概率論與數(shù)理統(tǒng)計：ch4 隨機變量的數(shù)字特征

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)期望 方差、變異系數(shù) 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)其它數(shù)字特征

第四章隨機變量的數(shù)字特征1問題的提出： 在一些實際問題中，我們需要了解隨機變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機變量的某些特征例：

在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的 偏離程度；

考察杭州市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度。2試問哪個射手技術(shù)較好?例:誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手3

解：計算甲的平均成績：

計算乙的平均成績：

所以甲的成績好于乙的成績。

4定義：數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。§1數(shù)學(xué)期望5定義：6

例：7

例：一種常見的賭博游戲,其規(guī)則為:投擲一顆均勻的骰子，賭客猜精確的骰子點數(shù),凡猜中者以1比5得到獎金,否則其押金歸莊家所有,問此規(guī)則對莊家還是賭客更有利?8解：顯然猜中點數(shù)的概率為1/6.不妨設(shè)一賭徒押了10元,那么根據(jù)規(guī)則,他收回50元的可能性為1/6,有5/6的可能性是血本無歸.因此經(jīng)過一次賭博,他能"期望"得到的金額為:9

例：10

例：

解:11

例：某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品,其壽命(單位:年)服從指數(shù)分布,概率密度函數(shù)為若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為350元,出售價格為

500元,并向顧客承諾,如果售出一年之內(nèi)發(fā)生故障,則免費調(diào)換一件;如果在一到三年間發(fā)生故障,

則予以免費維修,維修成本為50元.在這樣的價格體系下,請問:該廠每售出一件產(chǎn)品,其平均凈收入為多少?

12解：記某件產(chǎn)品壽命為X(年),售出一件產(chǎn)品的凈收入為

Y(元)，則由于X服從指數(shù)分布，那么13即Y的分布律為Y

-200100150P因此售出一件產(chǎn)品的平均凈收入為14

例：設(shè)一臺機器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為

0.2，機器發(fā)生故障時全天停工。若一周5個工作日里無故障，可獲利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2

次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？ 15解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù)，設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則Y-20510P0.0570.2050.4100.32816

17解：由Y的定義知其分布函數(shù)為可見Y既不是離散型的隨機變量,也不是連續(xù)型的隨機變量.

例：18隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：19202122

例：2324

例：設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為：

X=125

例：設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為：

X=1262728設(shè)按季節(jié)出售的某種應(yīng)時產(chǎn)品的銷售量X(單位:噸)是一個服從[5,10]上的均勻分布的隨機變量.若銷售出一噸產(chǎn)品可盈利C1=2萬元;但若在銷售季節(jié)未能售完,造成積壓,則每噸產(chǎn)品將會凈虧損C2=0.5萬元.若該廠家需要提前生產(chǎn)該種商品,為使廠家能獲得最大的期望利潤,問:應(yīng)在該季生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品最為合適?極值問題的求解例：29解：設(shè)應(yīng)在該季生產(chǎn)a噸產(chǎn)品，所獲利潤為Y萬元，則Y依賴于銷售量X及產(chǎn)量a，

30數(shù)學(xué)期望的特性：

31數(shù)學(xué)期望的特性：

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況32例：3334

例：一民航送客車載有20位旅客自機場出發(fā)，旅客有10個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就不停車，以X表示停車的次數(shù)，求

(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨立)35本題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。

解：引入隨機變量：

36

例：37§2方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時，另一半約1050小時→平均壽命為1000小時；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時，另一半約700小時→平均壽命為1000小時；問題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？ 單從平均壽命這一指標無法判斷，進一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。

方差─正是體現(xiàn)這種意義的數(shù)學(xué)特征。38定義：39對于離散型隨機變量X，對于連續(xù)型隨機變量X，40此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差的計算公式：41

例：設(shè)隨機變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：42

例：解：

43

例：解：X的概率密度為：44

例：設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度為：45方差的性質(zhì)：

46方差的性質(zhì)：

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個獨立隨機變量線性組合的情況47

例：Xkpk011-pp4849

例：解：5051表1幾種常見分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望方差

分布率或密度函數(shù)分布0－1分布

pp(1-p)二項分布b(n,p)

npnp(1-p)泊松分布

均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布5253例：設(shè)活塞的直徑(以cm計) 汽缸的直徑 X,Y相互獨 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。54定義：設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望55§3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

對于二維隨機變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。定義：

56協(xié)方差的計算公式：方差性質(zhì)的補充：這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量之和的情況57協(xié)方差的性質(zhì)：思考題：58

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：說明：59續(xù)6061626364

例：設(shè)X,Y服從同一分布，其分布律為：

X-101

P1/41/21/4

已知,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否不獨立？6566

續(xù)676