有限元法概述

關于有限元法概述第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日

有限元法是求解數(shù)理方程的一種數(shù)值計算方法，是將彈性理論、計算數(shù)學和計算機軟件有機結(jié)合在一起的一種數(shù)值分析技術，是解決工程實際問題的一種有力的數(shù)值計算工具。目前，有限單元法在許多科學技術領域和實際工程問題中得到了廣泛的與應用，如，機械制造、材料加工、航空航天、土木建筑、電子電氣、國防軍工、石油化工、船舶、鐵路、汽車和能源等，并受到了普遍的重視?，F(xiàn)有的商業(yè)化軟件已經(jīng)成功應用于固體力學、流體力學、熱傳導、電磁學、聲學和生物學等領域，能夠求解由桿、梁、板、殼和塊體等單元構(gòu)成的彈性、彈塑性或塑性問題，求解各類場分布問題，求解水流管道、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度間的相互作用等問題。1、有限元法簡介第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日有限元法分析計算的基本思想：物體離散化單元特性分析選擇位移模式分析單元的力學性質(zhì)計算等效節(jié)點力單元組集求解未知節(jié)點位移物體離散化將某個工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計算模型，這一步稱作單元剖分。第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日離散后單元于單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來；單元節(jié)點的設置、性質(zhì)、數(shù)目等應視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計算進度而定。用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實際情況相符合

分析單元的力學性質(zhì)根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點力和節(jié)點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日選擇位移模式位移法：選擇節(jié)點位移作為基本未知量稱為位移法；力法：選擇節(jié)點力作為基本未知量時稱為力法；混合法：取一部分節(jié)點力和一部分節(jié)點位移作為基本未知量時稱為混合法。位移法易于實現(xiàn)計算自動化，所以，在有限單元法中位移法應用范圍最廣。

第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

有限單元法基本思想的提出，可以追溯到Courantl在1943年的工作，他第一次嘗試應用定義在三角形區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合，來求解St·Venant扭轉(zhuǎn)問題。相繼一些應用數(shù)學家、物理學家和工程師由于各種原因都涉足過有限單元的概念。

但真正的應用實際問題是到1960年以后，隨著電子數(shù)值計算機的廣泛應用和發(fā)展，有限單元法的發(fā)展速度才顯著加快。現(xiàn)代有限元法第一個成功的嘗試，是將剛架位移法推廣應用于彈性力學平面問題，這是Turner，Clough等人在分析飛機結(jié)構(gòu)時于1956年得到的成果。他們第一次給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確解答。2、有限元法的發(fā)展第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

他們的研究工作打開了利用計算機求解復雜平面彈性問題的新局面。1960年Clough進一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了"有限單元法"的名稱，使人們開始認識了有限單元法.3、有限元法在機械工程領域的應用

有限元分析法的應用使設計水平發(fā)生了質(zhì)的飛躍，在機械工程領域主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

1.增加設計功能，減少設計成本；

2.縮短設計和分析的循環(huán)周期；

3.增加產(chǎn)品和工程的可靠性；

4.采用優(yōu)化設計，降低材料的消耗或成本；第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日5.在產(chǎn)品制造或工程施工前預先發(fā)現(xiàn)潛在的問題；

6.模擬各種試驗方案，減少試驗時間和經(jīng)費；

7.進行機械事故分析，查找事故原因。軸承強度分析第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日汽車碰撞實驗第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日剎車制動時地盤的應力分析

第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日

鋼板精軋機熱軋制分析第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日

三維橢圓封頭開孔補強第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日

水輪機葉輪的受力分析模擬第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日

人體股骨端受力分析第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日

半導體芯片溫度場的數(shù)值仿真第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

(1)

概念清楚,容易理解。可以在不同的專業(yè)背景和水平上建立起對該方法的理解。從使用的觀點來講,每個人的理論基礎不同,理解的深度也可以不同,既可以通過直觀的物理意義來學習,也可以從嚴格的力學概念和數(shù)學概念推導。

(2)

適應性強,應用范圍廣泛。有限元法可以用來求解工程中許多復雜的問題,特別是采用其他數(shù)值計算方法(如有限差分法)求解困難的問題。如復雜結(jié)構(gòu)形狀問題,復雜邊界條件問題,非均質(zhì)、非線性材料問題,動力學問題等。目前,有限元法在理論上和應用上還在不斷發(fā)展,今后將更加完善,其使用范圍將更加廣泛。4、有限元的特點第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

(3)有限元法采用矩陣形式表達,便于編制計算機程序。可以充分利用計算機高速浮點運算能力的優(yōu)勢進行大規(guī)模數(shù)值模擬。由于有限元法計算過程的規(guī)范化,目前在國內(nèi)外有許多通用程序,可以直接套用,非常方便。著名的有MSC.NASTRAN,ANSYS,ADINA,SAP,ASKA,MARK,ABAUS等。

5、計算機實現(xiàn)及大型有限元軟件簡介

在大力推廣CAD技術的今天，從自行車到航天飛機，所有的設計制造都離不開有限元分析計算，F(xiàn)EA在工程設計和分析中將得到越來越廣泛的重視。國際上早20世紀在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在1965年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日

從那時到現(xiàn)在，世界各地的研究機構(gòu)和大學也發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價格較低的專用或通用有限元分析軟件，主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。

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目前已經(jīng)出現(xiàn)了許多大型結(jié)構(gòu)分析通用軟件，最早的是美國國家宇航局（NASA）在1956年委托美國計算科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的ANASTRAN有限元分析系統(tǒng)，該系統(tǒng)發(fā)展到現(xiàn)在已有幾十個版本。此外，比較知名的有限元分析軟件還有德國的ASKA,英國PAFEC，法國AYATUS，美國ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE等。下面僅介紹幾種當前比較流行的有限元軟件。

（1）ANSYS。

ANSYS是融結(jié)構(gòu)、流體、電場、磁場和聲場分析于一體的大型通用有限元分析軟件。其主要特點是具有較好的前處理功能，如幾何建模、網(wǎng)絡劃分、大型商用的FEM通用軟件分類第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日

電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦分析，可以模擬多物理介質(zhì)的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析能力；后處理的計算結(jié)果有多種顯示和表達能力。ANSYS軟件系統(tǒng)主要包括ANSYS/Mutiphysics多物理場仿真分析工具、LS-DYNA顯示瞬態(tài)動力分析工具、DesignSpace設計前期CAD集成工具、DesignXploere多目標快速優(yōu)化工具和FE-SAFE結(jié)構(gòu)疲勞耐久性分析等。ANSYS已在工業(yè)界得到較廣泛的認可和應用。

（2）MSC/NASTRAN。

MSC/NASTRAN是在原NASTRAN基礎上進行大量改進后的系統(tǒng)軟件，主要包括MSC.Patran并行框架式有限元前后處理及分析系統(tǒng)、MSC.GS-Mesher快速有限元網(wǎng)格、MSC.MARC非線性有限元軟件等。其中MSC.MARC具有較強的結(jié)構(gòu)分析能第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日

能力，可以進行線性和非線性結(jié)構(gòu)分析，如線性/非線性靜力分析、模態(tài)分析、簡諧響應分析、頻譜分析、隨機振動分析、動力響應分析、靜/動力接觸、屈曲/失穩(wěn)、失效與破壞分析等。它提供了豐富的結(jié)構(gòu)單元、連續(xù)單元、特殊單元的單元庫，幾乎每種單元都具有處理大變形幾何非線性、材料非線性和包括接觸在內(nèi)的邊界條件非線性以及組合的高度非線性的能力。MARC的結(jié)構(gòu)分析材料庫提供了模擬金屬、非金屬、聚合物、巖土、復合材料等多種線性和非線性復雜材料行為的材料模型、MARC軟件還提供了多種加載步長自適應控制技術，能夠自動確定分析屈曲、蠕變、熱彈塑性和動力響應的加載步長。此外，它還具有分析非結(jié)構(gòu)場問題（溫度場、流場、電場、磁場）、模擬流-熱-固、土壤滲流、聲-結(jié)構(gòu)、耦合電磁、電-熱、電-熱-結(jié)構(gòu)、以及熱-結(jié)構(gòu)等多種耦合場的能力。第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日

（3）ADINASystem。

ADINASystem主要包括ADINA、ADINAT和ADINAF，能夠完成結(jié)構(gòu)和流體流動分析?；揪€性結(jié)構(gòu)分析效率高，能有效的考慮非線性效應，如幾何非線性、材料非線性和接觸狀態(tài)等，對于流體能夠計算可壓縮和不可壓縮流動，具有流體-結(jié)構(gòu)全耦聯(lián)分析功能。

（4）ABAQUS。ABAQUS是能夠解決線性分析和許多復雜的非線性分析問題的一個統(tǒng)一有限元軟件。ABAQUS帶有豐富的單元庫和材料模型庫，可以模擬金屬、橡膠、高分子材料、復合材料、鋼筋混凝土，可壓縮超彈性泡沫材料以及土壤和巖石等典型工程材料和地質(zhì)材料。ABAQUS還可以模擬熱傳導，質(zhì)量擴散、熱電偶合分析、聲學分析、巖土力學分析（流體滲透/應力耦合分析）、壓電介質(zhì)分析等。ABAQUS有兩個主求解器模塊,ABAQUSStandard和ABAQUS第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日

Explict，對某些特殊問題還提供專用模塊。ABAQUS具有解決龐大復雜問題和模擬高度非線性問題的圖特的優(yōu)點。

（5）COSMOS。

COSMOS是一套強大的有限元分析軟件，能夠提供廣泛的分析工具以檢驗和分析復雜零件及其裝配圖，能夠進行應力分析、應變分析、變形分析、熱分析、設計優(yōu)化、線性和非線性分析。COSMOS的主要功能模塊為：前、后處理器是一個在交互圖形用戶環(huán)境中完全結(jié)合幾何特征造型和前后處理的處理器；靜力分析模塊提供一個完全集成的前后處理器，在操作環(huán)境中即時顯示設計過程。此外，還包括頻率及屈曲和靈敏性分析模塊、熱效分析模塊、動力分析模塊、非線性分析模塊、疲勞分析模塊、優(yōu)化和靈敏度分析模塊、流體分析模塊、紊流分析模塊、低頻電磁分析模塊、高頻電磁分第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日

析模塊等。同時COSMOS的強大而完整的分析能力，能夠在設計造型與機構(gòu)模擬之后，快速且直接的取得該設計的有限元分析信息。

（6）LS-DYNA。

LS-DYNA是以顯示為主、，隱式為輔的通用非線性動力分析有限元軟件，特別適合求解各種二維、三維非線性機構(gòu)的高速碰撞、爆炸和金屬成形等非線性動力沖擊問題，同時可以求解傳熱、流體及流固耦合問題。LS-DYNA軟件是功能齊全的幾何非線性（大位移、大轉(zhuǎn)動、大應變）、材料非線性（材料動態(tài)模型）和接觸非線性軟件。它以Lagrange算法為主，兼有ALE和Euler算法；以顯示求解為主，兼有隱式求解功能；以結(jié)構(gòu)分析為主，兼有熱分析、流體-結(jié)構(gòu)耦合功能；以非線性動力分析為主，第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日

兼有靜力分析功能（如動力分析前的預應力計算和薄板沖壓成形后的回簧計算）；軍用和民用相結(jié)合的通用結(jié)構(gòu)分析非線性有限元軟件。LS-DYNA利用ANSYS、LS-INGRID、ETA/FEMB及LS-POST強大的前后處理模塊，具有多種自動網(wǎng)格劃分選擇，并可與大多數(shù)的CAD/CAE軟件集成并有接口。前處理：有限元直接建模與實體建模；布爾運算功能，實現(xiàn)模型的細雕刻；模型的拖拉、拷貝、蒙皮和倒角等操作；完善、豐富的網(wǎng)格劃分工具，自由網(wǎng)格劃分、映射網(wǎng)格劃分、智能網(wǎng)格劃分、自適應網(wǎng)格劃分等。后處理：結(jié)果的彩色等值線顯示，梯度顯示，矢量顯示，等值面，粒子流顯示，立體切片，透明及半透明顯示，變形顯示及各種動畫顯示；圖形的PS、TLFF及HPGL格式輸出與轉(zhuǎn)換等第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日6、國際上有限元分析方法的發(fā)展趨勢：

1、與CAD軟件的無縫集成

許多商業(yè)化有限元分析軟件都開發(fā)了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE軟件為了實現(xiàn)和CAD軟件的無縫集成而采用了CAD的建模技術，如ADINA軟件由于采用了基于Parasolid內(nèi)核的實體建模技術，能和以Parasolid為核心的CAD軟件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）實現(xiàn)真正無縫的雙向數(shù)據(jù)交換。

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2、更為強大的網(wǎng)格處理能力(技術難題，關鍵步驟)

有限元法求解問題的基本過程主要包括：分析對象的離散化、有限元求解、計算結(jié)果的后處理三部分。結(jié)構(gòu)離散后的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響到求解時間及求解結(jié)果的正確性與否，在有些方面一直沒有得到改進，如對三維實體模型進行自動六面體網(wǎng)格劃分和根據(jù)求解結(jié)果對模型進行自適應網(wǎng)格劃分。

自動六面體網(wǎng)格劃分是指對三維實體模型程序能自動的劃分出六面體網(wǎng)格單元，現(xiàn)在大多數(shù)軟件都能采用映射、拖拉、掃略等功能生成六面體單元，現(xiàn)在大多數(shù)第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日

軟件都能采用映射、拖拉、掃略等功能生成六面體單元，但這些功能都只能對簡單規(guī)則模型適用，對于復雜的三維模型則只能采用自動四面體網(wǎng)格劃分技術生成四面體單元。對于四面體單元，如果不使用中間節(jié)點，在很多問題中將會產(chǎn)生不正確的結(jié)果，如果使用中間節(jié)點將會引起求解時間、收斂速度等方面的一系列問題，因此人們迫切的希望自動六面