高中數(shù)學(xué)高考51第八章 立體幾何與空間向量 8 7 立體幾何中的向量方法(一)-證明平行與垂直

§8.7立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直最新考綱考情考向分析1.理解直線的方向向量及平面的法向量．2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系．3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理(包括三垂線定理).利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系是近幾年高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，涉及直線的方向向量，平面的法向量及空間直線、平面之間位置關(guān)系的向量表示等內(nèi)容．以解答題為主，主要考查空間直角坐標(biāo)系的建立及空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算能力及應(yīng)用能力，有時(shí)也以探索論證題的形式出現(xiàn).1．兩個(gè)重要向量直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有個(gè)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有個(gè)，它們是共線向量2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0概念方法微思考1．直線的方向向量如何確定？2．如何確定平面的法向量？題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的．()(2)平面的單位法向量是唯一確定的．()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．()(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．()(5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行．()(6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．()題組二教材改編2．[P104T2]設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，當(dāng)v＝(3，－2，2)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為__________；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為________．3．[P111T3]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________．題組三易錯(cuò)自糾4．直線l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，則有()A．l∥α B．l⊥αC．l與α斜交 D．l?α或l∥α5．已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對(duì)6．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))題型一利用空間向量證明平行問題例1如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.引申探究若本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.求證：MN∥平面BDE.題型二利用空間向量證明垂直問題命題點(diǎn)1證明線面垂直例2如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.命題點(diǎn)2證明面面垂直例3如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB.求證：平面BCE⊥平面CDE.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.題型三利用空間向量解決探索性問題例4(2019·林州模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2)，E為PD上一點(diǎn)，PE＝2ED.(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．1．若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α或l∥α D．l與α斜交2．若a＝(2，3，m)，b＝(2n，6，8)，且a，b為共線向量，則m＋n的值為()A．7 B.eq\f(5,2)C．6 D．83．已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3，6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)4.如圖，F(xiàn)是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn)，E是BB1上一點(diǎn)，若D1F⊥DE，則有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝eq\f(1,2)EBD．E與B重合5．設(shè)u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分別是平面α，β的法向量．若α⊥β，則t等于()A．3B．4C．5D．66．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x＋y＝______.7．(2018·廣州質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是______________．，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的是________．(填序號(hào))9.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和為________．10.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f(1,2)PD.證明：平面PQC⊥平面DCQ.(1)證明：AC⊥BC1；(2)證明：AC1∥平面CDB1.12.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M為AA1的中點(diǎn)，N為BC1的中點(diǎn)．求證：(1)MN∥平面A1B1C1；(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.13.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(1,1,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))14.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內(nèi)