微積分課件：ch1-2 數(shù)列的極限

第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列本節(jié)要點(diǎn)二、極限的描述三、極限的定義四、極限的幾何意義五、例六、數(shù)列極限的性質(zhì)一、數(shù)列記為.

由定義,對(duì)每個(gè)正整數(shù),數(shù)列都確定了一個(gè)相應(yīng)的實(shí)數(shù)

,這些可按下標(biāo)從小到大依次排成一個(gè)序列正整數(shù)集

上的函數(shù)稱為數(shù)列.注意記號(hào)例1

數(shù)列中的第

個(gè)數(shù)又稱為數(shù)列的第項(xiàng),又叫作一般項(xiàng).一般項(xiàng)一般項(xiàng)一般項(xiàng)一般項(xiàng)例2例3例4對(duì)于數(shù)列,我們所關(guān)心的主要問(wèn)題是當(dāng)

無(wú)限增大時(shí),數(shù)列的變化趨勢(shì)是如何的?特別地,是否無(wú)限地接近于某個(gè)定數(shù)?在中學(xué)里我們已經(jīng)知道,對(duì)于一個(gè)數(shù)列如果當(dāng)無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于某個(gè)數(shù)我們就稱數(shù)列的極限就是并記作二、極限的描述

在上面的這些例中,我們發(fā)現(xiàn)例1、2、3都有明確的變化趨勢(shì).例1中,例2中例3中

上面僅僅是通過(guò)觀察的方法得到數(shù)列的極限.如何用定量化的數(shù)學(xué)方法來(lái)刻畫數(shù)列的極限？從本質(zhì)上看,數(shù)某一個(gè)定數(shù)充分接近.列的極限反映了數(shù)列當(dāng)

趨于無(wú)窮大時(shí),數(shù)列中的項(xiàng)和對(duì)數(shù)列

我們知道:兩個(gè)數(shù)

和

的接近程度可用兩數(shù)差的絕只要

即可.即從第101項(xiàng)開始的以后所有項(xiàng)都滿對(duì)值來(lái)刻畫.大,足這一要求.故只要

充分就充分小.例如要使再如,要使一般:要使只要

即可.即從第項(xiàng)開始的以后所有只要

即可.即從第10001項(xiàng)開始的以后所有項(xiàng)都滿足這一要求.項(xiàng)都滿足這一要求.對(duì)上例的分析,可以看到,無(wú)論一個(gè)正數(shù)取得多么小,總可以找到自然數(shù)N,

在這項(xiàng)以后的所有項(xiàng)與1的距離都可以小于該數(shù).數(shù)學(xué)上用來(lái)表示一個(gè)任意小的正數(shù).由此引入極限的精確定義.三、極限的定義定義設(shè)數(shù)列如果存在常數(shù)使得對(duì)任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?總存在自然數(shù)

只要都成立,那么稱常數(shù)

是數(shù)列的極限,或則稱數(shù)列收斂于不等式記為又記為如果這樣的常數(shù)

不存在,就說(shuō)數(shù)列沒(méi)有極限,或稱數(shù)注定義中的自然數(shù)

,實(shí)際上是某一項(xiàng)下標(biāo)的序號(hào),注定義中的正數(shù)

是一個(gè)任意小的數(shù),不能把它和一列是發(fā)散的.個(gè)很小的數(shù)混為一談.表示自該項(xiàng)以后的所有項(xiàng).四、極限的幾何意義

設(shè)數(shù)列收斂于

,則由定義,對(duì)任意給定的正數(shù)

,一定存在正整數(shù)

當(dāng)時(shí),所有的都落在aa+

a-

x1x2x3xN+1xN+2xN+3xNx一個(gè)以

為中心,

為半徑的鄰域中.五、例數(shù)列極限的定義實(shí)際上也給出了證明極限的方法:即對(duì)給定的任意正數(shù)

,去尋找滿足不等式的.尋找辦法是從經(jīng)過(guò)不等式的變形,逐步解出

.例5證明數(shù)列要使證記取,則當(dāng)

時(shí),有的極限是1.則對(duì)任意的所以例6證明證任取因故取,則當(dāng)時(shí),有即例7證明取,則當(dāng)時(shí),有證任取因所以所以例8設(shè)

證明.欲使即取當(dāng)時(shí),有證任取因取整六、數(shù)列極限的性質(zhì)收斂的數(shù)列有很多重要性質(zhì),對(duì)這些性質(zhì),大家更要從幾何直觀上加以理解和把握.定理1（極限的惟一性）如果數(shù)列收斂,則極限是惟一的.證由定義,取

設(shè)當(dāng)時(shí)有因?yàn)楣式褡C設(shè)同理,

當(dāng)時(shí)有取則當(dāng)時(shí)有,所以矛盾!惟一性的幾何解釋屬于兩個(gè)不交的集合定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂,則數(shù)列一定有界.證設(shè)由定義,對(duì)存在當(dāng)時(shí),有令則對(duì)于任意的總有有界了嗎?因而數(shù)列有界.定理3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果則一定存在正整數(shù)且當(dāng)時(shí)有證設(shè)由極限定義知存在當(dāng)時(shí)有在數(shù)列中,任意抽取無(wú)限多項(xiàng),并保持這些