考研學(xué)習(xí)-船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)

§2.2矩形板的彎曲理論2.2.1概述2.2.2板的筒形彎曲2.2.3剛性板的彎曲微分方程式2.2.4剛性板彎曲的解2.2.5板彎曲理論的應(yīng)用實(shí)例船體板彎曲問題四周支持于骨架的矩形平板；不考慮連續(xù)板——〉不同邊界矩形平板彎曲的應(yīng)力與變形問題主要應(yīng)力：彎曲正應(yīng)力；主要變形：撓度屬薄板范疇海船甲板和外板，艙壁板

2.2.1概述應(yīng)力不計(jì)sz（遠(yuǎn)小于另兩方向正應(yīng)力）應(yīng)變不計(jì)z方向擠壓，平斷面假定板的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)圖2-35應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一般兩個(gè)方向彎曲，較梁彎曲復(fù)雜；最簡單情況筒形彎曲(2-99)2.2.2板的筒形彎曲（1）筒形板的橫彎曲（一般彎曲）筒形彎曲條件邊長比載荷筒形板變形特點(diǎn)取板條梁跨長？約束？筒形板的橫彎曲（一般彎曲）與梁彎曲的異同

板條梁令

D為彎曲剛度（筒形剛度）板條梁彎曲微分方程：(a)板條梁(b)普通梁板條梁計(jì)算根據(jù)板的長短邊之比和外載確定是否筒形彎曲；取板條梁（?。挥?jì)算彎曲剛度；查彎曲要素表，EI以彎曲剛度代替；計(jì)算變形和應(yīng)力。關(guān)于量綱筒形板的橫彎曲（一般彎曲）彎曲微分方程式梁的復(fù)雜彎曲要素表（附錄B）

查表求輔助函數(shù)值，進(jìn)而求彎曲要素橫骨架式甲板板和船底板筒形板的復(fù)雜彎曲板條梁的總應(yīng)力彎曲應(yīng)力與中面應(yīng)力的代數(shù)和最大在板表面=+板對中面力的敏感性（u≥0.5）中面力的影響，算例三個(gè)結(jié)論中面力對板承載的作用無中面力時(shí)，變形應(yīng)力大?無法承受中面壓力?支座無法自由趨近板拉長產(chǎn)生中面拉力（不可忽視）大撓度彎曲筒形板的復(fù)雜彎曲變形情況如左微段其伸長整個(gè)板條梁的伸長考慮支座完全不可趨近筒形板的大撓度彎曲考慮應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，有上式聯(lián)系了T和w的關(guān)系，但T未知，需結(jié)合復(fù)雜彎曲微分方程求解兩種邊界條件下大撓度彎曲查圖（2-41）和（2-42）計(jì)算筒形板的大撓度彎曲計(jì)算步驟計(jì)算U（泊松比?。┯?jì)算根據(jù)支座和上述計(jì)算值查曲線得u值計(jì)算中面力和彎曲要素筒形板的大撓度彎曲曲線A-u由0到4；曲線B-u由4到8；曲線C-u由8到12圖2-41大撓度影響例子實(shí)際情況支撐系數(shù)K；K=1，0<K<1，K=0；一般取K=0.5不需考慮彎曲產(chǎn)生中面力的條件：u≤0.5僅受橫荷重時(shí)最大撓度小于板厚的1/5筒形板的大撓度彎曲板的分類剛性板板小撓度變形；或同時(shí)承受中面力但u≤0.5較小柔性板外加中面力（u>0.5）的小撓度板；或無中面力，但大撓度薄膜復(fù)合情況：承受中面力（u>0.5）+大撓度2.2.3剛性板的彎曲微分方程式矩形板的一般彎曲（只有橫荷重，不考慮中面力的影響沒有中面力，也不考慮中面變形產(chǎn)生的中面力）

坐標(biāo)系統(tǒng)如左xoy面位于中面z向下a,b基本假定直法線假定（變形前垂直于中面的法線，變形后仍為直線，且變形前在中面法線上的點(diǎn)變形后距中面的距離不變）三個(gè)應(yīng)變分量為零z方向應(yīng)力分量忽略不計(jì)一個(gè)應(yīng)力分量為零不計(jì)板中面變形（剛性板特征）

彎曲微分方程式應(yīng)變與位移的關(guān)系（幾何關(guān)系）應(yīng)變矢量圖2-44彎曲微分方程式應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系（物理方程）應(yīng)力由位移給出的表達(dá)式板單位寬度斷面上的力和力矩微塊和——〉單位寬度力和力矩彎曲微分方程式圖2-45中面單位寬度力和力矩與應(yīng)力的關(guān)系（兩剪應(yīng)力在平衡條件中有作用）彎曲微分方程式中面單位寬度力和力矩與撓度的關(guān)系

彎曲微分方程式可記為

[D]為彈性矩陣

靜力平衡條件彎曲微分方程式合力矩為零(oy,ox軸)；z方向合力為零。

圖2-46彎曲微分方程式一般彎曲平衡彎曲微分方程式（聯(lián)系撓度和外載）剪力和撓度的關(guān)系（式2-133彎矩扭矩和撓度的關(guān)系）彎曲微分方程式彎曲平衡彎曲微分方程式加邊界條件求解板彎曲應(yīng)力邊界條件自由支持在剛性周界上圖2-47邊界條件剛性固定在剛性周界上圖2-48

邊界條件板的邊緣（y=b)為自由邊（彎矩，剪力，扭矩都為零——〉剪力和扭矩條件和并）懸空角點(diǎn)x=a,y=b已知外荷重，板的尺寸，材料，邊界根據(jù)（2-140）求撓度，進(jìn)而求應(yīng)力

應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲根據(jù)邊界條件解答寫為雙三角級數(shù)形式2.2.4剛性板彎曲的解級數(shù)滿足邊界條件，代入微分方程式（2-140）有應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲

外載也寫成雙三角級數(shù)的形式（傅里葉變換）其中qmn為傅里葉系數(shù)應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲

故有所以Amn則得撓曲面方程式（2-154）應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲解答1：均布荷重q0撓曲面應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲將集中力P化作分布力求解則解答2：板上受集中力P，集中力作用于（x，h）應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲當(dāng)dx和dh趨于零時(shí)撓曲面解答2：板上受集中力P，集中力作用于（x，h）應(yīng)用雙三角級數(shù)解四邊自由支持板的彎曲位移互等原理納維葉解應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊（x=0,a)自由支持,另一對邊任意固定板的彎曲根據(jù)邊界條件解答寫為單三角級數(shù)形式其中fm(y)為y的任意函數(shù)，由平衡方程式及（y=0,b)邊界條件決定應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲級數(shù)代入微分方程式（2-140）有應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲外載也寫成單三角級數(shù)的形式其中應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲故有將關(guān)于x,y的偏微分方程化為變量y的常微分方程——〉分離變量法上式解答由它的一個(gè)特解以及齊次方程的通解組成應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲一般解為其中Fm(y)為特解。積分常數(shù)可由邊界條件確定。應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲對稱性——〉奇函數(shù)系數(shù)為零特解解答1：一對邊自由支持，另一對邊剛性固定，均布荷重q0應(yīng)用單三角級數(shù)解一對邊自由支持板的彎曲

也就是解得解答1：一對邊自由支持，另一對邊剛性固定，均布荷