高中數(shù)學(xué)高考51第八章 立體幾何與空間向量 8 7 立體幾何中的向量方法(一)-證明平行與垂直

§8.7立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直第八章立體幾何與空間向量NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)PARTONE1.兩個(gè)重要向量知識(shí)梳理ZHISHISHULI直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有

個(gè)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量.顯然一個(gè)平面的法向量有

個(gè)，它們是共線向量無數(shù)無數(shù)2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝01.直線的方向向量如何確定？【概念方法微思考】2.如何確定平面的法向量？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)平面的單位法向量是唯一確定的.(

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.(

)(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.(

)(5)若a∥b，則a所在直線與b所在直線平行.(

)(6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行.(

)基礎(chǔ)自測(cè)JICHUZICE12345××√√××6題組二教材改編2.[P104T2]設(shè)u，v分別是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，當(dāng)v＝(3，－2，2)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為_____；當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為_____.12345α⊥βα∥β解析當(dāng)v＝(3，－2，2)時(shí)，u·v＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0?α⊥β.當(dāng)v＝(4，－4，－10)時(shí)，v＝－2u?α∥β.6123453.[P111T3]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_____.垂直612345612345∴ON與AM垂直.64.直線l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，則有A.l∥α

B.l⊥αC.l與α斜交

D.l?α或l∥α12345題組三易錯(cuò)自糾√解析由a＝－n知，n∥a，則有l(wèi)⊥α，故選B.6123455.已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則A.α∥β

B.α⊥βC.α，β相交但不垂直

D.以上均不對(duì)6解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直.√123456.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是A.(－1，1，1) B.(1，－1，1)6∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.√2題型分類深度剖析PARTTWO題型一利用空間向量證明平行問題師生共研例1

如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn).求證：PB∥平面EFG.證明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0).即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.若本例中條件不變，證明平面EFG∥平面PBC.引申探究又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.利用空間向量證明平行的方法思維升華線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA＝AC＝4，AB＝2.求證：MN∥平面BDE.由題意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，因?yàn)镸N?平面BDE，所以MN∥平面BDE.題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2

如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn).求證：AB1⊥平面A1BD.多維探究命題點(diǎn)1證明線面垂直證明方法一設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使m＝顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底，方法二取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OO1，OA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，故AB1⊥平面A1BD.命題點(diǎn)2證明面面垂直例3

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB.求證：平面BCE⊥平面CDE.證明設(shè)AD＝DE＝2AB＝2a，以A為原點(diǎn)，分別以AC，AB所在直線為x軸，z軸，以過點(diǎn)A垂直于AC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)平面CDE的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，設(shè)平面BCE的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE.利用空間向量證明垂直的方法思維升華線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎靖櫽?xùn)練2

如圖所示，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：(1)PA⊥BD；證明取BC的中點(diǎn)O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.∴PA⊥BD.(2)平面PAD⊥平面PAB.又∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.題型三利用空間向量解決探索性問題師生共研例4

(2019·林州模擬)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn).(1)求證：EF⊥CD；證明如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.思維升華對(duì)于“是否存在”型問題的探索方式有兩種：一種是根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；另一種是利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo)，即找到“存在點(diǎn)”，若該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝

，E為PD上一點(diǎn)，PE＝2ED.(1)求證：PA⊥平面ABCD；∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.(2)在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.解以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，令y＝1，則n＝(－1，1，－2).∴存在點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC，且F為PC的中點(diǎn).3課時(shí)作業(yè)PARTTHREE12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練1.若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，1，1)，則A.l∥α

B.l⊥αC.l?α或l∥α

D.l與α斜交√解析∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，∴a·n＝0，即a⊥n，∴l(xiāng)∥α或l?α.12345678910111213141516√2.若a＝(2，3，m)，b＝(2n，6，8)，且a，b為共線向量，則m＋n的值為A.7 B.C.6 D.8解得m＝4，n＝2，則m＋n＝6.故選C.3.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3，6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1)C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)12345678910111213141516√∴點(diǎn)P在平面α內(nèi)，同理可驗(yàn)證其他三個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi).123456789101112131415164.如圖，F(xiàn)是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn)，E是BB1上一點(diǎn)，若D1F⊥DE，則有√12345678910111213141516解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0，0，0)，F(xiàn)(0，1，0)，D1(0，0，2)，設(shè)E(2，2，z)，∴z＝1，∴B1E＝EB.123456789101112131415165.設(shè)u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分別是平面α，β的法向量.若α⊥β，則t等于A.3 B.4 C.5 D.6解析∵α⊥β，∴u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.√12345678910111213141516123456789101112131415167.(2018·廣州質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是_____.α∥β解析設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.12345678910111213141516①②③12345678910111213141516∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確；又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，123456789101112131415169.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和為___.112345678910111213141516解析以D1為原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x，1，1)，B1(1，1，0)，F(xiàn)(0，0，1－y)，B(1，1，1)，1234567891011121314151612345678910111213141516證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，DA，DP，DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由題意得Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，12345678910111213141516又DQ∩DC＝D，DQ，DC?平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.1234567891011121314151611.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).(1)證明：AC⊥BC1；12345678910111213141516證明因?yàn)橹比庵鵄BC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)分別為AC＝3，BC＝4，AB＝5，所以△ABC為直角三角形，AC⊥BC.所以AC，BC，C1C兩兩垂直.則C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，C1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，4，4)，D.如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間12345678910111213141516(2)證明：AC1∥平面CDB1.因?yàn)镈E?平面CDB1，AC1?平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.1234567891011121314151612.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M為AA1的中點(diǎn)，N為BC1的中點(diǎn).求證：(1)MN∥平面A1B1C1；12345678910111213141516證明由題意，知AA1，AB，AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AA1，AB，AC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形AA1C1C的邊長(zhǎng)為2，則A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)，C(0，0，2)，C1(2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1).由題意知AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，12345678910111213141516又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1，所以AA1⊥平面A1B1C1.又MN?平面A1B1C1，故MN∥平面A1B1C1.12345678910111213141516(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.12345678910111213141516證明設(shè)平面MBC1與平面BB1C1C的法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．令x1＝2，則平面MBC1的一個(gè)法向量為n1＝(2，1，－1)．同理可得平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n2＝(0，1，1)．因?yàn)閚1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n1⊥n2，所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.12345678910111213141516技能提升練√12345678910111213141516解析設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn)，連接OE，∵AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，∴M為線段EF的中點(diǎn).12345678910111213141516A.相交

B.平行C.垂直

D.MN在平面BB1C1C內(nèi)12345678910111213141516√解析以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1，C1