寧夏回族自治區(qū)銀川一中2020-2021學年高一數(shù)學下學期期末考試試題含解析

PAGE寧夏回族自治區(qū)銀川一中2020-2021學年高一數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝，B＝45°，C＝75°，則b＝（）A． B． C． D．2．不等式＜0的解集為（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}3．在正項等比數(shù)列{an}中，a1和a19為方程x2﹣10x+16＝0的兩根，則a8?a12等于（）A．8 B．10 C．16 4．在△ABC中，角A，B，C所對各邊分別為a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc，則A＝（）A．135° B．120° C．60° D．45°5．設a，b，c∈R，且a＞b，則下列正確的是（）A．a(chǎn)c＞bc B． C．≥0 D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A．9 B．10 C．27 7．據(jù)有關文獻記載：我國古代一座9層塔掛了126盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多d（d為常數(shù)）盞，底層的燈數(shù)是頂層的13倍，則塔的頂層共有燈（）A．2盞 B．3盞 C．4盞 D．5盞8．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明、現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D．（a＞0，b＞0）9．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，則a+b的最小值是（）A．2 B． C． D．10．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計劃為（）A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝10，，則的最小值為（）A．2﹣1 B． C． D．12．在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，△ABC的面積S＝2，且滿足acosB＝b（1+cosA），則（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范圍是（）A．（8﹣8，8） B．（0，8） C．（，8） D．（，8）二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，則xy的最大值為．14．若變量x，y滿足約束條件，則z＝x+y的最大值是．15．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC＝m16．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得AC＝DB＝，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關數(shù)列{Sn}的四個命題：①數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列；③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn＞2018；④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn＜2018．其中真命題的序號是（請寫出所有真命題的序號）．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為，求p+q；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實數(shù)集R上恒成立，求m的取值范圍．18．在△ABC中，．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，____，求a．從①b＝7，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．19．已知等差數(shù)列{an}滿足a6＝6+a3，且a3﹣1是a2﹣1和a4的等比中項．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn＝（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn．20．某養(yǎng)殖基地養(yǎng)殖了一群牛，圍在四邊形的護欄ABCD內(nèi)（不考慮寬度），知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，現(xiàn)在計劃以AD為一邊種植一片三角形的草地△ADE，為這群牛提供糧草，∠E＝120（1）求AD間的護欄的長度，（2）求所種植草坪的最大面積．21．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且對角線MN過C點，已知AB＝4米，AD＝3米，設AN的長為x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應在什么范圍內(nèi)？（2）求當AM、AN的長度是多少時，矩形花壇AMPN的面積最小？并求出最小面積．22．數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an﹣n．（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求an；（2）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b3＝a2，b7＝a3，求數(shù)列{anbn}的前n項Tn．

參考答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝，B＝45°，C＝75°，則b＝（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得A，進而利用正弦定理求得b．解：由題意可知，A＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可知，所以b＝＝＝．故選：B．2．不等式＜0的解集為（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|x＜﹣2} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|x＞3}【分析】本題的方法是：要使不等式小于0即要分子與分母異號，得到一個一元二次不等式，討論x的值即可得到解集．解：∵，得到（x﹣3）（x+2）＜0即x﹣3＞0且x+2＜0解得：x＞3且x＜﹣2所以無解；或x﹣3＜0且x+2＞0，解得﹣2＜x＜3，所以不等式的解集為﹣2＜x＜3故選：A．3．在正項等比數(shù)列{an}中，a1和a19為方程x2﹣10x+16＝0的兩根，則a8?a12等于（）A．8 B．10 C．16 【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得a1a19＝16，從而根據(jù)a8a12＝a1解：由a1和a19為方程x2﹣10x+16＝0的兩根，得a1a19又{an}是等比數(shù)列，得a8a12＝a1a故選：C．4．在△ABC中，角A，B，C所對各邊分別為a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc，則A＝（）A．135° B．120° C．60° D．45°【分析】由已知可得b2+c2﹣a2＝bc，利用余弦定理可求cosA＝，結合A的范圍可求A的值．解：∵a2＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝＝＝，∵A∈（0°，180°），∴A＝45°．故選：D．5．設a，b，c∈R，且a＞b，則下列正確的是（）A．a(chǎn)c＞bc B． C．≥0 D．【分析】根據(jù)條件，取a＝1，b＝﹣1，c＝0，則可排除錯誤選項．解：由a，b，c∈R，且a＞b，取a＝1，b＝﹣1，c＝0，則可排除ABD．故選：C．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A．9 B．10 C．27 【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量s的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．解：由程序框圖可得，第1次循環(huán)，k＝0，s＝0，滿足循環(huán)條件，繼續(xù)循環(huán)，第2次循環(huán)，k＝1，s＝1，滿足循環(huán)條件，繼續(xù)循環(huán)，第3次循環(huán)，k＝2，s＝9，滿足循環(huán)條件，繼續(xù)循環(huán)，第4次循環(huán)，k＝3，不滿足循環(huán)條件，輸出s＝9，退出循環(huán)．故選：A．7．據(jù)有關文獻記載：我國古代一座9層塔掛了126盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多d（d為常數(shù)）盞，底層的燈數(shù)是頂層的13倍，則塔的頂層共有燈（）A．2盞 B．3盞 C．4盞 D．5盞【分析】由已知結合等差數(shù)列的求和公式及通項公式即可直接求解．解：設頂層有x盞燈，則最下面有（x+8d）盞，則x+8d＝13x，即＝x，由題意得x+（x+d）+（x+2d）+…+（x+8d）＝126，整理得9x+36d＝126，所以9×+36d＝126，解得d＝3，x＝2，所以頂層有2盞燈．故選：A．8．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明、現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為（）A． B．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D．（a＞0，b＞0）【分析】由圖形可知OF＝＝，OC＝＝，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結合CF≥OF即可得出．解：由圖形可知：OF＝＝，OC＝＝，在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF＝＝，∵CF≥OF，∴≥，（a，b＞0）．故選：D．9．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，則a+b的最小值是（）A．2 B． C． D．【分析】由a+4b＝4ab可得+＝1，所以a+b＝（+）（a+b）＝++，從而結合a＞0，b＞0即可利用基本不等式進行求解．解：由a+4b＝4ab，得+＝1，又a＞0，b＞0，所以a+b＝（+）（a+b）＝++≥+2＝，當且僅當＝，即a＝，b＝時等號成立，所以a+b的最小值為．故選：C．10．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產(chǎn)計劃為（）A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，根據(jù)題意列出不等式組，找出目標函數(shù)解：設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，則目標函數(shù)z＝280x+200y結合圖象可得：當x＝15，y＝55時z最大．故選：B．11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝10，，則的最小值為（）A．2﹣1 B． C． D．【分析】先由題設?an+1﹣an＝2n，然后利用疊加法求得an，進而求得，再利用單調(diào)性求得其最小值．解：∵a1＝10，，∴an+1﹣an＝2n，∴a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，a4﹣a3＝6，…an﹣an﹣1＝2n﹣2，n≥2，將以上式子相加，可得：an﹣a1＝2+4+6+…+2n﹣2＝，n≥2，即an＝n（n﹣1）+10，n≥2，又當n＝1時，有a1＝10也適合上式，∴an＝n（n﹣1）+10，∴＝n+﹣1，易知：當n≤3時，單調(diào)遞減；當n≥4時，單調(diào)遞增，又＝，＝，∴的最小值為．故選：C．12．在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，△ABC的面積S＝2，且滿足acosB＝b（1+cosA），則（c+a﹣b）（c+b﹣a）的取值范圍是（）A．（8﹣8，8） B．（0，8） C．（，8） D．（，8）【分析】由題意利用正弦定理求得sin（A﹣B）＝sinB，可得A＝2B＜，B∈（0，），再根據(jù)A+B＝3B∈（，），可得C的范圍，進而得到的范圍，把要求的式子利用余弦定理、二倍角公式化為8tan，從而求得它的范圍．解：∵在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，滿足acosB＝b（1+cosA），∴sinAcosB＝sinB+sinBcosA，sin（A﹣B）＝sinB，∴A﹣B＝B，即A＝2B＜，可得：B∈（0，），可得：A+B＝3B∈（，），故C∈（，），∴∈（，），∴tanC＝＞1，可得：1＞tan＞﹣1+．∵△ABC的面積S＝ab?sinC＝2，∴ab＝，則（c+a﹣b）（c+b﹣a）＝c2﹣（a﹣b）2＝c2﹣a2﹣b2+2ab＝﹣2ab?cosC+2ab＝2ab（1﹣cosC）＝（1﹣cosC）＝8＝8tan∈（8﹣8，8）．故選：A．二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，則xy的最大值為1．【分析】根據(jù)基本不等式可知，xy≤（）2，進而根據(jù)x+y的值求得xy的最大值．解：因為x＞0，y＞0，且x+y＝2，所以由基本不等式可得，xy≤（）2＝1，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故xy最大值為1．故答案為：1．14．若變量x，y滿足約束條件，則z＝x+y的最大值是5．【分析】分別求出三條直線對應的三個交點坐標，代入z＝x+y中，比較大小即可得到答案．解：聯(lián)立，解得，代入z＝x+y，可得z＝﹣1；聯(lián)立，解得，代入z＝x+y，可得z＝﹣5；聯(lián)立，解得，代入z＝x+y，可得z＝5，比較可知，z的最大值為5．故答案為：5．15．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC＝600m【分析】利用等腰直角三角形AMD求出|AM|，在三角形AMC中，求出∠MAC＝75°，∠AMC＝60°，然后利用正弦定理求出|AC|，再求解直角三角形得|BC|．解：如圖在Rt△AMD中，由|MD|＝400，∠DAM＝45°，得|AM|＝|MD|＝400，在△AMC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∴∠ACM＝180°﹣60°﹣75°＝45°．由正弦定理得，解得|AC|＝400．在Rt△ABC中，|BC|＝|AC|?sin60°＝400×＝600（m）．故山的高度|BC|＝600m故答案為：600．16．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學．分形的外表結構極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得AC＝DB＝，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段EF作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關數(shù)列{Sn}的四個命題：①數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列；③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn＞2018；④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn＜2018．其中真命題的序號是②④（請寫出所有真命題的序號）．【分析】通過分析圖1到圖4，猜想歸納出其遞推規(guī)律，再判斷該數(shù)列的性質(zhì)．解：由題意，得圖1中的線段為a，S1＝a，圖2中的正六邊形邊長為，S2＝S1+×4＝S1+2a；圖3中的最小正六邊形的邊長為，S3＝S2+×4＝S2+a圖4中的最小正六邊形的邊長為，S4＝S3+×4＝S3+由此類推，Sn﹣Sn﹣1＝，∴{Sn}為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，即①錯誤，②正確，因為Sn＝S1+（S2﹣S1）+（S3﹣S2）+…+（Sn﹣Sn﹣1）＝a+2a+a++…+＝a+＝a+4a（1﹣）＜5a即存在最大的正數(shù)a＝使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn＜2018即④正確，③錯誤，故填②④三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為，求p+q；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實數(shù)集R上恒成立，求m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式x2+px+q＜0的解集得出對應方程的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系求出p、q的值；（2）根據(jù)不等式在實數(shù)集R上恒成立知△＜0，由此列不等式求出m的取值范圍．解：（1）因為一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為，所以﹣和是方程x2+px+q＝0的實數(shù)根，由，解得p＝﹣，q＝﹣，所以p+q＝﹣；（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實數(shù)集R上恒成立，所以△＝（﹣m）2﹣4（m+7）＜0，即m2﹣4m﹣解得2﹣4＜m＜2+4，所以m的取值范圍是（2﹣4，2+4）．18．在△ABC中，．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若c＝5，____，求a．從①b＝7，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA＝asinB，與bsinA＝acos（B﹣）．由此能求出B．（Ⅱ）若選①b＝7，由余弦定理可得a2﹣5a﹣24＝0，即可解得a的值；若選②，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA的值，由正弦定理即可解得a的值．解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，又bsinA＝acos（B﹣）．∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+sinB，∴tanB＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）若選①b＝7，則在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得a2﹣5a﹣24＝0，解得a＝8，或a＝﹣3（舍去），可得a若選②，則sinA＝sin（B+C）＝sincos+cossin＝，由正弦定理，可得＝，解得a＝．19．已知等差數(shù)列{an}滿足a6＝6+a3，且a3﹣1是a2﹣1和a4的等比中項．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn＝（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn．【分析】（1）先根據(jù)題意設等差數(shù)列{an}的公差為d，再根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的定義計算出d＝2，進一步根據(jù)等比中項的性質(zhì)列出關于首項a1的方程，解出a1的值，即可計算出數(shù)列{an}的通項公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前n項和Tn．解：（1）由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d，則a6﹣a3＝3d＝6，即d＝2，故a3﹣1＝a1+2d﹣1＝a1+3，a2﹣1＝a1+d﹣1＝a1+1，a4＝a1+3d＝a1+6，∵a3﹣1是a2﹣1和a4的等比中項，∴（a3﹣1）2＝（a2﹣1）?a4，即（a1+3）2＝（a1+1）（a1+6），解得a1＝3，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*．（2）由（1），可得bn＝＝＝?（﹣），則Tn＝b1+b2+???+bn＝?（﹣）+?（﹣）+???+?（﹣）＝?（﹣+﹣+???+﹣）＝?（﹣）＝．20．某養(yǎng)殖基地養(yǎng)殖了一群牛，圍在四邊形的護欄ABCD內(nèi)（不考慮寬度），知∠B＝∠C＝120°，AB＝BC＝3km，CD＝6km，現(xiàn)在計劃以AD為一邊種植一片三角形的草地△ADE，為這群牛提供糧草，∠E＝120（1）求AD間的護欄的長度，（2）求所種植草坪的最大面積．【分析】（1）可連接AC，在△ABC中，根據(jù)余弦定理即可求出AC2＝27，然后可得出∠ACD＝90°，從而根據(jù)勾股定理可求出；（2）在△ADE中，根據(jù)余弦定理和不等式可得出63≥3AE?DE，從而得出AE?DE≤21，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ADE面積的最大值．解：（1）如圖，連接AC，在△ABC中，∠B＝120°，AB＝BC＝3km∴根據(jù)余弦定理得，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos120°＝，∵∠B＝∠C＝120°，AB＝BC，∴∠BCA＝30°，∠ACD＝90°，且CD＝6km∴（km）；（2）在△ADE中，，∠E＝120°，∴根據(jù)余弦定理，63＝AE2+DE2+AE?DE≥3AE?DE，當且僅當AE＝DE＝時取等號，∴AE?DE≤21，∴，∴所種植草坪的最大面積為km2．21．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且對角線MN過C點，已知AB＝4米，AD＝3米，設AN的長為x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的