線性代數(shù)課件-第3講階行列式定義

第3n線性代數(shù)59主講 大 教 Jan Jan第3n高等數(shù)學138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計70講 傳課 考研題評講 傳課 :@ Jan第3n及線性代數(shù)59講受 各地大學生的歡 件 課程的 望對你的學習有所幫助 現(xiàn)在我 的課望對你的學習有所幫助(聯(lián) 的著作權，切勿在網(wǎng)(聯(lián) Jan1.3n階行列式的定第3nDeterminantsofOrder第3n觀我的《高等數(shù)學》(全部138講 和《線性請在優(yōu)酷網(wǎng)搜索我 + Jan第3n第1講二階行列式第2講三階行列n Jan第3n面兩講，為了方便地表示二元與三元性方程組的解，我們引入了二階與三階行式的概念和記號a11x1a12x2 x x

大學

1 x x1

x

a32

a33x3

Jan第3n為了研究n元線性方程組，我們需要將行列式的概念加以推廣，引入n階行列 我們來觀察二階和三階行列式的特點 Jan a a

第3n

大 同列的元素的乘積的代數(shù)和(共2!=2項)。其中每一項的第一個元素取自第1行(行標1)，第2個元素取自第 標為2)大順序從小到大排列的：12 Jan 第3n a a

沒有產(chǎn)生逆序。排列12的逆序數(shù)為偶數(shù)0，是偶排列a12a21帶負號，它的兩個數(shù)的列標排列是了一個逆序(inversion)。湛 Jan 第3n

a a

a12a21帶負號排列21的逆序數(shù)為奇數(shù)1，是奇排列用記號τ(p1p2表示排列p1p2的逆序則τ(12)0τ(21) 二階行列式可寫成

大

Jan

第3n

a11a23a32a12a21a33 列的元素的乘積的代數(shù)和(共3!=6項) 大其中每一項的第一個元素取自第1行(行標為素取自第3行(行標為3)。川大學大 Jan 帶正號3項

第3naaa2 a大帶負號3

τ(123)=0τ(231)=2均為偶數(shù)、是偶排 τ(213)=1帶正號3帶負號3

第3nτ(123)=0τ(231)=2均為偶數(shù)、是偶排 均為奇數(shù)、是奇排因此行列式各項可以寫成：川大 1 2 3

Jan

第3n 1 2 3三階行列式可以寫成 大

aaa2a12a2 a大

2 2 3 Jan

nn2aij(ij=1,2,…,n，它們構成一 大

1p

an

、不同列的n個元素各項所帶的正負號按以下方式確定 Jann n

第3n an

2 2

n

Jan

第3n n n

2 2

an

大排列的個數(shù)相等，都是n!/2個。故n階行列式的展開式中帶正號和帶負號的項各占一半，均為n!/2項。 大 Jan例如，4

第3n

a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43

它等于一切不、不同4個元素的乘積的代數(shù)和(共有4!=項。 (1)τ(p1p2p3p4)

2 3 4p1,p2,p3,注意：4階(或更高階)的行列式不能用對 Jan14階行列

第3n

(1)τ(p1p2p3p4)

p1,p2,p3,

2 3 4 其中的 a12a2a 帶什么符號大τ(2431)121所以，該項帶正號

Jan

第3n

p

123

1p 寫出含有因

大的項 大(1)3 (1)4 τ(4123) τ(4213)31 Jan2計算下三角形行列式（斜邊為主對角線）

解行列式的一般

a1

只需考慮不為零的

大 大2行不能a21，故只a22同理3行，不能a31a32，故只能a33 Jan

a11a22 大

大a

因此唯一可能不為零的項

τ(12...n)

該項取正號：a11a22斜邊為主對角線斜邊為主對角線的下三角形行列式等于其角線上的元素的乘積第3n同理上三角形行列式（斜邊為主對角線） 0

a11a22大 Jan例

第3n 0

821(3) Jan第3n例3計算上三角形行列式（斜邊為次對角線

0

解行列式的一般項為apa2 第n列只能取可能不為零的a1n。 第n?1列不能取a1,n?1，故只能取a2,n?1。niai+1,n?i(i=0,2,n?1) Jan

第3n

大

a1na2,n1

a1na2,n1τ(n,n1...21)(n1)(n2)...21n(n2

Jan第3n

(1) 1532 0 Jan推論（同濟五版7

第3n主對角

λλ行列式

大行列式

λλ Jan第3n

Jan第3nn階行列式的等價定 Jan

第3n行順序定 an

nn

負號取決于列標排列的奇偶性列標是偶排列時，該項帶正號列標是奇排列時，該項帶負號

Jan第3講階行列式的定義第3講階行列式的定義 行標是偶排列時，該項帶正號行標是奇排列時，該項帶負號

下一Jan第3講階行列式的定義第3講階行列式的定義

(1n

r r1r rrrrr1

是n階行列式中 及 大標排列和列標排列的奇偶性 行標排列和列標排列的奇偶性相同時(這時行標列的逆序數(shù)與列標排列的逆序數(shù)之和是偶數(shù))，該項帶號；否則帶負號(這時行標排列的逆序數(shù)與列標序數(shù)之和是奇數(shù)) 證明見下一 請在優(yōu)酷網(wǎng)搜索我請在優(yōu)酷網(wǎng)搜索我+：