx的部分和sn=1=工sinkx。由三角公式k=12sinkxsin2=cos(k一2)x一cos(k+2)x=1、2、3……n,分別有TOC\o"1-5"\h\zx 1 32sinxsin=cosx一cos—x2 2 22sin2sinxcos3 cos52sin2xsin=cosx一cosx222x 1 12sinnxsin=cos(n-—)x一cos(n+—)x2 2 2x 1 12sin(sinx+xin2x+ +sinnx)=cosx一cos(n+—)x2 2 2當(dāng)xM2kn時，有cos1x-cos(n+丄)x22s=(sinx+xin2x+ +sinnx)=一n 2sin!xc. 1.12sin—x2sm—x222囲x2囲x-cos(n+2)xsinx+xin2x+ +sinnx)=.xsin—即當(dāng)xM2kn時，部分和s有界，有Dirichlid判別法知收斂。當(dāng)x=2kn時,nsinnx=O,于是對？收斂asinnx收斂。nn=1五絕對收斂的性質(zhì)Th12若級數(shù)藝a收斂,其和是S,貝嘰按順序結(jié)合在一起，構(gòu)成的新級數(shù)nn=1(u+u+ +u)+(u+u+ +u)+(u +u+ + u)+ 1 2 n n+1 n+2 2n 2n+ 2n+2 3n也收斂，其和是S{Sk'}滿足結(jié)合律，滿足交換律1工(-1)n-1-nA=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+ +(-1)n-11n1-1/2-1/4+(1/3-1/6)-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-1/14+ =(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)-1/12+(1/7-1/14=1/2—1/4+1/6—1/8+1/10—1/12— =1/2(1—1/2+1/3—1/4+1/5—1/6— ) =2A級數(shù)為什么會滿足交換性呢？這是因為它是條件收斂的。Riemann證明了它一般的結(jié)果：級數(shù)藝a條件收斂（）則運(yùn)算交換級數(shù)，可使交換后的新級數(shù)收斂到&（）。n=1n=1一致收斂的級數(shù)滿足交換律）級數(shù)藝a條件收斂（）則運(yùn)算交換級數(shù)，可使交換后的新級數(shù)收斂到&（）。n=1n=1一致收斂的級數(shù)滿足交換律）Th13級無u絕對，其和為S,則的各項,，其和也是Sonn=1證明：設(shè)級數(shù)藝un的部分和是limS=S有乙u收斂。nnnT8n=1Ve,BN|S-S<e與因UI<eN kk=NpT8區(qū)u|<ekk=N+1級數(shù)藝u的前N項比，u2,n12n=1u，在新的數(shù)串U,u,k1k2，u必都在新級數(shù)u中出現(xiàn)nnn=1u1，u2，，unkh，令{kl,k2,……,kh}顯然i>=N，>=i時薪級數(shù)的部分和b=瓦um nkn=1中包含b=遲uq=m nkn=1于是（>=a時）有b-S<|S-S|+q<e+e=2en n其他證明藝unn=1絕對收斂，藝u|級數(shù)的p=遲|n mn=1 k=1unkj=max{n1j=max{n1,n2,unk.P=糾mk=1nm}

m<]E|,n=1|的部分和數(shù)列{}有上界則新級數(shù)藝u即正項級數(shù)區(qū)In=1兩個級數(shù)的乘積，級數(shù)乘積的定義nn=1絕對收斂。口藝a與藝b的乘積是所有乘積（）,nnn=1 n=1（藝a）（藝b）nn=￡abnkababTabJ222232abJabJab1