2017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽12

72017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽12一試考試時間上午8：00~9：20，共80分鐘，滿分120分一、填空題（此題滿分64分，每題8分）loga2009loga2009loga20091.設(shè)a1,a2,,a10(1,)，則1210的最小值是。loga2009aa1210已知x,yN*，且12y1992x12.9，則將y表示成x的函數(shù)，其解析式是y。3.已知函數(shù)f(x)|x22|，若f(a)f(b)，且0ab，則ab的取值范圍是。4.知足方程log2[2cos2(xy)1]y2y3的全部實數(shù)對(x,y)。2cos2(xy)45.若[a]表示不超出實數(shù)a的最大整數(shù)，則方程[tanx]2sin2x的解是。6.不等式22x32xx422x的解集是。7.設(shè)A是由不超出2009的全部正整數(shù)組成的會合，即A{1,2,,2009}，會合LA，且L中隨意兩個不一樣元素之差都不等于4，則會合L元素個數(shù)的最大可能值是。給出一個凸10邊形及其全部對角線，在以該凸10邊形的極點及全部對角線的交點為極點的三角形中，起碼有兩個極點是該凸10邊形極點的三角形有個。二、解答題9.（此題滿分16分）設(shè)函數(shù)f(x)定義于區(qū)間[0,1]，知足f(0)0,f(1)1，且對隨意x,y[0,1],xy，都有f(xy)(1a2)f(x)a2f(y)，此中常數(shù)a知足0a1，2求a的值。10.（此題滿分20分）如圖，A是雙曲線x2y21的右頂y4點，過點A的兩條相互垂直的直線分別與雙曲線的右支交于點M,N，問直線MN能否必定過x軸上必定點？假如不存在這樣的定點，請說明原因；假如存在這樣的定點P試求出這個定點P的坐標。

MOAxN11.（此題滿分20分）設(shè)正整數(shù)組成的數(shù)列{an}使得a10k9a10k8a10k19對全部jkN*恒建立。記該數(shù)列若干連續(xù)項的和ap為S(i,j)，此中i,jN*，且ij。求pi1證：全部S(i,j)組成的會合等于N*。第1頁72017年全國高中數(shù)學聯(lián)賽12參照答案一、1、100；2、3x1；3、(0,2)；4、+,1Z)2225、xk或xl(k,lZ)；6、[0,4]；7、1005；8、960。41二、9、解：因為f(1)f(01)a2，f(1)0a2f(1)2f(22)a21242311f()f(22)(1a2)f()a2f(1)2a2a44132因此f(1)f(44)(1a2)f(1)a2f(3)2a63a48分2244由此得a22a63a4，而0a1，因此a214分210、解法一：A(2,0)，將y軸向右平移2個單位，使點A成為新直角坐標系的原點，在新坐標系下，雙曲線的方程為(x'2)2y21，即4y2x'24x'0(*)4x'，代入（*）式可得M(4,4)，從而N(4,4)。若MNx軸，則kAM1，即lAM:y因此P(4,0)，則點P在原坐標系中的坐標為(10,0)。33335分33若MN不垂直x軸，設(shè)lMN:ykx't(t0)ykx'1，，則t于是（*）能夠改寫成4y2x'24x'ykx'0，即4t(y)24(y)4kt0tx'x'該方程的兩個根k1,k2既是AM,AN的斜率。因為AMAN，因此k1k24kt1，10分4t因此t4k，故lMN:ykx'4kk(x'4)333因此過定點P(4,0)，則點P在原坐標系中的坐標為(10,0)。33綜上所述，直線MN過x軸上的定點P(10,0)14分31,k解法二：設(shè)直線AM的斜率為k(k0,k2)2x24y24M(8k22,4k2k28,4k由yk(x2)4k212)，同理得N(k2k2)4k144當k1時，xMxN10，因此過(10,0)8分33第2頁7當k1,k2,k1時，由直線MN的方程得，yk'(x10)10分23因此，直線MN過x軸上的定點P(10,0)14分11證明：明顯S(i,j)N*32分下證對隨意n0N*，存在S(i,j)n0用Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，考慮10n010個前n項和：S1S2S10n010（1）由題設(shè)S10(aaa)(aa)(a1a10)6分10n01210112010n10n00此外，再考慮以下10n010個正整數(shù)：S1n0S2n0S10n010n0（2）明顯S10n010n020n01910分這樣（1），（2）中出現(xiàn)20n020個正整數(shù)，都不超出20n019，由抽屜原理，必有兩