2021-2022學(xué)年廣東省河源市合水中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省河源市合水中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知平面向量滿足，且，則向量與的夾角（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式與夾角公式，求出cosθ與θ的值．【解答】解：設(shè)向量與的夾角為θ，θ∈[0，π]由?（+）=3可得?+=3，代入數(shù)據(jù)可得2×1×cosθ+22=3，解得cosθ=﹣，∴θ=．故選：C．2.函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：①；②；③.則………（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.已知函數(shù)f（x）=（a＞0且a≠1）在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A．[，1） B．（0，] C．[，] D．（0，]參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【分析】根據(jù)分段函數(shù)是在R上單調(diào)遞減，可得0＜a＜1，故而二次函數(shù)在（單調(diào)遞減，可得．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+1]max即可得a的取值范圍．【解答】解：由題意，分段函數(shù)是在R上單調(diào)遞減，可得對(duì)數(shù)的底數(shù)需滿足0＜a＜1，根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口向上，在（單調(diào)遞減，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[loga（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范圍是[，]，故選：C．4.設(shè)函數(shù),則(

)A.當(dāng)k=2013時(shí)，在x=1處取得極小值B.當(dāng)k=2013時(shí)，在x=1處取得極大值C.當(dāng)k=2014時(shí)，在x=1處取得極小值D.當(dāng)k=2014時(shí)，在x=1處取得極大值參考答案：C5.命題“任意的，都有”的否定是（

）A．任意的，都有成立

B．任意的，都有成立

C．存在，使成立

D．存在，使成立參考答案：D6.如果集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，那么A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】先分別求出集合A和B，由此利用交集定義能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|﹣2≤x＜1}={﹣2，﹣1，0}，B={﹣1，0，1}，∴A∩B={﹣1，0}．故選：D．7.設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）與直線y=x相交于M，N兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線MP，NP斜率之積為﹣，則橢圓離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求得直線直線MP，NP的斜率分別為，，則則=﹣，M，P是橢圓C上的點(diǎn)，則+=1，，兩式相減可得=﹣，=，利用離心率公式可知：e==．【解答】解：橢圓+=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)P（x，y），M（m，m），N（﹣m，﹣m），則直線MP，NP的斜率分別為，，∵直線MP，NP斜率之積為﹣，即?=﹣，則=﹣，∵M(jìn)，P是橢圓C上的點(diǎn)，∴+=1，，兩式相減可得=﹣，∴=﹣，∴=，∴橢圓離心率e====，故選B．8.、、依次表示函數(shù)的零點(diǎn)，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A．

B．

C．

D．參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)圖像9.設(shè)，均為單位向量，當(dāng)，的夾角為時(shí)，在方向上的投影為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)向量投影計(jì)算公式，計(jì)算出所求的投影.【詳解】在上的投影為，故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量投影的概念和運(yùn)算，考查單位向量，屬于基礎(chǔ)題.10.在平面直角坐標(biāo)系中，x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn),y軸正半軸有3個(gè)點(diǎn)，將x軸上這5個(gè)點(diǎn)和y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)最多有A.30個(gè)

B.35個(gè)

C.20個(gè)

D.15個(gè)

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知sinx﹣cosx=，0≤x≤π，則sin（2x+）的值為．參考答案：【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】由已知可求sinx＞0，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinx，進(jìn)而可求cosx，利用二倍角公式可求sin2x，cos2x的值，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin（2x+）的值．【解答】解：∵sinx﹣cosx=，sin2x+cos2x=1，∴可得：25sin2x﹣5sinx﹣12=0，解得：sinx=或﹣，又∵0≤x≤π，sinx≥0，∴sinx=，∴cosx=sinx﹣=，sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x﹣1=﹣，∴sin（2x+）=sin2xcos+cos2xsin=﹣=．故答案為：．12.設(shè)函數(shù)滿足：對(duì)任意的，恒有，當(dāng)時(shí)，，則

▲

．參考答案：13.以點(diǎn)（2，-1）為圓心且與直線x+y=6相切的圓的方程是

.參考答案：14.如右圖，矩形的一邊在軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.若點(diǎn)的坐標(biāo)為且，記矩形的周長(zhǎng)為，則

。參考答案：21615.設(shè)是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，定義點(diǎn)A到點(diǎn)B的曼哈頓距離.若點(diǎn)A(-1,1),B在上，則的最小值為

．參考答案：，當(dāng)時(shí)，-，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?。16.已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：（0，1）17.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)的圖明在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)____________.參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).且當(dāng)時(shí)，△的面積為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)？并請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)在軸上方，由解得,所以.因?yàn)椤鞯拿娣e為，解得.所以橢圓的方程為.

…………………4分（Ⅱ）由得，顯然.…5分設(shè),則，………………6分,.

又直線的方程為，由解得，同理得.所以,……9分又因?yàn)?…………13分所以,所以以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

…………………14分

19.“矩陣與變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為為參數(shù).（Ⅰ）求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求直線的斜率.

參考答案：解：（1）圓的普通方程為，圓心到直線的距離圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)，代入圓的方程得：由的幾何意義及知，且，結(jié)合幾何圖形知，

即直線的斜率是.

20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=（其中t為常數(shù)）．（1）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍；（2）當(dāng)t=﹣2時(shí)，求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離．參考答案：考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；直線與圓的位置關(guān)系；參數(shù)方程化成普通方程．專題：直線與圓．分析：（1）把曲線M的參數(shù)方程化為y=x2﹣1，把曲線N的極坐標(biāo)方程化為x+y﹣t=0．曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得t的范圍．（2）當(dāng)t=﹣2時(shí)，曲線N即x+y+2=0，當(dāng)直線和曲線N相切時(shí)，由（1）可得t=﹣，故本題即求直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離，利用兩條平行線間的距離公式計(jì)算求得結(jié)果．解答： 解：（1）曲線M（θ為參數(shù)），即x2=1+y，即y=x2﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[﹣，]．把曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=（其中t為常數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣t=0．由曲線N（圖中藍(lán)色直線）與曲線M（圖中紅色曲線）只有一個(gè)公共點(diǎn)，則有直線N過(guò)點(diǎn)A（，1）時(shí)滿足要求，并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過(guò)點(diǎn)B（﹣，1）之前總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)，再接著向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總是有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以﹣+1＜t≤+1滿足要求，當(dāng)直線和曲線M相切時(shí)，由有唯一解，即x2+x﹣1﹣t=0有唯一解，故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣．綜上可得，要求的t的范圍為（﹣+1，+1]∪{﹣}．（2）當(dāng)t=﹣2時(shí)，曲線N即x+y+2=0，當(dāng)直線和曲線M相切時(shí)，由（1）可得t=﹣．故曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離，即直線x+y+2=0和直線x+y+=0之間的距離，為=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．21.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，-為公差的等差數(shù)列．（I）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（II）設(shè)拋物線列,中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：；（III）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求的通項(xiàng)公式．

參考答案：

22.已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．（Ⅰ）確定與的關(guān)系；（Ⅱ）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，（）證明：．參考答案：解：（1）依題意得，則由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：∴（2）由（1）得∵函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

∴當(dāng)時(shí)，由得，由得，即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得或，若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)