6一維隨機(jī)變量及分布

已知圓軸截面直徑d

的分布，求截面面積A=

的分布.§4隨機(jī)變量函數(shù)的分布再如,求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.已知t=t

0

時(shí)刻噪聲電壓V的分布,0V在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量

X

的函數(shù)Y=g(X)所表示的隨機(jī)變量

Y

更感興趣

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知,又Y=g(X)

(設(shè)g是連續(xù)函數(shù))無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的如何由X

的分布求出

Y

的分布？通過(guò)實(shí)例找方法例1(P.76例15)

(X取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是相同的事件,兩者的概率應(yīng)相同)一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解

Y=2X-1-3-1135pk1/101/52/51/51/10則Y=g(

X

)的分布律為

X取值分別為-2,-1,

0,

1,

2時(shí),Y=2X+1對(duì)應(yīng)值為-3,-1,

1,

3,

5.求Y=2X+1,Y=X

2

的分布列.

XY=X

2-2

4-1

10

01

1

2

4X

-2-1

012pk1/10

1/52/51/51/10-2,2

4-1,1

10

0

Y=X

2

014pk2/5

2/51/5一般地，離散型隨機(jī)變量X的分布律為Xx1

x2

…

xn…pkp1

p2

…

pn…Y=g(X)g(x1)

g(x2)

…

g(xn)

…pkp1

p2

…

pn

…將它們對(duì)應(yīng)的概率相加后和并成一項(xiàng)即可若g(xk)中有相等值,則FY(y)=P(Y

y)=P(-2X+8

y),解

設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，例2(P.76

例16)設(shè)X

具有概率密度求Y=-2X+8的概率密度.于是Y的概率密度為二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布注意到0

<

x<4時(shí)，

即0

<

y

<

8時(shí)，此時(shí)②①設(shè)

X具有概率密度求導(dǎo)可得當(dāng)y

>

0時(shí),注意到Y(jié)

=

X

2

0，故當(dāng)y

0時(shí)，F(xiàn)Y

(

y)=0;

解

設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為FY(y)和

FX(x)，例3則Y=X

2的概率密度為②①Y服從自由度為1的分布求Y=X

2

的概率密度.(P70

例26)從上述兩例中可看到，在求P{Yy}的過(guò)程中,關(guān)鍵是第一步中:設(shè)法從{

g(X)

y

}中解出X,

從而得到與

{

g(X)y

}等價(jià)的關(guān)于

X的不等式.用代替{X

2

y}即利用已知的

X

的分布,求出

X

的函數(shù)的分布用代替{

-2

X

+

8

y

}求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的常用方法如例2中,如例3中,定理

則

Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為

又

y=g(x)處處可導(dǎo),且有g(shù)

(x)>0

(或恒有g(shù)

(x)<0),類(lèi)似可證g

(x)<0時(shí),定理的證明與前面的解題思路完全類(lèi)似.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

X具有概率密度f(wàn)X(x),定理(P.78

例18)下面求Y的分布函數(shù)FY(y):

證由于g

保號(hào)

h(

y)是g(x)

的反函數(shù)綜合以上即有結(jié)論成立.abab試證X的線性函數(shù)

Y=aX+b(a≠0)也服從正態(tài)分布.證

X的概率密度為例4(P.79例19)

設(shè)隨機(jī)變量X～(,2),顯然

y

=

g(x)

=

a

x+b可導(dǎo)且g

=a

保號(hào)Y=aX+b的概率密度為由定理知∴Y=aX+b～(a

+b,(|a|)2

)即注取,①驗(yàn)證函數(shù)可導(dǎo)且單調(diào)②求反函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)④

代入定理公式即得函數(shù)的密度注意取絕對(duì)值有～③確定y的取值范圍求Y=1-

e

X

的概率密度.解

例5(P.76例16)

設(shè)

X

的概率密度為

顯然

y

=

g(x)

=

1-

e

x可導(dǎo),且g

=-

e

x

保號(hào),Y

=

1-

e

X的概率密度為由定理知即①②④注意取絕對(duì)值③先轉(zhuǎn)化為分布函數(shù),再求導(dǎo)已知

X

的概率密度為

求Y=sinX

的概率密度.例6(P.80例21)利用分布函數(shù)求概率密度：

∵函數(shù)y

=g(x)

=

sinx在[0,]上為非單調(diào)函數(shù)，解故不能用定理求.

x[0,]

時(shí),

y

0時(shí),0<y<1時(shí),

=P((0

<

X

<

arcsin

y)∪(

-arcsin

y

<

X

<

))

y

1時(shí),

=P(0

<

X

<

arcsin

y)

+P(

-arcsin

y

X

)=1.分布函數(shù)法不必計(jì)算積分

Example:

設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù),連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升的分布函數(shù)，其反函數(shù)存在，且記為F-1(x)（即F[F-1(x)]=x）。①若隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為F(x)，則F(X)~U(0,1)；②若隨機(jī)變量R~U(0,1)，則F-1(R)的分布函數(shù)為F(x)；（證明）證明：①設(shè)隨機(jī)變量F(X)的分布函數(shù)為F1(u)，當(dāng)u[0,1]時(shí)，當(dāng)u<0時(shí)，F(xiàn)1(u)=0；當(dāng)u>1時(shí)，F(xiàn)1(u)=1；所以F(X

)~U(0,1)②設(shè)隨機(jī)變量F-1(R)的分布函數(shù)為F2(x)，因?yàn)镽~U(0,1)，對(duì)任意F(x)[0,1]，有FR(F(x))=F(x)

所以F-1(R)的分布函數(shù)為F

(x)均勻分布

逆變換法設(shè)??(??)是某特定的一維概率分布函數(shù)，則生成服從該分布的隨機(jī)數(shù)的逆變換法是：[1]寫(xiě)出該分布函數(shù)的反函數(shù)???1(??)；[2]

生成隨機(jī)數(shù)??～??(0,1)；[3]計(jì)算??=???1(??)，則??就是服從該特定分布的隨機(jī)數(shù)。小結(jié)

對(duì)于連續(xù)型