【高考數(shù)學(xué)專題】等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件(1)- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和[考綱展示]1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.積累必備知識提升關(guān)鍵能力培育學(xué)科素養(yǎng)積累必備知識知識梳理1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義:如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于

(不為零),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的

,通常用字母q表示,定義的表達(dá)式為

(n∈N*,q為非零常數(shù)).(2)等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么

叫做a與b的等比中項(xiàng).即G是a與b的等比中項(xiàng)?a,G,b成等比數(shù)列?

.2同一常數(shù)公比G2=abG2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式:an=

.(2)前n項(xiàng)和公式:a1qn-13.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am·

(n,m∈N*).qn-m(4)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk.(5)當(dāng)q≠-1時(shí),數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比數(shù)列.ap·aq4.等比數(shù)列{an}的單調(diào)性(4)當(dāng)q<0時(shí),{an}為擺動數(shù)列.基礎(chǔ)自測答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×D3.將公比為q的等比數(shù)列a1,a2,a3,a4,…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2,a2a3,a3a4,….此數(shù)列是(

)(A)公比為q的等比數(shù)列 (B)公比為q2的等比數(shù)列(C)公比為q3的等比數(shù)列 (D)不一定是等比數(shù)列BB5.已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù),Sn為前n項(xiàng)和,且a4-2a2=4,a3=4,則an=

;S10=

.

答案:2n-1

10236.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,若S3=3a3,則公比q=

.

提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算(基礎(chǔ)性)題組過關(guān)答案:32反思?xì)w納(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,等比數(shù)列中有五個(gè)量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)便可迎刃而解.考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明(綜合性)[例1]設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.反思?xì)w納(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*),則{an}是等比數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=kqn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數(shù)列.說明:前兩種方法是證明等比數(shù)列的常用方法,后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定.[對點(diǎn)訓(xùn)練1](2021·八省市新高考適應(yīng)性考試)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an.(1)證明:數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(綜合性)多維探究角度一等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)[例2]等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a5a6+a4a7=18,則log3a1+log3a2+…+log3a10等于(

)(A)12 (B)10(C)8 (D)2+log35解析:由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9,則原式=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=10.故選B.反思?xì)w納在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am·an=ap·aq”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.[對點(diǎn)訓(xùn)練2]已知{an}是等比數(shù)列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5=

;a4的最大值為

.角度二等比數(shù)列和的性質(zhì)[例3]已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,則S12等于(

)(A)40 (B)60 (C)32 (D)50解析:由題意知數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,即數(shù)列4,8,S9-S6,S12-S9是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.則S9-S6=a7+a8+a9=16,S12-S9=a10+a11+a12=32,因此S12=4+8+16+32=60.故選B.反思?xì)w納(2)等比數(shù)列{an}中,Sk表示它的前k項(xiàng)和.當(dāng)q≠-1時(shí),有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比數(shù)列,公比為qk.答案:(1)B培育學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)文化——等比數(shù)列在古代文化中的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)文化試題包含了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的數(shù)學(xué)抽象,對于數(shù)學(xué)文化試題,能夠歸納形成簡單的數(shù)學(xué)問題,運(yùn)用數(shù)學(xué)的通性通法解決問題.[典例]我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈(

)(A)1盞 (B)3盞(C)5盞 (D)9盞試題情境:生活實(shí)踐情境必備知識:等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算關(guān)鍵能力:數(shù)學(xué)建模能力、運(yùn)算求解能力學(xué)科素養(yǎng):數(shù)學(xué)文化[素養(yǎng)演練]古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上題的已知條件,若要使織布的總