正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)概述

本資料來源第5.2節(jié)正態(tài)總體均值與方差的

假設(shè)檢驗(yàn)一、t檢驗(yàn)二、檢驗(yàn)三、F

檢驗(yàn)四、單邊檢驗(yàn)一、t檢驗(yàn)例1某切割機(jī)在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15段進(jìn)行測量,其結(jié)果如下:假定切割的長度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差沒有變化,試問該機(jī)工作是否正常?解查表得定理2.8根據(jù)第二章§2.3定理2.8知,上述利用t

統(tǒng)計量得出的檢驗(yàn)法稱為t檢驗(yàn)法.此檢驗(yàn)的勢函數(shù)為:如果在例1中只假定切割的長度服從正態(tài)分布,問該機(jī)切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化?解查表得t分布表例2(p157例5.5)利用t檢驗(yàn)法檢檢驗(yàn)具有有相同方方差的兩兩正態(tài)總總體均值值差的假假設(shè).定理2.9根據(jù)第二章§§2.3定理2.9知,其拒絕域域的形式式為第一類錯錯誤的概概率為：：例3

有甲、乙兩臺機(jī)床加工相同的產(chǎn)品,從這兩臺機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干件,測得產(chǎn)品直徑(單位:mm)為機(jī)床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9機(jī)床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,試比較甲、乙兩臺機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑有無顯著差異?假定兩臺機(jī)床加工的產(chǎn)品直徑都服從正態(tài)分布,且總體方差相等.解即甲、乙兩臺機(jī)機(jī)床加工工的產(chǎn)品品直徑無無顯著差差異.有時為了了比較兩兩種產(chǎn)品品,或或兩種儀儀器,兩兩種方方法等的的差異,我們們常在相相同的條條件下作作對比試試驗(yàn),得得到一一批成對對的觀察察值.然然后分分析觀察察數(shù)據(jù)作作出推斷斷.這這種方法法常稱為為逐對比較較法.例4有兩臺光光譜儀Ix,Iy,用來測量量材料中中某種金金屬的含含量,為為鑒定定它們的的測量結(jié)結(jié)果有無無顯著差差異,制制備了了9件試試塊(它它們的成成分、金金屬含量量、均勻勻性等各各不相同同),現(xiàn)現(xiàn)在分分別用這這兩臺機(jī)機(jī)器對每每一試塊塊測量一一次,得得到9對觀察察值如下下:問能否認(rèn)認(rèn)為這兩兩臺儀器器的測量量結(jié)果有有顯著的的差異?解本題中的的數(shù)據(jù)是是成對的的,即即對同一一試塊測測出一對對數(shù)據(jù),我們們看到一一對與另另一對之之間的差差異是由由各種因因素,如如材料料成分、、金屬含含量、均均勻性等等因素引引起的.[這這也表明明不能將將光譜儀儀Ix對9個試試塊的測測量結(jié)果果(即表表中第一一行)看看成是一一個樣本本,同同樣也不不能將表表中第二二行看成成一個樣樣本,因因此不不能用表表8.1中第4欄的檢檢驗(yàn)法作作檢驗(yàn)].而同一對對中兩個個數(shù)據(jù)的的差異則則可看成成是僅由由這兩臺臺儀器性性能的差差異所引引起的.這樣樣,局局限于各各對中兩兩個數(shù)據(jù)據(jù)來比較較就能排排除種種種其他因因素,而而只考考慮單獨(dú)獨(dú)由儀器器的性能能所產(chǎn)生生的影響響.表中第三行表表示各對數(shù)據(jù)據(jù)的差若兩臺機(jī)器的的性能一樣,隨機(jī)誤差可以以認(rèn)為服從正正態(tài)分布,其其均值為零零.按關(guān)于單個正正態(tài)分布均值值的t檢驗(yàn),知拒拒絕域?yàn)檎J(rèn)為這兩臺儀儀器的測量結(jié)結(jié)果無顯著的的差異.二、檢檢驗(yàn)(1)要求求檢驗(yàn)假設(shè):根據(jù)第二章§2.3,指它們的和集集為了計算方便便,習(xí)慣上上取拒絕域?yàn)?解例5

某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差=5000(小時2)的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來看,壽命的波動性有所變化.現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,測出其壽命的樣本方差s2=9200(小時2).問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?拒絕域?yàn)?認(rèn)為這批電池池的壽命的波波動性較以往往的有顯著的的變化.例6(p160例5.7)美國民政部門門對某住宅區(qū)區(qū)住戶的消費(fèi)費(fèi)情況進(jìn)行的的調(diào)查報告中中，抽出9戶為樣本，每每年開支除去去稅款和住宅宅等費(fèi)用外,依次為:4.9,5.3,6.5,5.2,7.4,5.4,6.8,5.4,6.3（單位k元）.假定住戶消費(fèi)費(fèi)數(shù)據(jù)服從正正態(tài)分布，當(dāng)當(dāng)給定=0.05,問所有住戶消消費(fèi)數(shù)據(jù)的總總體方差為0.3是否可信?解查表得所有住戶消費(fèi)費(fèi)數(shù)據(jù)的總體體方差為0.3不可信三、F檢驗(yàn)需要檢驗(yàn)假設(shè)設(shè):定理2.10根據(jù)第二章§2.3定理2.10知檢驗(yàn)問題的拒拒絕域?yàn)樯鲜鰴z驗(yàn)法稱稱為F檢驗(yàn)法.例7(p104例5.8)為了考察溫度度對某物體斷斷裂強(qiáng)力的影響，在在70度和80度分別重復(fù)做做了8次試驗(yàn)，測得的斷裂強(qiáng)強(qiáng)力的數(shù)據(jù)如如下(單位Pa):70度：20.5,18.8,19.8,21.5,19.5,21.0,21.280度：17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.1解所以兩總體方方差無顯著差差異.例8分別用兩個不不同的計算機(jī)機(jī)系統(tǒng)檢索10個資料,測得平均均檢索時間及及方差(單位位:秒)如下下:解假定檢索時間服從從正態(tài)分布,問這兩系系統(tǒng)檢索資料料有無明顯差差別?根據(jù)題中條件件,首先應(yīng)應(yīng)檢驗(yàn)方差的的齊性.認(rèn)為兩系統(tǒng)檢檢索資料時間間無明顯差別別.四、、單單邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)1.右邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)與與左左邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)右邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)與與左左邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為單邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn).首先先通通過過一一個個實(shí)實(shí)例例來來說說明明雙雙邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)與與單單邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的區(qū)別別與與聯(lián)聯(lián)系系.某種種電電子子元元件件的的壽壽命命X(以小小時時計計)服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布,均為為未未知知.現(xiàn)現(xiàn)測得得16只只元元件件的的壽壽命命如如下下:問是是否否有有理理由由認(rèn)認(rèn)為為元元件件的的平平均均壽壽命命大大于于225(小小時時)?例9解依題題意意需需檢檢驗(yàn)驗(yàn)假假設(shè)設(shè)查表表得得由上上述述例例子子可可以以看看到到：：兩兩種種檢檢驗(yàn)驗(yàn)使使用用的的統(tǒng)統(tǒng)計計量量一一致致，，區(qū)區(qū)別別在在于于拒拒絕絕域域.雙邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)與與單單邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的拒拒絕絕域域分分別別為為：：因?yàn)闉榕c與雙雙邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)有有密密切切關(guān)關(guān)系系，，因因而而僅僅舉舉一一例例說說明明。。2.單邊邊檢檢驗(yàn)驗(yàn)拒拒絕絕域域的的計計算算利用用t檢驗(yàn)驗(yàn)法法檢檢驗(yàn)驗(yàn)具具有有相相同同方方差差的的兩兩正正態(tài)態(tài)總總體體均均值值差差的的單單邊邊假假設(shè)設(shè).定理理2.9根據(jù)據(jù)第二二章章§§2.3定理理2.9知,其拒拒絕絕域域的的形形式式為為又由由于于例10在平平爐爐上上進(jìn)進(jìn)行行一一項(xiàng)項(xiàng)試試驗(yàn)驗(yàn)以以確確定定改改變變操操作作方方法法的的建建議議是是否否會會增增加加鋼鋼的的得得率率,試試驗(yàn)驗(yàn)是是在在同同一一只只平平爐爐上上進(jìn)進(jìn)行行的的.每每煉煉一一爐爐鋼鋼時時除除操操作作方方法法外外,其其它它條條件件都都盡盡可可能能做做到到相相同同.先先采采用用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方法法煉煉一一爐爐,然然后后用用建建議議的的新新方方法法煉煉一一爐爐,以以后后交交替替進(jìn)進(jìn)行行,各各煉煉了了10爐爐,其其得得率率分分別別為為(1)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方法法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;(2)新新方方法法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;設(shè)設(shè)這這兩兩個個樣樣本本相相互互獨(dú)獨(dú)立立,且且分分別別來來自自正正態(tài)態(tài)總總體體問建建議議的的新新操操作作方方法法能能否否提提高高得得率率?解分別別求求出出標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方法法和和新新方方法法下下的的樣樣本本均均值值和和樣樣本本方方差差:即認(rèn)認(rèn)為為建建議議的的新新操操作作方方法法較較原原來來的的方方法