直線的方向向量和平面的法向量

關于直線的方向向量和平面的法向量第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日研究

從今天開始,我們將進一步來體會向量這一工具在立體幾何中的應用.第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日為了用向量來研究空間的線面位置關系，首先我們要用向量來表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？一、直線的方向向量AB直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量。第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日由于垂直于同一平面的直線是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。二、平面的法向量平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.Al

給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日由兩個三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取z=1較合理。其實平面的法向量不是惟一的。第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日平面的法向量不惟一，合理取值即可。第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日例3.在空間直角坐標系內(nèi)，設平面經(jīng)過點，平面的法向量為，為平面內(nèi)任意一點，求滿足的關系式。解：由題意可得

第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日

因為方向向量與法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們應該可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角等位置關系.

那么如何用直線的方向向量表示空間兩直線平行、垂直的位置關系以及它們之間的夾角呢？如何用平面的法向量表示空間兩平面平行、垂直的位置關系以及它們二面角的大小呢？第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日三、平行關系：第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日例4如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點分別在對角線上，且求證：ABCDEFxyzMN簡證：因為矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以為正交基底，建立如圖所示空間坐標系，設AB,AD,AF長分別為3a，3b，3c，則可得各點坐標，從而有又平面CDE的一個法向量是因為MN不在平面CDE內(nèi)所以MN//平面CDE第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日四、垂直關系：第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點，求證：D1F例5.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設正方體棱長為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標系D-xyz，則可得：所以第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日鞏固性訓練11.設分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關系.平行垂直平行第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日鞏固性訓練21.設分別是平面α,β的法向量,根據(jù)下列條件,判斷α,β的位置關系.垂直平行相交第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日1、設平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若則k=

。2、已知，且的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m=

.3、若的方向向量為(2,1,m),平面的法向量為(1,1/2,2),且，則m=

.鞏固性訓練3第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日1．如圖，正方體中，

E為的中點，證明：//平面AEC練習:用空間向量來解決下列題目2、在正方體AC中，E、F、G、P、

Q、R分別是所在棱AB、BC、BB

AD

、DC

、DD的中點，求證：⑴平面PQR∥平面EFG。

⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日l1l2第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日l1第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日第