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文檔簡介
勾股定理的逆定理
三、引入一般地說,在平面幾何中,經(jīng)常是利用直線間的位置關(guān)系,角的數(shù)量關(guān)系而判定直角的;而勾股定理的逆定理則是通過邊的計算判定直角的.三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2,則這個三角形是直角三角形;如果a2+b2≠c2,則這個三角形不是直角三角形.例1試判斷:三邊長分別為2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否直角三角形.四、新課【分析】先找到最大邊,再驗證三邊是否符合勾股定理的逆定理.【解】∵2n2+2n+1>2n2+2n,
2n2+2n+1>2n+1,∴2n2+2n+1為三角形中的最大邊.又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,
(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,∴(2n2+2n+1)2=(2n+1)2+(2n2+2n)2.
根據(jù)勾股定理的逆定理可知,此三角形為直角三角形.例2已知△ABC中,AC=2,BC=2,
AB=4,求AB上的高CD的長.【分析】如果我們不能發(fā)現(xiàn)三邊間的數(shù)量關(guān)系,求解就是十分困難的事.但是如果發(fā)現(xiàn)三邊的關(guān)系,應(yīng)用勾股定理的逆定理問題就迎刃而解了。四、新課例2已知△ABC中,AC=2,BC=2,
AB=4,求AB上的高CD的長.四、新課【解】由于所以△ABC是以∠C為直角的三角形.于是AB·CD=BC·AC,例3已知:如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=4,BC=3,
AD=13,CD=12.求:四邊形ABCD的面積.
【分析】所給四邊形是不規(guī)則圖形,無面積公式,需轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形計算.又知∠ABC=90°,且四條邊長已知,不妨連結(jié)AC,構(gòu)成兩個三角形,分別求面積.四、新課
3
4
12
13
A
B
C
D
例3已知:如圖,四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=4,BC=3,
AD=13,CD=12.求:四邊形ABCD的面積.
四、新課
3
412
13
A
B
C
D
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=36.【解】連結(jié)AC.在△ABC中,∠B=90°,
AB=4,BC=3,∴AC=
=5.
在△ACD中,AC=5,CD=12,AD=13∵AC2+CD2=25+144=169,
AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形.∴S△ABC=AB·BC=×3×4=6,
S△ACD=AC·CD=×5×12=30.四、新課例4已知:如圖,正方形ABCD中,F(xiàn)為DC
中點,E為BC上一點,且EC=BC.
求證:∠EFA=90°.FDCEAB【證明】設(shè)正方形ABCD的邊長為4a,
則EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.在Rt△ABE中,由勾股定理得AE
2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a2.在Rt△ADF中,由勾股定理得AF
2=AD2+DF2=(4a)2+(2a)2=20a2.在Rt△ECF中,由勾股定理得
EF
2=EC2+CF2=a2+(2a)2=5a2.∴AF2+EF2=AE
2.∴由勾股定理的逆定理可知,∠EFA=90°.(一)選擇題:
練習(xí)
1.在已知下列三組長度的線段中,不能構(gòu)成直角三角形的是()(A)5、12、13(B)2、3、
(C)4、7、5
(D)1、、C(一)選擇題:
練習(xí)
2.下列命題中,假命題是()(A)三個角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形(B)三個角的度數(shù)之比為1::2的三角形是直角三角形(C)三邊長度之比為1::2的三角形是直角三角形(D)三邊長度之比為::2的三角形是直角三角形B(二)解答題:
1.已知:a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m、n為正整數(shù),m>n).
試判定由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形.不是練習(xí)
(二)解答題:
練習(xí)
2.五邊形ABCDE的各邊的長都是12,∠A=∠E=90°,M為五邊形內(nèi)一點,且MA=13,MB=5,
求ME、MC、MD的長.MD=7
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