向量加法運(yùn)算及其意義教學(xué)設(shè)計(jì)

道縣五中電子備課教案年級(jí)學(xué)科高一數(shù)學(xué)（必修四）備課日期課題第二章平面向量§2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義備課教師周占雄課時(shí)第27--28課時(shí)活動(dòng)內(nèi)容及過(guò)程教學(xué)構(gòu)想教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義；會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力。2、過(guò)程與方法：通過(guò)將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，使學(xué)生掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)闡述向量的加法運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算之間的相似性質(zhì)，使學(xué)生理解事物之間相互聯(lián)系的辯證思想。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):向量加法的運(yùn)算及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量加法法則定義的理解.學(xué)法指導(dǎo)數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來(lái)理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義。結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算律理解和掌握向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律。教學(xué)過(guò)程2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義（一）導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并接觸了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)算,這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加法.思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)2022年大陸和臺(tái)灣沒(méi)有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺(tái)北到香港,再?gòu)南愀鄣缴虾?這兩次位移之和是什么?怎樣列出數(shù)學(xué)式子？一位同學(xué)按以下的命令進(jìn)行活動(dòng):向北走20米,再向西走15米,再向東走5米,最后向南走10米,怎樣計(jì)算他所在的位置?由此導(dǎo)入新課.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題①數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類比數(shù)的加法,猜想向量的加法,應(yīng)怎樣定義向量的加法？②猜想向量加法的法則是什么?與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同?圖1活動(dòng):向量是既有大小、又有方向的量,教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖1.某對(duì)象從A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn),兩次位移、的結(jié)果,與A點(diǎn)直接到C點(diǎn)的位移結(jié)果相同.力也可以合成,老師引導(dǎo),讓學(xué)生共同探究如下的問(wèn)題:圖2(1)表示橡皮條在兩個(gè)力的作用下,沿著GC的方向伸長(zhǎng)了EO；圖2(2)表示撤去F1和F2,用一個(gè)力F作用在橡皮條上,使橡皮條沿著相同的方向伸長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度.圖2改變力F1與F2的大小和方向,重復(fù)以上的實(shí)驗(yàn),你能發(fā)現(xiàn)F與F1、F2之間的關(guān)系嗎?力F對(duì)橡皮條產(chǎn)生的效果與力F1與F2共同作用產(chǎn)生的效果相同,物理學(xué)中把力F叫做F1與F2的合力.合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系呢?由圖2(3)發(fā)現(xiàn),力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線上,并且大小等于平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng).數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運(yùn)算的角度看,F可以認(rèn)為是F1與F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.討論結(jié)果:①向量加法的定義:如圖3,已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,則向量叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=+=.圖3求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.②向量加法的法則:1°向量加法的三角形法則在定義中所給出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法則.運(yùn)用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接”,即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量.0位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.2°向量加法的平行四邊形法則圖4如圖4,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出問(wèn)題①對(duì)于零向量與任一向量的加法,結(jié)果又是怎樣的呢？②兩共線向量求和時(shí),用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)向量時(shí),它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？③思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系？④數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.類似地,向量的加法是否也有運(yùn)算律呢?活動(dòng):觀察實(shí)際例子,教師啟發(fā)學(xué)生思考,并適時(shí)點(diǎn)撥,誘導(dǎo),探究向量的加法在特殊情況下的運(yùn)算,共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系.數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對(duì)任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律?引導(dǎo)學(xué)生畫圖進(jìn)行探索.討論結(jié)果:①對(duì)于零向量與任一向量,我們規(guī)定a+0=0+a=a.②兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn);在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加,它們的和仍是一個(gè)向量,對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段.③當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|b|-|a|.一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|.④如圖5,作=a,=b,以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a.因?yàn)?+=a+b,=+=b+a,所以a+b=b+a.如圖6,因?yàn)?+=(+)+=(a+b)+c,==+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).綜上所述,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.圖5圖6（三）應(yīng)用示例思路1例1如圖7,已知向量a、b,求作向量a+b.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向量加法的作圖中,學(xué)生體會(huì)作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O的依據(jù)——它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí),一般都需要進(jìn)行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連.圖7圖8圖9解:作法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖8),作=a,=b,則=a+b.作法二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖9),作=a,=b.以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,連接OC,則=a+b.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn):(1)+;(2)++;(3)++++.活動(dòng):根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序,然后相加.解:(1)+=+=.(2)++=++=(+)+=+=0.(3)++++FA=++++=+++=++=+=0.點(diǎn)評(píng):要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來(lái)求和向量.例2長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方,常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖10所示,一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度(保留兩個(gè)有效數(shù)字);(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).圖10圖11活動(dòng):本例結(jié)合一個(gè)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用.這樣的問(wèn)題在物理中已有涉及,這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算,體會(huì)其中應(yīng)解決的問(wèn)題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意,將實(shí)際問(wèn)題反映在向量作圖上,從而與初中學(xué)過(guò)的解直角三角形建立聯(lián)系.解:如圖11所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實(shí)際航行的速度.(2)在Rt△ABC中,||=2,||=5,所以||=≈5.4.因?yàn)閠an∠CAB=,由計(jì)算器得∠CAB=70°.答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為70°.點(diǎn)評(píng):用向量法解決物理問(wèn)題的步驟為:先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運(yùn)算,最后回扣物理問(wèn)題,解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖12活動(dòng):本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問(wèn)題不難解決,如果用向量法來(lái)解,不僅思路清晰,而且運(yùn)算簡(jiǎn)單.將互相平分利用向量表達(dá),以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問(wèn)題,并在解完后總結(jié)思路方法.證明:如圖12,設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,=+,=+.AC與BD互相平分,=,=,=,因此∥且||=||,即四邊形ABCD是平行四邊形.點(diǎn)評(píng):證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí),只需證明=或=即可.而要證明一個(gè)四邊形是梯形,需證明與共線,且||≠|(zhì)|.思路2例3如圖13,O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1)+;(2)+;(3)+.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量.教師一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作,對(duì)思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指導(dǎo).圖13解:(1)因四邊形OABC是以O(shè)A、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對(duì)角線,故+=.(2)因=,故+與方向相同,長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度的2倍,故+=.(3)因=,故+=+=0.點(diǎn)評(píng):向量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知識(shí),在長(zhǎng)度和方向兩個(gè)方面做文章.應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義.例2在長(zhǎng)江的某渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度是25km/h,渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江,其航向應(yīng)如何確定？活動(dòng):如圖14,渡船的實(shí)際速度、船速與水速應(yīng)滿足+=.圖14解:設(shè)表示水流速度,表示渡船的速度,表示渡船實(shí)際垂直過(guò)江的速度,以AB為一邊,AC為對(duì)角線作平行四邊形,就是船的速度.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,∠CAD=30°.答:渡船的航向?yàn)楸逼?0°.點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意畫出草圖,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若+++=0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊形?點(diǎn)O是四邊形的什么點(diǎn)?活動(dòng):要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系,如平行、相等等;而要判斷點(diǎn)O是該四邊形的什么點(diǎn),就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系.圖15解:如圖15所示,設(shè)點(diǎn)O是任一四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且+++=0,過(guò)A作AEOD,連結(jié)ED,則四邊形AEDO為平行四邊形,設(shè)OE與AD的交點(diǎn)為M,過(guò)B作BFOC,則四邊形BOCF為平行四邊形,設(shè)OF與BC的交點(diǎn)為N,于是M、N分別是AD、BC的中點(diǎn).∵+++=0,+=+=,+=+=,∴+=0,即與的長(zhǎng)度相等,方向相反.∴M、O、N三點(diǎn)共線,即點(diǎn)O在AD與BC的中點(diǎn)連線上.同理,點(diǎn)O也在AB與DC的中點(diǎn)連線上.∴點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn),且該四邊形可以是任意四邊形.（四）課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,