2022高考沖刺數(shù)學(xué)題源探究-立體幾何：直線平面垂直的判定與性質(zhì)

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【考點梳理】1．直線與平面垂直圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l?β,l⊥a))?l⊥α4.直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．(2)線面角θ的范圍：θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).5．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：過二面角棱上的一點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，那么兩射線所成的角叫做二面角的平面角．【教材改編】1．(必修2P65例1、P72例4改編)設(shè)m、n表示直線，α、β表示平面，以下命題為真命題的是()A．假設(shè)m⊥α，α⊥β，那么m∥βB．m∥α，m⊥β，那么α⊥βC．假設(shè)m⊥n，m⊥α，那么n∥αD．m∥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥n[答案]B[解析]對于A，m可以在β內(nèi)，故A錯；對于C，n可以在α內(nèi)，故C錯；對于D，m與n可以平行，故D錯．2．(必修2P66內(nèi)文改編)線段AB的長等于它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，那么AB所在直線與平面α所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．120°[答案]C[解析]如圖，AC⊥α，AB∩α＝B，那么BC是AB在平面α內(nèi)的射影，那么BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，它是AB與平面α所成的角．3．(必修2P67練習(xí)T2改編)P為△ABC所在平面外一點，且PA，PB，PC兩兩垂直，有以下結(jié)論：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的選項是()A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①②③④[答案]A[解析]如圖，∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，且PB?平面PBC，PC?平面PBC，∴PA⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.故①②③正確．4．(必修2P79B組T1改編)將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出以下三個命題：①△DBC是等邊三角形；②AC⊥BD；③V三棱錐D-ABC＝eq\f(\r(2),12).其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]如圖，取AC的中點E，連接DE，EB，那么DE⊥AC，BE⊥AC.∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EB，那么DB＝eq\r(2)DE＝1.∴BC＝CD＝BD＝1，∴△DBC是等邊三角形，故①正確；由AC⊥平面DBE，易知AC⊥BD，故②正確．∵DE為三棱錐D-ABC的高，∴V三棱錐D-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·DE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12)，故③正確．5．(必修2P73練習(xí)T1,2改編)m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，以下命題為真的是()A．假設(shè)m∥α，m⊥n，那么n⊥αB．假設(shè)m∥α，α⊥β，那么m⊥βC．假設(shè)m∥n，n∥α，那么m∥αD．假設(shè)α∥β，m∥n，m⊥α，那么n⊥β[答案]D[解析]當(dāng)m∥α，m⊥n時，n與α的位置關(guān)系有n?α，或n∥α或n與α相交，故A不正確．當(dāng)m∥α，α⊥β時，m與β的位置關(guān)系有m?β或m∥β或m與β相交，故B不正確．當(dāng)m∥n，n∥α?xí)r，有m?α或m∥α，故C不正確．當(dāng)α∥β，m∥n，m⊥α?xí)r，必有n⊥β，故D正確．6．(必修2P78A組T7改編)正四棱錐的三視圖如圖，那么A．25π \f(25,2)π\(zhòng)f(25,3)π \f(25,4)π[答案]C[解析]由三視圖畫出直觀圖與其外接球示意圖，且設(shè)O1是底面中心．由三視圖知，O1A＝eq\r(2)，O1P＝eq\r(3)，∴正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在線段O1P上．設(shè)球O的半徑為R.由O1O2＋O1A2＝OA2得(eq\r(3)－R)2＋(eq\r(2))2＝R2.∴R＝eq\f(5,2\r(3)).那么外接球的面積為S＝4πR2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2\r(3))))2＝eq\f(25,3)π.7．(必修2P79B組T1改編)如圖，E、F分別是邊長為2的正方形ABCD的邊AB與BC的中點，將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE、DF、EF折起，使得A、B、C三點重合于點P，那么以下結(jié)論錯誤的選項是()A．PD⊥EFB．P到平面DEF的距離為eq\f(3,2)C．四面體PDFE的四個面中有三個面是直角三角形D．四面體PDFE外接球的外表積為6π[答案]B[解析]A項，∵折疊前DA⊥AE，DC⊥CF，∴折疊后DP⊥PE，DP⊥PF，又PE∩PF＝P，∴DP⊥平面PEF，從而DP⊥EF，故A正確．B項，設(shè)折疊前連接DB∩EF＝G(圖略)時，DB⊥EF.那么折疊后仍有DG⊥EF，PG⊥EF，又DG∩PG＝G，∴EF⊥平面DPG，從而平面DPG⊥平面DEF且交線為DG，作PH⊥DG于點H(圖略)，那么PH⊥平面DEF，∴PH為點P到平面DEF的距離．在Rt△DPG中，DP＝2，PG＝eq\f(\r(2),2)，DG＝eq\f(3,2)eq\r(2)，∴PH＝eq\f(PG·DP,DG)＝eq\f(\f(\r(2),2)×2,\f(3,2)\r(2))＝eq\f(2,3)，故B不正確．C項，由A、B知四面體PDFE中有PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，∴四個面中有三個面是直角三角形，故C正確．D項，∵PE、PF、PD兩兩垂直，∴四面體PDFE的外接球直徑為2R＝eq\r(PE2＋PF2＋PD2)＝eq\r(6)，即R＝eq\f(\r(6),2)，∴S球＝6π，故D正確．8．(必修2P65“探究〞改編)如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，沿CD折成直二面角B-CD-A，那么折后∠ACB的最小值為________．[答案]60°[解析]設(shè)AC＝b，BC＝a，那么AD＝eq\f(b2,\r(a2＋b2))，BD＝eq\f(a2,\r(a2＋b2))，折圖后，由題意知∠ADB即為二面角B-CD-A的平面角．∴∠ADB＝90°.∴AB2＝AD2＋BD2＝eq\f(a4＋b4,a2＋b2)，由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(b2＋a2－\f(a4＋b4,a2＋b2),2ab)＝eq\f(ab,a2＋b2)≤eq\f(\f(1,2)a2＋b2,a2＋b2)＝eq\f(1,2).∴∠ACB的范圍為[60°，90°)．∴60°≤∠ACB<90°.9．(必修2P74A組T7改編)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B和平面A1B1[答案]30°[解析]如圖，連接BC1交B1C于點O，連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a，由正方體的性質(zhì)知，A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面A1B1所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝eq\r(2)a，BO＝eq\f(\r(2),2)a，所以BO＝eq\f(1,2)A1B，所以∠BA1O＝30°.因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.10．(必修2P65思考改編)如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，那么折疊后BC＝________.[答案]1[解析]因為AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角．因為平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝eq\f(\r(2),2)，所以BC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.11．(必修2P69例3改編)如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)假設(shè)PA＝eq\f(1,2)AB，且∠ABC＝30°.求二面角P-BC-A的大?。甗解析](1)證明：設(shè)⊙O所在的平面為α，由條件PA⊥α，BC在α內(nèi)，所以PA⊥BC.因為點C是圓周上