北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《第一章 小結(jié)與復(fù)習(xí)》教學(xué)課件PPT初二公開課

小結(jié)與復(fù)習(xí)第一章 三角形的證明北師大版數(shù)學(xué)

八年級下冊一、等腰三角形的性質(zhì)及判定1.性質(zhì)兩腰相等;軸對稱圖形,等腰三角形的頂角平分線所在的直線是它的對稱軸;兩個 底角相等，簡稱“等邊對等角”;

頂角平分線_、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.要點(diǎn)梳理2.判定有兩邊相等的三角形是等腰三角形;如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“

”）.等角對等邊二、等邊三角形的性質(zhì)及判定1.性質(zhì)⑴等邊三角形的三邊都相等;⑵等邊三角形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都等于

;60°⑶是軸對稱圖形，對稱軸是三條高所在的直線;⑷任意角平分線、角對邊上的中線、對邊上的高互相重合，簡稱“三線合一”.(5)在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.2.判定⑴三條邊都相等的三角形是等邊三角形.⑵三個角都相等的三角形是等邊三角形.⑶有一個角是60°的 等腰三是角等形邊三角形.三、直角三角形直角三角形的性質(zhì)定理1直角三角形的兩個銳角

.互余直角三角形的判定定理1有兩個角 互_的余三角形是直角三角形.勾股定理分類計(jì)算：如果已知直角三角形的兩邊是a,b(且a＞b)，那么，當(dāng)?shù)谌卌是斜邊時(shí)，c＝

；當(dāng)a是斜邊時(shí)，第三邊c＝.[注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，運(yùn)用時(shí)要分清直角邊和斜邊．a(chǎn)

2 c

2c

b2

,

a

b2

,

b

.

c

2

a

2四、勾股定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的

平方.即：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c ，那么一定有

. a2＋b2＝c2勾股定理表達(dá)式的常見變形：a2＝c2－b2,

b2＝c2－a2，2

2

a

ba2b2利用此定理判定直角三角形的一般步驟：(1)確定最大邊；(2)算出最大邊的平方與另兩邊的

；平方和(3)比較最大邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明這個三角形是

三角形． 直角到目前為止判定直角三角形的方法有：(1)說明三角形中有一個角是

； 直角(2)說明三角形中有兩邊互相

； 垂直(3)用勾股定理的逆定理．[注意] 運(yùn)用勾股定理的逆定理時(shí)，要防止出現(xiàn)一開始就寫出a2＋b2＝c2之類的錯誤．五、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：a2＋b2＝

，那么這個三角c2

形是直角三角形．第一個命題的結(jié)論是第二個命題的

，那么這兩個命題叫做互2．逆命題每一個命題都有逆命題，只要將原命題的條件改成

，并將結(jié)論改成

，便可以得到原命題的逆命題．條件逆命題．結(jié)論 條件六、逆命題和互逆命題1．互逆命題在兩個命結(jié)題論中，如果第一個命題的條件是第二個命題的

，而3．逆定理如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么，它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的

定理．逆[注意]

每個命題都有逆命題，但一個定理不一定有逆定理．如“對頂角相等”就沒有逆定理．七、線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.逆定理：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.常見的基本作圖垂線(1)過已知點(diǎn)作已知直線的

；(2)作已知線段的垂直

線平．分4.三角形的三邊的垂直平分線的性質(zhì)：三角形的三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，且到三個頂點(diǎn)的距離相等.八、角平分線的性質(zhì)與判定1.性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線.3.三角形的三條內(nèi)角平分線的性質(zhì)：三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.考點(diǎn)一 等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例1 如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求證：

∠BAC

=2∠DBC.ABCD))1 2E【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可作頂角∠BAC的平分線，來獲取角的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)講練ABCD))1 2E證明：作∠BAC的平分線AE,交BC于點(diǎn)E,如圖所示，2則

1

=

2

= 1

BAC

.∵AB=AC,

∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90

°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90

°.∴∠2=

∠DBC.∴∠BAC=

2∠DBC.等腰三角形的性質(zhì)與判定是本章的重點(diǎn)之一，它們是證明線段相等和角相等的重要依據(jù)，等腰三角形的特殊情形—等邊三角形的性質(zhì)與判定應(yīng)用也很廣泛，有一個角是30°的直角三角形的性質(zhì)是證明線段之間的倍份關(guān)系的重要手段.方法總結(jié)1.

如圖，在△ABC中，AB=AC時(shí)，BACD∵AD⊥BC，∴∠

_BA_D=

∠

CA;

D =

BD. CD∵AD是中線，∴

A_D_⊥

B;

C∠

B=A∠D

.

CAD∵

AD是角平分線，∴ A_D_

⊥ B;C =BD . CD針對訓(xùn)練例2

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的長．△ABC解：∵∠B＝90°，∴b是斜邊，則在Rt△ABC中，由勾股定理，得c

b2

a2 42

32

7,4

BD

ac

6

b 87

3 7

.又∵S ＝ b?B1D＝ ac，212考點(diǎn)二 勾股定理在直角三角形中，已知兩邊的長求斜邊上的高時(shí)，先用勾股定理求出第三邊，然后用面積求斜邊上的高較為簡便．在用勾股定理時(shí)，一定要清楚直角所對的邊才是斜邊，如在本例中不要受勾股數(shù)3，4，5的干擾．方法總結(jié)平方是（A.25）B.14C.7針對訓(xùn)練2．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的DD.7或25考點(diǎn)三 勾股定理的逆定理例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判斷△ABC是否為直角三角形．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2

＝n4＋2n2＋1，從而a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC是直角三角形．運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷哪條邊最大；②分別用代數(shù)方法計(jì)算出a2＋b2和c2的值(c邊最大)；③判斷a2＋b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．方法總結(jié)3.已知下列圖形中的三角形的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)上，可以判定三角形是直角三角形的有

．針對訓(xùn)練(2)(4)例4

判斷下列命題的真假，寫出這些命題的逆命題并判斷它們的真假．如果a＝0，那么ab＝0；如果點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等，那么P在線段AB的垂直平分線上．解：(1)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命題為假．(2)原命題是真命題．原命題的逆命題是：如果P在線段AB的垂直平分線上，那么點(diǎn)P到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等．其逆命題也是真命題．考點(diǎn)四 命題與逆命題針對訓(xùn)練寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）若x=1，則x2=1；（2）若|a|=|b|，則a=b.解：逆命題：若x2=1，則x=1．是假命題.逆命題：若a=b，則|a|=|b|．是真命題.∴ AB=AC，BD=CD.∵ 點(diǎn)C

在AE

的垂直平分線上，∴ AC

=CE,∴AB=AC=CE,∴ AB+BD=DE.ABCDE考點(diǎn)五 線段的垂直平分線例5

如圖，AD是BC的垂直平分線，點(diǎn)C

在AE

的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE

有什么關(guān)系？解：∵

AD

是BC

的垂直平分線，5.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AC=5厘米，△ABD的周長等于13厘米，則△ABC的周長是

.ABDEC18厘米常常運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)換來求線段之間的關(guān)系及周長的和差等,有時(shí)候與等腰三角形的“三線合一”結(jié)合起來考查.方法總結(jié)針對訓(xùn)練6.下列說法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①

②

③DEBFC例6

如圖，在△ABC中，AD是角平分線，且BD

=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E

,

F.求證：EB=FC.A【分析】先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌ Rt△CDF.考點(diǎn)六 角平分線的性質(zhì)與判定ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,

DF⊥AC，∴

DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90

°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌

Rt△CDF(HL).∴

EB=FC.8.△ABC中, ∠C=90°,

AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD3E7. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，

DE=DF，

∠EDB=60°，則 ∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG針對訓(xùn)練9.

如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCE((((31D F24P考點(diǎn)七 本章的數(shù)學(xué)思想與解題方法解得 x= ∴x-8= ;若腰比底邊短，設(shè)腰長為ycm,則底邊長為（y+8)cm,根據(jù)題意得2y+y+8=20,解得y=4,∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合題意.故此等腰三角形的三邊長分別為,2

83432

8

cm

,2

8

c

m

, 4

cm.3 3 3分類討論思想例7 等腰三角形的周長為20cm,其中兩邊的差為8cm,求這個等腰三角形各邊的長.【分析】要考慮腰比底邊長和腰比底邊短兩種情況.解：若腰比底邊長，設(shè)腰長為xcm,則底邊長為（x-8)cm，根據(jù)題意得

2x+x-8=20,10.等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求它的周長.解：①若腰長為6，則底邊長為4，周長為6+6+4=16；②若腰長為4，則底邊長為6，周長為4+4+6=14.故這個三角形的周長為14或16.針對訓(xùn)練【分析】

欲求的線段CD