高中數(shù)學(xué)高考47第八章 立體幾何 8 5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

§8.5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)最新考綱考情考向分析1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應(yīng)用、直線與平面所成角等內(nèi)容．題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.1．直線與平面垂直圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的一條直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n?α，a⊥αa∥b，b⊥α性質(zhì)a⊥α，a⊥ba⊥α，b⊥α2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的一條，則兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l?β,l⊥a))?l概念方法微思考1．若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面嗎？2．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面嗎？題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．()(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．()(6)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.()題組二教材改編2．下列命題中錯誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β3．在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．即O為△ABC的垂心．題組三易錯自糾4．若l，m為兩條不同的直線，α為平面，且l⊥α，則“m∥α”是“m⊥l”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中點，F(xiàn)是CC1上一點．當(dāng)CF＝2時，證明：B1F⊥平面ADF.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.例2(2018·全國Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達(dá)點D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q－ABP的體積．跟蹤訓(xùn)練2(2018·錦州調(diào)研)如圖，三棱錐P－ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)若PA＝PC，求三棱錐P－ABC的體積．題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用命題點1直線與平面所成的角(1)證明：△PBC是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且當(dāng)直線PC與平面ABC所成角的正切值為eq\r(2)時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．命題點2與垂直有關(guān)的探索性問題例4如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是棱BC，AB的中點，點F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求證：C1E∥平面ADF；(2)設(shè)點M在棱BB1上，當(dāng)BM為何值時，平面CAM⊥平面ADF.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.(1)求證：平面CFG⊥平面ACE；(2)在AC上是否存在一點H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的長，若不存在，請說明理由．1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n2．(2019·通遼模擬)已知直線l，m與平面α，β，l?α，m?β，則下列命題中正確的是()A．若l∥m，則必有α∥βB．若l⊥m，則必有α⊥βC．若l⊥β，則必有α⊥βD．若α⊥β，則必有m⊥α3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE4．(2019·大連適應(yīng)性檢測)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則()A．MN∥C1D1 B．MN⊥BC1C．MN⊥平面ACD1 D．MN⊥平面ACC15．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)6.如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為________．7.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在直線______上．8.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足_______時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)9.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為________．10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上．點P到直線CC1的距離的最小值為________．11.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在棱PC上(異于點P，C)，平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求證：平面PAD⊥平面ABCD.12.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝eq\r(3)，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN＝eq\f(1,4)PB.(1)證明：MN∥平面PDC；(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值．13．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H.那么，在這個空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF14．(2018·全國Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)15.如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)①不論D折至何位置(不在平面ABC內(nèi))