《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第六章正交設(shè)計(jì)

?數(shù)理統(tǒng)計(jì)?第六章正交設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的就是為了試驗(yàn)優(yōu)化.試驗(yàn)優(yōu)化由于具有設(shè)計(jì)靈活、計(jì)算簡便、試驗(yàn)次數(shù)少、優(yōu)化成果多、可靠性高以及適用面廣等特點(diǎn)，因而開展迅速，應(yīng)用廣泛，已成為多快好省地獲取試驗(yàn)信息的現(xiàn)代通用技術(shù)，成為科學(xué)實(shí)驗(yàn)、質(zhì)量管理的一個(gè)科學(xué)工具?！?正交設(shè)計(jì)一、問題的提出--多因素的試驗(yàn)問題二、正交設(shè)計(jì)的開展三、根本概念四、正交表的符號(hào)及其特點(diǎn)五、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的步驟六、無交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差分析七、有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差分析八、多指標(biāo)問題九、水平數(shù)不同的正交表的使用例6.1.1為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個(gè)有關(guān)的因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反響溫度〔A〕，反響時(shí)間〔B〕，用堿量〔C〕，并確定了它們的試驗(yàn)范圍：A：80-90℃B：90-150MinC：5-7%試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蛩谹、B、C對轉(zhuǎn)化率的影響，哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗(yàn)方案?！?.1正交設(shè)計(jì)一、問題的提出--多因素的試驗(yàn)問題6這里，對因素A、B、C在試驗(yàn)范圍內(nèi)分別選取三個(gè)水平A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃B：B1＝90Min、B2＝120Min、B3＝150MinC：C1＝5%、C2＝6%、C3＝7%試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，因素可以是定量的，也可以是定性的。而定量因素各水平間的距離可以相等也可以不等。7取三因素三水平，通常有兩種試驗(yàn)方法：〔1〕全面實(shí)驗(yàn)法：A1B1C1 A2B1C1 A3B1C1A1B1C2 A2B1C2 A3B1C2A1B1C3 A2B1C3 A3B1C3A1B2C1 A2B2C1 A3B2C1A1B2C2 A2B2C2 A3B2C2A1B2C3 A2B2C3 A3B2C3A1B3C1 A2B3C1 A3B3C1A1B3C2 A2B3C2 A3B3C2A1B3C3 A2B3C3 A3B3C3共有33=27次試驗(yàn)，如下圖，立方體包含了27個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別表示27次試驗(yàn)。A1A2A3B3B2B1C1C2C38全面試驗(yàn)法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：對各因素于試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系剖析得比較清楚缺點(diǎn)：(1)試驗(yàn)次數(shù)太多，費(fèi)時(shí)、費(fèi)事，當(dāng)因素水平比較多時(shí)，試驗(yàn)無法完成。(2)不做重復(fù)試驗(yàn)無法估計(jì)誤差。(3)無法區(qū)分因素的主次。例如選六個(gè)因素，每個(gè)因素選五個(gè)水平時(shí)，全面試驗(yàn)的數(shù)目是56＝15625次。又如，1978年，七機(jī)部由于導(dǎo)彈設(shè)計(jì)的要求，提出了一個(gè)五因素的試驗(yàn)，希望每個(gè)因素的水平數(shù)要多于10，此時(shí)靠全面試驗(yàn)法是無法完成的。9如果得出結(jié)果B2最好，那么固定B于B2，A于A3，使C變化，那么：如果得出結(jié)果A3最好，那么固定A于A3，C還是C1，使B變化，那么：如果試驗(yàn)結(jié)果以C2最好。于是得出最正確工藝條件為A3B2C2A1B1C1A2A3(好結(jié)果)B1A3C1B2(好結(jié)果)B3C1A3B2C2(好結(jié)果)C3A1A2A3B3B2B1C1C2C3簡單比較法的試驗(yàn)點(diǎn)〔2〕簡單比較法變化一個(gè)因素而固定其它因素，如首先固定B、C于B1、C1，使A變化之，那么：10缺點(diǎn)：1〕看起來好象是做了9次試驗(yàn)，但實(shí)際上只是7次，因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)各做了兩次。2〕各因素，各水平出現(xiàn)的時(shí)機(jī)不等。3〕C2是在A1B1條件下最好，但其他條件下是否好，未做試驗(yàn)，因此是不是最正確，并不確定。4〕當(dāng)因素間交互作用影響比較大時(shí)，就不一定是各種條件因素的最好的搭配組合。5〕用這種方法安排試驗(yàn)，如不重復(fù)做試驗(yàn)，是給不出誤差估計(jì)的，因此，同樣的試驗(yàn)次數(shù)，提供信息不多。11簡單比較法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：試驗(yàn)次數(shù)少缺點(diǎn)：〔1〕試驗(yàn)點(diǎn)不具代表性?？疾斓囊蛩厮絻H局限于局部區(qū)域，不能全面地反映因素的全面情況?！?〕無法分清因素的主次?！?〕如果不進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)誤差就估計(jì)不出來，因此無法確定最正確分析條件的精度?！?〕無法利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，提出展望好條件。122.拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)均衡分布思想，雖然遠(yuǎn)在古代就有，但只是在近代才與生產(chǎn)科研實(shí)際相結(jié)合，產(chǎn)生了拉丁方、正交表，顯示出它的巨大威力。18世紀(jì)的歐洲，普魯士弗里德里?！ね馈?712一1786〕要舉行一次與往常不同的6列方隊(duì)閱兵式。他要求每個(gè)方隊(duì)的行和列都要由6種部隊(duì)的6種軍官組成，不得有重復(fù)和空缺。這樣．在每個(gè)6列方隊(duì)中，部隊(duì)軍官在行和列全部排列均衡。群臣們冥思苦想，竟無一人能排出這種方隊(duì)。后來，向當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家歐拉〔1707—1783〕請教，由此引起了數(shù)學(xué)家們的極大興趣，致使各種拉丁方問世。13正交拉丁方法正交試驗(yàn)法就是在正交拉丁方法的根底上開展起來的。正交拉丁方是指由拉丁字母組成的正方形中，其每一行，每一列內(nèi)都沒有重復(fù)的字母。例如下面兩個(gè)就是44拉丁方。ABCDABCDBADCBCDACDBACDABDCABDABC14洛書二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。這是世界上最古老的幻方。它的三條縱行、三條橫行、兩條對角線上三個(gè)數(shù)字之和都是十五。四九二三五七八一六15拉丁方其它形式表示例如因素C的33拉丁方，可寫成

C1C2C3C2C3C1

C3C1C2

利用上述拉丁方就可以把試驗(yàn)安排得很均衡。例如下表的試驗(yàn)。 B1 B2 B3A1A1B1C1 A1B2C2 A1B3C3A2A2B1C2 A2B2C3 A2B3C1

A3A3B1C3 A3B2C1 A3B3C2

16正交設(shè)計(jì)在多因素試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，已被廣泛使用的正交設(shè)計(jì)法(orthogonaldesign)，是一種既能減少試驗(yàn)次數(shù)，又能獲得可靠結(jié)果的多因素的優(yōu)選方法。正交設(shè)計(jì)是利用一套規(guī)格化的表格來安排試驗(yàn)。這種表就叫正交表(orthogonallayout)。正交的含義是指兩列向量的數(shù)量積等于零，它有著搭配均衡的特性。在正交表中，任意兩列的搭配都是均衡的。172021年度國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)勵(lì)大會(huì)日前在北京舉行，香港浸會(huì)大學(xué)榮休教授方開泰和中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院王元院士合作研究逾30年的“均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的理論、方法及其應(yīng)用〞，獲頒國家自然科學(xué)獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。18均勻設(shè)計(jì)最先運(yùn)用在軍事工業(yè)上〔我國導(dǎo)彈設(shè)計(jì)〕，后來在石油、化工、生物以及科學(xué)計(jì)算等高新產(chǎn)業(yè)上也獲得成功應(yīng)用。著名汽車品牌福特汽車在開發(fā)6汽缸汽車引擎時(shí)，便應(yīng)用了均勻設(shè)計(jì)，其后該理論更成為福特汽車計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)的常規(guī)方法。東北制藥總廠為了使數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在工業(yè)參數(shù)優(yōu)化中發(fā)揮更多的作用，成立了優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用研究室，將各種實(shí)用的數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，供科研和生產(chǎn)應(yīng)用。為此研制出“均勻設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)調(diào)優(yōu)軟件包〞，用這一技術(shù)完成十幾項(xiàng)科研和生產(chǎn)課題，創(chuàng)百萬元以上的經(jīng)濟(jì)效益。1993年“均勻設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)調(diào)優(yōu)技術(shù)應(yīng)用〞通過國家醫(yī)藥管理局的技術(shù)鑒定，1994年列入全國醫(yī)藥行業(yè)“八五〞科技推廣工程。19正交試驗(yàn)的提出：考慮兼顧全面試驗(yàn)法和簡單比較法的優(yōu)點(diǎn)，利用根據(jù)數(shù)學(xué)原理制作好的規(guī)格化表－－正交表來設(shè)計(jì)試驗(yàn)不失為一種上策。用正交表來安排試驗(yàn)及分析試驗(yàn)結(jié)果，這種方法叫做正交試驗(yàn)法。事實(shí)上，正交最優(yōu)化方法的優(yōu)點(diǎn)不僅表現(xiàn)在試驗(yàn)的設(shè)計(jì)上，更表現(xiàn)在對試驗(yàn)結(jié)果的處理上。用正交表安排試驗(yàn)時(shí)，對于例6.1.1：A1A2A3B3B2B1C1C2C3123654789用正交試驗(yàn)法安排試驗(yàn)只需要9次試驗(yàn)20二、正交設(shè)計(jì)的開展20世紀(jì)30年代，費(fèi)希爾在試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面做出了一系列先驅(qū)性的奉獻(xiàn)。20世紀(jì)上半葉，正交設(shè)計(jì)方法已經(jīng)在數(shù)學(xué)界中提出。到40年代后期，日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家田口玄一博士首次將正交設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到日本的機(jī)試驗(yàn)上。到1970年，日本已經(jīng)成功使用正交設(shè)計(jì)方法100萬次以上。20世紀(jì)70年代以來，我國應(yīng)用正交設(shè)計(jì)取得一大批優(yōu)秀成果。中國數(shù)學(xué)家張里千教授創(chuàng)造了中國型正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法。211指標(biāo)●定義：在試驗(yàn)中，根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康亩_定的衡量試驗(yàn)結(jié)果的特征量稱為指標(biāo)。它可以是產(chǎn)品的質(zhì)量參數(shù)〔重量、尺寸、速度、溫度、壽命、硬度、精度…〕，也可以是本錢、數(shù)量、效率等?！穹诸悾憾恐笜?biāo)定性指標(biāo)●在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，通常采用將定性指標(biāo)定量化的方法〔如評(píng)分法〕將定性指標(biāo)化為定量指標(biāo)進(jìn)行考核和分析望大值望小值望目值定量指標(biāo)三、根本概念222因素●定義：在試驗(yàn)中，影響試驗(yàn)結(jié)果的試驗(yàn)條件稱為因素●分類：可控因素：在試驗(yàn)中可以人為地加以調(diào)節(jié)和控制的因素。不可控因素：由于自然、技術(shù)和設(shè)備等條件的限制，暫時(shí)還不能為人們控制和調(diào)節(jié)的因素。如氣溫、降雨量等●在正交試驗(yàn)中，所考察的因素都是可控因素，被考察因素通常以大寫英文字母A、B、C…表示。因素在試驗(yàn)中所處的各種狀態(tài)和條件稱為因素的水平。在試驗(yàn)中往往要考慮某因素的幾種狀態(tài)，那么就稱該因素為幾水平因素3水平：23正交表是一種特別的表格，是正交設(shè)計(jì)的根本工具。我們只介紹它的記號(hào)、特點(diǎn)和使用方法。四、正交表的記號(hào)及含義、特點(diǎn)記號(hào)及含義正交表的列數(shù)（最多能安排的因素個(gè)數(shù)，包括交互作用、誤差等）正交表的行數(shù)（需要做的試驗(yàn)次數(shù)）各因素的水平數(shù)（各因素的水平數(shù)相等）r正交表的代號(hào)24如表示？表示各因素的水平數(shù)為2，做8次試驗(yàn)，最多考慮7個(gè)因素〔含交互作用〕的正交表。25(1)任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等(2)任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相等正交表的特點(diǎn)：26(1)任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等(2)任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相等正交表的特點(diǎn)：列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234123456789111222333123123123123231312123312231L9(34)27根據(jù)以上兩個(gè)特性，我們用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散和整齊可比的特點(diǎn)。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均勻的。由圖12-2可以看出，在立方體中，任一平面內(nèi)都包含3個(gè)“(·)〞，任一直線上都包含1個(gè)“(·)〞，因此，這些點(diǎn)代表性強(qiáng)，能夠較好地反映全面試驗(yàn)的情況。28五、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的根本步驟確定目標(biāo)、選定因素〔包括交互作用〕、確定水平；2.選用適宜的正交表；3.按選定的正交表設(shè)計(jì)表頭，確定試驗(yàn)方案；1)因素隨機(jī)上列2)水平對號(hào)入座4.組織實(shí)施試驗(yàn)；5.試驗(yàn)結(jié)果分析。29為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個(gè)有關(guān)的因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反響溫度〔A〕，反響時(shí)間〔B〕，用堿量〔C〕，并確定了它們的試驗(yàn)范圍：A：80-90℃B：90-150MinC：5-7%假設(shè)三個(gè)因素任意兩個(gè)之間無交互作用，試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蛩谹、B、C對轉(zhuǎn)化率的影響，哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗(yàn)方案1、明確試驗(yàn)的目的，確定考核指標(biāo)。六、無交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差分析302、挑因素，選水平。影響試驗(yàn)結(jié)果的因素很多，我們不可能把所有影響因素通過一次試驗(yàn)都予以研究，只能根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，挑選和確定假設(shè)干對試驗(yàn)指標(biāo)影響最大、有較大經(jīng)濟(jì)意義而又了解不夠清楚的因素來研究。同時(shí)還應(yīng)根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)知識(shí)，定出各因素適宜的水平，列出因素水平表。313、選擇適宜的正交表確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇適宜的正交表。選用正交表的原那么是：既要能安排下試驗(yàn)的全部因素，又要使局部水平組合數(shù)〔處理數(shù)〕盡可能地少。一般情況下，試驗(yàn)因素的水平數(shù)應(yīng)恰好等于正交表記號(hào)中括號(hào)內(nèi)的底數(shù)；因素的個(gè)數(shù)〔包括交互作用〕應(yīng)不大于正交表記號(hào)中括號(hào)內(nèi)的指數(shù)；此例有3個(gè)3水平因素，假設(shè)不考察交互作用三水平正交表L9(34)、L27(313)32列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234123456789111222333123123123123231312123312231334、用正交表安排試驗(yàn)34假定因素A,B,C沒有交互作用。設(shè)因素A在水平因素B在水平效應(yīng)表示一個(gè)因素在某種水平上與總體平均數(shù)的偏差。上的效應(yīng)分別為上的效應(yīng)分別為因素C在水平上的效應(yīng)分別為數(shù)學(xué)模型：35約束條件36列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123(A)(B)(C)組合水平試驗(yàn)值111

332

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678937檢驗(yàn)假設(shè)記分別表示因素A在1,2,3水平上試驗(yàn)值的平均數(shù)。38列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123(A)(B)(C)組合水平試驗(yàn)值111

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12345

678939令=>因素B在1,2,3水平上試驗(yàn)值的平均數(shù)分別為=>因素C在1,2,3水平上試驗(yàn)值的平均數(shù)分別為令40試驗(yàn)號(hào)轉(zhuǎn)化率化工產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率的試驗(yàn)值41=>試驗(yàn)值的平均值由轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)值,計(jì)算得42試驗(yàn)值的平均值=>因素A的極差為因素B的極差為因素C的極差為=>因素A對轉(zhuǎn)化率的影響最大因素B對轉(zhuǎn)化率的影響最小435、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的常規(guī)分析法1、看一看列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234yi1111131212225431333384212353522314962312427313257832136293321641水平導(dǎo)致結(jié)果之和Kj12水平導(dǎo)致結(jié)果之和Kj23水平導(dǎo)致結(jié)果之和Kj3極差ΔK2、算一算畫水平影響趨勢圖44Ayi水平76150120909085805BC15012011010014013016017018019045正交試驗(yàn)的方差分析法設(shè)因素A在水平因素B在水平上的效應(yīng)分別為上的效應(yīng)分別為因素C在水平上的效應(yīng)分別為數(shù)學(xué)模型：46約束條件47檢驗(yàn)假設(shè)記樣本總平均總離差平方和4849——因素A引起的離差平方和——因素B引起的離差平方和——因素C引起的離差平方和——誤差平方和記506、正交試驗(yàn)方差分析的根本方法因素試驗(yàn)號(hào)AB……試驗(yàn)結(jié)果123....n1.12.2.rKj1Kj2..Kjr1)總的變差平方和自由度51因素試驗(yàn)號(hào)AB……試驗(yàn)結(jié)果123....n1.12.2.rKj1Kj2..Kjr2)各列的變差平方和設(shè)A有r個(gè)水平，每個(gè)水平試驗(yàn)次數(shù)為k，k個(gè)52的自由度為2同理，的自由度為2，有一個(gè)約束條件的自由度為2有一個(gè)約束條件的自由度為88–2–2–2=2的自由度為53定理相互獨(dú)立。〔2〕當(dāng)推論當(dāng)成立時(shí)，成立時(shí)，54給定顯著水平α，H01的拒絕域?yàn)镠02的拒絕域?yàn)镠03的拒絕域?yàn)?5來源離差自由度均方來源F值A(chǔ)SA2BSB2CSC2誤差S誤2總和ST8方差分析表563)方差分析總的變差平方和自由度因素j引起的的變差平方和,自由度:〔r為水平數(shù)〕試驗(yàn)的誤差平方和〔即空列〕,自由度:判斷j因素是否顯著。57例1為了考察影響某種化工產(chǎn)品轉(zhuǎn)化率的因素，選擇三個(gè)有關(guān)因素：反響溫度〔A〕、反響時(shí)間〔B〕、用堿量〔C〕每個(gè)因素取三種水平，列表如下：水平因素123反應(yīng)溫度（A）反應(yīng)時(shí)間（B）用堿量（C）58解計(jì)算值的方差分析表如下來源離差自由度均方來源值總和誤差給定α=5%，查表得=>反響溫度對轉(zhuǎn)化率有顯著影響；反響時(shí)間與用堿量對轉(zhuǎn)化率無顯著影響。59但有些因子的作用明顯不顯著，因此那些因子所在的列的也應(yīng)當(dāng)作為誤差平方和來考慮，通常比較,的大小,當(dāng)時(shí)就把它當(dāng)成誤差平方和，假設(shè)有假設(shè)干列皆如此，就把這列的誤差平方和全部加起來，將它們與誤差平方和并在一起作為新的誤差平方和。相應(yīng)的自由度也并入。再對其它因素作F檢驗(yàn)。也應(yīng)當(dāng)作為誤差平方和來考慮60極差ΔK3水平導(dǎo)致結(jié)果之和Kj32水平導(dǎo)致結(jié)果之和Kj21水平導(dǎo)致結(jié)果之和Kj16412339623123857231374221326491322553321243833313542221231yi111114321列號(hào)試驗(yàn)號(hào)614)注意這個(gè)組合方案并不在作過的9個(gè)試驗(yàn)當(dāng)中.1)因子B作用不顯著,從節(jié)約角度不妨選擇B1(90min)2)A的作用顯著,C的作用比較顯著;3)較優(yōu)的生產(chǎn)方案為A3C2B2.622.考慮交互作用的正交設(shè)計(jì)現(xiàn)在考慮因素之間的交互作用。設(shè)有因素因素A,B的交互作用記為A×B，因素B,C的交互作用記為B×C，63例2某廠在梳棉機(jī)上紡粘綿混紡紗，要考察金屬針布(A)、產(chǎn)量水平(B)、錫林速度(C)對棉結(jié)粒數(shù)有無顯著作用。假設(shè)每個(gè)因素?cái)?shù)取二種水平，列表如下：水平因素12金屬針布(A）日本的青島的產(chǎn)量水平(B)6公斤8公斤錫林速度(C)238轉(zhuǎn)/分320轉(zhuǎn)/分64解第一步：選擇適當(dāng)?shù)恼槐磉@是一個(gè)三因素兩水平的正交試驗(yàn)及分析問題，因此要選擇型的表，且考慮交互作用時(shí)，，仍然是滿足條件的最小的正交表，所以選用正交表注：也可由試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)滿足的條件來選擇正交表。假設(shè)考慮A與B、A與C的交互作用，那么，而是滿足條件的最小的正交表，所以還可選用正交表65第二步表頭設(shè)計(jì)——查交互作用表表示位于第二、第四列的兩因素的交互作用要放于第六列。如

L8（27）的交互作用表列號(hào)12345671（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）1注意：主效應(yīng)因素盡量不放交互列。如A、B因素已放C1、C2列，那么C因素就不放C3列。66考慮交互作用，選用正交表在正交表的表頭上，二個(gè)因素的交互作用的位置根據(jù)它們所處的列號(hào)而定。列號(hào)1234567因素ABA×BCA×CB×C在這個(gè)正交表中，按第1,2,4列的組合水平進(jìn)行試驗(yàn)，得試驗(yàn)結(jié)果。67ABC試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)值水平正交表68，見下表。ABC試驗(yàn)號(hào)試驗(yàn)值水平KWPUS69表中70的表達(dá)式中，系數(shù)的分母4是指在每一種水平上的試驗(yàn)次數(shù)，即為n/s。又在二水平情形，計(jì)算尚有簡化公式71在不考慮交互作用情形也可用前三個(gè)簡化公式。計(jì)算的值可用以下方差分析表。72均方分析表來源離差自由度均方離差F值A(chǔ)BC誤差總和73給定顯著水平α，可用此表中F值檢驗(yàn)各因素和交互作用對試驗(yàn)結(jié)果影響是否顯著。在例2中，經(jīng)計(jì)算得以下方差分析表。來源離差自由度均方離差F值誤差總和74的離差平方和相對很少，這三項(xiàng)的作用很不顯著。為了提高檢驗(yàn)的效果，把并入并取的自由度為4項(xiàng)自由度之和，得下表。來源離差自由度均方離差值誤差總和給定α=5%，查表得=>產(chǎn)量水平、錫林速度、金屬針布與錫林速度的交互作用對棉結(jié)粒數(shù)有顯著影響。75Thankyou76例5.4.1為提高某化工產(chǎn)品的轉(zhuǎn)化率，選擇了三個(gè)有關(guān)的因素進(jìn)行條件試驗(yàn)，反應(yīng)溫度（A），反應(yīng)時(shí)間（B），用堿量（C），并確定了它們的試驗(yàn)范圍：A：80-90℃B：90-150MinC：5-7%試驗(yàn)?zāi)康氖歉闱宄蛩谹、B、C對轉(zhuǎn)化率的影響，哪些是主要因素，哪些是次要因素，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)條件，即溫度、時(shí)間及用堿量各為多少才能使轉(zhuǎn)化率提高。試制定試驗(yàn)方案7、正交試驗(yàn)的MINITAB實(shí)現(xiàn)77試驗(yàn)設(shè)計(jì)田口方法〔正交設(shè)計(jì)〕生成正交表78顯示可以用軟件生成的全部正交表79單一水平正交表3水平正交表混合水平正交表

80輸入81試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析82試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析83試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析平均值極差84試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析85試驗(yàn)結(jié)果的方差分析86試驗(yàn)結(jié)果的方差分析單擊87試驗(yàn)結(jié)果的方差分析均說明顯著性或因素主次為:A>C>B88典型范例—二硝基苯肼的工藝改革試驗(yàn)?zāi)康?二硝基苯肼是一種試劑產(chǎn)品。過去的工藝過程長,工作量大且產(chǎn)品經(jīng)常不合格。北京化工廠改革了工藝，采用2,4—二硝基氯化苯(以下簡稱氯化苯)與水合肼在乙醇作溶劑的條件下合成的新工藝。小的試驗(yàn)已初步成功,但收率只有45%，希望用正交試驗(yàn)法找出好的生產(chǎn)條件，到達(dá)提高生產(chǎn)效率的目的。試驗(yàn)指標(biāo):產(chǎn)率(%)與外觀顏色。89制定因素水平表選用正交表L8(27)90將本試驗(yàn)的6個(gè)因素及相應(yīng)水平按因素順序上列、水平對號(hào)入座原那么,排入L8(27)表中前6個(gè)直列。試驗(yàn)方案如下表914.直觀分析〔連同表格一塊輸入〕92可能好配合9394可能好配合只有因素B有一定影響，其他因素影響不顯著956、第二批撒小網(wǎng)在第一批試驗(yàn)的根底上,為弄清產(chǎn)生不同顏色的原因及進(jìn)一步如何提高產(chǎn)率,決定再撒個(gè)小網(wǎng)。做第二批正交試驗(yàn)。(1)

制定因素—水平表對最重要的因素B,應(yīng)詳加考察,從趨勢上看,隨水合肼用量的增加產(chǎn)率提高?，F(xiàn)決定在用量兩倍的周圍,再取1.7倍與2.3倍兩個(gè)新用量繼續(xù)試驗(yàn)——這即是有苗頭處著重加密原那么。96〔2〕利用正交表確定試驗(yàn)方案選用正交表L4(23)〔3〕

試驗(yàn)結(jié)果的分析投產(chǎn)效果是:平均產(chǎn)率超過80%,從未出現(xiàn)過紫色外形,質(zhì)量到達(dá)出口標(biāo)準(zhǔn)?？傊?這是一個(gè)最優(yōu)方案,到達(dá)了優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗的目的。97因素各水平聯(lián)合作用表NPP1＝0P2＝4N1＝0400450N2＝6430560這里交互作用起加強(qiáng)作用，大小為：〔560－400〕－〔430－400〕－〔450－400〕=80〔斤〕七、有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和方差分析1、交互作用的認(rèn)識(shí)有些因素間各水平的聯(lián)合搭配對指標(biāo)也產(chǎn)生影響，我們稱這種聯(lián)合作用為交互作用。例：考慮氮肥〔N〕和磷肥〔P〕對豆類增產(chǎn)的效果從表中可以看出，加4斤磷肥，畝產(chǎn)增加50斤；加6斤氮肥，畝產(chǎn)增加30斤；而同時(shí)加兩種肥料，畝產(chǎn)增加160斤，而不等于分別增加的50＋30＝80斤。這就是交互作用98施肥量與產(chǎn)量〔kg/畝〕〔a〕無交互作用(b)有正交互作用

〔c〕有負(fù)交互作用99例：設(shè)某一試驗(yàn)有兩個(gè)因素A和B，因素A有兩個(gè)水平A1，A2，因素B有兩個(gè)水平B1，B2.因素B因素AB1B2A12030A24052試驗(yàn)數(shù)據(jù)之一因素B因素AB1B2A12040A25012試驗(yàn)數(shù)據(jù)之二A的效果：B的效果：A的效果：B的效果：100如P278L8〔27〕的交互作用表列號(hào)12345671（1）3254762（2）167453（3）76544（4）1235（5）326（6）12、交互作用表〔完備正交表〕表示位于第二、第四列的兩因素的交互作用要放于第六列。注意：主效應(yīng)因素盡量不放交互列。如A、B因素已放1、2列，那么C因素就不放3列。列號(hào)1234567因素ABA*BCA*CB*C表頭設(shè)計(jì)101對于水平數(shù)相同的兩個(gè)因素，其交互作用在正交表中所占的列數(shù)為水平數(shù)減一。正交表的選用原那么要考察的因素及交互作用的自由度總和必須不大于所選用正交表的總自由度自由度的兩條規(guī)定：〔1〕正交表的總自由度f總＝試驗(yàn)次數(shù)－1；正交表每列的自由度f列＝此列水平數(shù)－1〔2〕因素A的自由度fA＝因素A的水平數(shù)－1；因素A、B間交互作用的自由度fAxB＝fA×fB102因素－水平表因素A反應(yīng)溫度℃B反應(yīng)時(shí)間小時(shí)C硫酸濃度x（％）D操作方法水平150117攪拌270227不攪拌考慮A×B、A×C自由度考慮：4因素及交互作用A×B、A×C，總自由度數(shù)＝4×1＋2×1＝6而L8(27)共有8－1＝7個(gè)自由度，可以安排表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CD列號(hào)1234567103因素－水平表因素A反應(yīng)溫度℃B反應(yīng)時(shí)間小時(shí)C硫酸濃度x（％）D操作方法水平150117攪拌270227不攪拌如果交互作用A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D都要考慮，如果我們?nèi)允褂肔8(27)來安排試驗(yàn)，那么表頭設(shè)計(jì)如下表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CA×DC×DB×DB×CD列號(hào)1234567表頭4因素及6個(gè)交互作用，自由度總和為4×1＋6×1＝10，只能選用更大正交表的L16(215)來做表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CB×CDA×DB×DC×D列號(hào)123456789101112131415104例5.4.2某紡織廠在梳棉機(jī)上紡粘錦混紡紗.為了降低棉結(jié)粒數(shù)，想通過試驗(yàn)確定有關(guān)的三個(gè)因素的一個(gè)較好方案.水平因素12金屬針布A日本青島產(chǎn)量水平B6kg10kg錫林速度C238轉(zhuǎn)/分238轉(zhuǎn)/分考察因素A、B、C、A*B、A*C、B*C選用正交表L8(27)列號(hào)1234567因素ABA*BCA*CB*C表頭設(shè)計(jì)3、有交互作用正交試驗(yàn)的安排105因素試驗(yàn)號(hào)ABA*BCA*CB*C棉結(jié)粒數(shù)123456712345678111122221122112211222211121212121212212112211221122121120.300.350.200.300.150.500.150.401064、利用MINITAB107108直觀分析1091、各因素的主次順序?yàn)?、最優(yōu)方案：3、C*A的交互作用因素A因素CA1A2C1C22、最優(yōu)方案：110方差分析法單擊注意:(1)這里A*B、B*C和C*A不能雙擊列出,只能輸入否那么不顯示其交互作用.(2)多個(gè)因素的方差分析中交互作用用〞*〞,不用〞|〞.111均說明顯著性或因素主次為:C>A*C>B>A=A*B=B*CF<1表示該因子的影響力比試驗(yàn)誤差更小，不必理會(huì)，〔嚴(yán)重?zé)o統(tǒng)計(jì)意義〕去掉這些因子，重新進(jìn)行方差分析。112單擊注意:(1)這里C*A不能雙擊列出,只能輸入否那么不顯示其交互作用.(2)必須列出A，否那么不能顯示交互作用C*A.113因素A因素CA1A2C1C2最優(yōu)方案：顯著性或因素主次為:C>A*C>B>A114八、多指標(biāo)問題 多個(gè)指標(biāo)之間又可能存在一定的矛盾，這時(shí)需要兼顧各個(gè)指標(biāo)，尋找使得每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的生產(chǎn)條件單指標(biāo)試驗(yàn)：衡量試驗(yàn)效果的指標(biāo)只有一個(gè)多指標(biāo)試驗(yàn)：衡量試驗(yàn)效果的指標(biāo)有多個(gè)115 在對各個(gè)指標(biāo)逐個(gè)測定后，按照由具體情況確定的原那么，對各個(gè)指標(biāo)綜合評(píng)分，將各個(gè)指標(biāo)綜合為單指標(biāo)。 此方法關(guān)鍵在于評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)要合理1、綜合評(píng)分法例1白地雷核酸生產(chǎn)工藝的試驗(yàn) 試驗(yàn)?zāi)康模涸瓉砩a(chǎn)中核酸的得率太低，本錢太高，甚至造成虧損。試驗(yàn)?zāi)康氖翘岣吆浚瑢ふ液玫墓に嚄l件。 本例介紹由北京大學(xué)生物系與生產(chǎn)廠聯(lián)合攻關(guān)中的第一批L9(34)正交試驗(yàn)的情況。因素水平白地雷核酸含量（％）腌制時(shí)間（小時(shí)）加熱時(shí)PH值1237.48.46.224404.86.09.0加水量1:41:31:2因素－水平表116列號(hào)試驗(yàn)號(hào)123456789A1B1C3D4L9(34)試驗(yàn)指標(biāo)1o2oo17.812.26.28.04.54.18.57.34.429.841.359.924.350.658.230.920.473.459.451.245.532.236.639.436.828.547.7綜合評(píng)分1o核酸泥純度（％）2oo純核酸回收率（％）試驗(yàn)方案及結(jié)果分析分?jǐn)?shù)＝2.5×純度＋0.5×回收率117118A D B C主 次從圖上和表上的極差都可以看出，因素的主次為：所以，A取A1，D取D1，PH值選取便于操作的水平C2，B取B3，故，最優(yōu)條件為：A1B3C2D1事實(shí)上，試驗(yàn)結(jié)果也證明，上述最優(yōu)條件效果很好。投產(chǎn)后核酸質(zhì)量得到顯著提高，做到了不經(jīng)提純一次可以入庫。1192、綜合平衡法〔1〕對各個(gè)指標(biāo)進(jìn)行分析，與單指標(biāo)的分析方法完全一樣，找出各個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)生產(chǎn)條件。〔2〕將各個(gè)指標(biāo)的最優(yōu)生產(chǎn)條件綜合平衡，找出兼顧每個(gè)指標(biāo)都盡可能好的條件。例2液體葡萄糖生產(chǎn)工藝最正確條件選取 試驗(yàn)?zāi)康模荷a(chǎn)中存在的主要問題是出率低，質(zhì)量不穩(wěn)定，經(jīng)過問題分析，認(rèn)為影響出率、質(zhì)量的關(guān)鍵在于調(diào)粉、糖化這兩個(gè)工段，決定將其它工段的條件固定，對調(diào)粉、糖化的工藝條件進(jìn)行探索?！?〕出率：越高越好〔2〕總復(fù)原糖：在32％－40％之間〔3〕明度：比濁度越小越好，不得大于300mg/l〔4〕色澤：比色度越小越好，不得大于20ml。120因素水平A粉漿濃度（oBe’）B粉漿酸度（PH）C穩(wěn)壓時(shí)間（分）1231618201.52.02.50510D工作壓力（kg/cm2）2.22.73.2因素－水平表121四個(gè)因素對四個(gè)指標(biāo)的主次關(guān)系為： 產(chǎn)量：D——C——A——B 復(fù)原糖：B——D——A——C 明度：A——B——C——D 色澤：B——A——C——D工作壓力對產(chǎn)量影響最大，取D3最好。但它的色澤不好，用2.7產(chǎn)量會(huì)低一些，但其余指標(biāo)都還比較好，因此確定為D2。 穩(wěn)壓時(shí)間對四個(gè)指標(biāo)來說，對產(chǎn)量影響最大，對復(fù)原糖沒有什么影響，對明度、色澤影響也不大，照顧產(chǎn)量應(yīng)選C2＝5分鐘。但此時(shí)色澤、明度都不好，考慮將時(shí)間延長一些，定為5～7分鐘。 最后得出最優(yōu)條件為：A2B2C2D2 事實(shí)上，結(jié)果證明采用后各項(xiàng)指標(biāo)都有明顯提高。122九、水平數(shù)不同的正交表的使用1、直接套用混和正交表例3為了探索某膠壓板的制造工藝，因素—水平如下表因素水平A壓力（公斤）B溫度（℃

）C時(shí)間（分

）123481011129590912此試驗(yàn)方案可以直接套用混和正交表L8(4×24)1231242、并列法 對于有混和水平的問題，除了直接應(yīng)用混和水平的正交表外，還可以將原來正交表加以適當(dāng)?shù)母脑欤玫叫碌幕旌退降恼槐怼?L8(4×24)表就是由L8(27)改造而來：列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112125列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345671234567811112222112211221122221112121212121221211221122112212112〔1〕首先從L8(27)中隨便選兩列，例如1、2列，將此兩列同橫行組成的8個(gè)數(shù)對，恰好4種不同搭配各出現(xiàn)兩次，我們把每種搭配用一個(gè)數(shù)字來表示：新列試驗(yàn)號(hào)1212345678111122221122112211223344〔2〕于是1、2列合起來形成一個(gè)具有4水平的新列，再將1、2列的交互作用列第3列從正交表中去除，因?yàn)樗巡荒茉侔才湃魏我蛩兀@樣就等于將1、2、3列合并成新的一個(gè)4水平列：列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234567123456781122334412121212121221211221122112212112L8(4×24)正交表126 顯然，新的表L8(4×24)仍然是一張正交表，不難驗(yàn)證，它仍然具有正交表均衡分散、整齊可比的性質(zhì)。〔1〕任一列中各水平出現(xiàn)的次數(shù)相同〔四水平列中，各水平出現(xiàn)二次，二水平列各水平出現(xiàn)四次〕?！?〕任意兩列中各橫行的有序數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相同〔對于兩個(gè)二水平列，顯然滿足；對一列四水平，一列二水平，它們各橫行的八種不同搭配(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)各出現(xiàn)一次。列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1234567123456781122334412121212121221211221122112212112L8(4×24)正交表127例4聚氨酯合成橡膠的試驗(yàn)中，要考察A、B、C、D對抗張強(qiáng)度的影響，其中因素A取4水平，因素B、C、D均取二水平，還需要考察交互作用A×B、A×C。 顯然這是一個(gè)41×23因素的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。 自由度計(jì)算如下： fA=4-1=3 fB=

fC=

fD=2-1=1 fA×B=

fA×C=(4-1)×(2-1)=3 f總=3+3×1+2×3=12 故可以選用L16(215)改造得到的L16 (41×

212)混和正交表安排試驗(yàn)表頭設(shè)計(jì)如下：表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CD列號(hào)1234567891011121314151283、擬水平法：擬水平法是將水平數(shù)少的因素納入水平數(shù)多的正交表中的一種設(shè)計(jì)方法。例5對例的轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)，如果除已考慮的溫度〔A〕、時(shí)間〔B〕、用堿量〔C〕外還要考慮攪拌速度〔D〕的影響，而電磁攪拌器只有快慢兩擋，即因素D只有兩個(gè)水平，這是一項(xiàng)四因素的混合水平試驗(yàn)，如果套用現(xiàn)成的正交表，那么以L18〔21×37〕為宜，但由于人為物力所限，18次試驗(yàn)太多了，能否用L9(34)來安排呢？這是可以的，解決的方法給攪拌速度湊足三個(gè)水平，這個(gè)湊足的水平叫擬水平。我們讓攪拌速度快的〔或慢的〕一檔多重復(fù)一次，湊成三個(gè)水平。

因素水平A溫度(℃)B時(shí)間(分)C用堿量(%)D攪拌速度12380859090120150567快慢快129130通過此例我們可看到擬水平法有如下特點(diǎn)：〔1〕每個(gè)水平的試驗(yàn)次數(shù)不一樣。轉(zhuǎn)化率的試驗(yàn)，D1的試驗(yàn)有6次，而D2的試驗(yàn)只有3次。通常把預(yù)計(jì)比較好的水平試驗(yàn)次數(shù)多一些，預(yù)計(jì)比較差的水平試驗(yàn)次數(shù)少一些?！?〕自由度小于所在正交表的自由度，因此D占了L9(34)的第四列，但它的自由度fD=1小于第四列的自由度fD=2.就是說，D雖然