碩士生現(xiàn)代信號(hào)處理-經(jīng)典譜分析 已讀

碩士生現(xiàn)代信號(hào)處理-經(jīng)典譜分析已讀第六章經(jīng)典譜分析第六章經(jīng)典譜分析6.2周期圖法6.3平滑的周期圖法6.1預(yù)備知識(shí)6.4小結(jié)6.1預(yù)備知識(shí)1.確定信號(hào)的能量譜密度設(shè)x(n)為能量有限確定離散信號(hào)，即 那么對(duì)x(n)可做付氏變換：

由Parseval定理，有：6.1預(yù)備知識(shí)

表示信號(hào)分布在頻率區(qū)間 上的能量，稱為x(n)的能量譜密度(EnergyDensitySpectrum)。2.隨機(jī)信號(hào)的功率譜i)隨機(jī)過程的功率譜密度(PowerDensitySpectrum)

定義6.1預(yù)備知識(shí)那么由Parseval定理，有：6.1預(yù)備知識(shí)信號(hào)的平均功率：定義功率譜密度：對(duì)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，有6.1預(yù)備知識(shí)可以證明，對(duì)于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù) 與功率譜密度為一對(duì)付氏變換，即6.1預(yù)備知識(shí)ii)離散時(shí)間隨機(jī)過程的功率譜密度 設(shè)x(n)為零均值廣義平穩(wěn)離散時(shí)間過程，其自相關(guān)函數(shù)為： 那么x(n)的功率譜密度為的SFT,即x(n)的平均功率為6.1預(yù)備知識(shí)3.譜估計(jì)(分析)的定義利用給定的有限個(gè)樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度(PowerDensitySpectrum)的過程稱為譜分析或譜估計(jì)。6.1預(yù)備知識(shí)4.隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算方法1i)估計(jì)式： 設(shè)觀察到N個(gè)零均值樣本序列x(n)的值：

假設(shè)當(dāng)n<p及n>p+N-1時(shí)，x(n)=0。令6.1預(yù)備知識(shí)那么：6.1預(yù)備知識(shí)ii)估計(jì)性能當(dāng)時(shí)，上式為一致估計(jì)，即當(dāng)N一定，時(shí)，較大。自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的一致性證明

估計(jì)偏差:自相關(guān)函數(shù)估計(jì)的一致性證明

估計(jì)方差:6.1預(yù)備知識(shí)5.隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算方法2i)估計(jì)式：6.1預(yù)備知識(shí)ii)估計(jì)性能當(dāng)時(shí)，,是一致估計(jì)。6.2周期圖法1.定義設(shè)x(n)為零均值平穩(wěn)隨機(jī)序列。定義N點(diǎn)序列 及其付氏變換 采用下式計(jì)算x(n)的功率譜密度6.2周期圖法自相關(guān)的估計(jì)方法2：6.2周期圖法用得到的功率譜估計(jì)稱為周期圖(Periodogram)，記作，即6.2周期圖法周期圖求出的功率譜與基于自相關(guān)估計(jì)方法二計(jì)算的功率譜等價(jià)。假設(shè)觀察到x(n)的N個(gè)值x(p),x(p+1),…x(p+N+1)，可通過SFT直接求得，然后求得，而不必先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，計(jì)算方便。6.2周期圖法2.周期圖譜估計(jì)的性能i)周期圖的均值 設(shè)A(n)為長度為N的矩形序列，即：那么6.2周期圖法

其中是一個(gè)三角函數(shù)，又稱Bartlett窗函數(shù)：于是有：周期圖的均值是真實(shí)頻譜與三角窗頻譜的卷積。6.2周期圖法6.2周期圖法周期圖是功率譜的有偏估計(jì)，即由于

即周期圖在時(shí)是的無偏估計(jì)。6.2周期圖法ii)周期圖的方差 設(shè)序列是一個(gè)零均值、方差為的白色高斯過程的樣本，那么6.2周期圖法

，即周期圖非一致估計(jì)。對(duì)于非白高斯樣本，有6.2周期圖法iii)周期圖的協(xié)方差假設(shè)，那么6.2周期圖法以的整數(shù)倍為頻率間隔的周期圖的值是不相關(guān)的。當(dāng)N增大時(shí)，協(xié)方差為零的功率譜樣本之間的間距減小，因此周期圖的起伏增快。6.2周期圖法周期圖的起伏現(xiàn)象實(shí)例N=16N=32N=646.2周期圖法3.周期圖譜估計(jì)的特點(diǎn)頻譜泄漏現(xiàn)象：當(dāng)真實(shí)頻譜為譜線時(shí)，周期圖估計(jì)出的頻譜不再是譜線。原因：是與窗函數(shù)頻譜的卷積。本質(zhì)原因是觀察數(shù)據(jù)為有限長。觀察數(shù)據(jù)越短，頻譜泄漏越嚴(yán)重。6.2周期圖法頻率分辨率頻率分辨率：區(qū)分兩個(gè)相鄰頻率分量的能力。頻率分辨率與觀察長度成反比。周期圖的頻率分辨率為1/N。三角窗函數(shù)的頻譜：6.2周期圖法例如：信號(hào)的真實(shí)頻譜周期圖估計(jì)頻譜6.3平滑的周期圖法1.巴特利特平均周期圖法i)引出：設(shè)序列是不相關(guān)的隨機(jī)變量，每一個(gè)具有期望值，方差。 定義，那么

屢次測(cè)量平均可以減小測(cè)量方差。6.3平滑的周期圖法ii)方法描述：數(shù)據(jù)分段；計(jì)算各段的周期圖；平均各段的周期圖。將序列分成L段，每段M(N=LM)個(gè)樣本，那么第i段樣本序列為：的周期圖為6.3平滑的周期圖法 假設(shè)很小，那么可假定各段周期圖是不相關(guān)的。將各段周期圖的平均作為對(duì)功率譜的估計(jì)，即：6.3平滑的周期圖法iii)估計(jì)性能偏差：

Bartlett估計(jì)是有偏估計(jì)，但。6.3平滑的周期圖法估計(jì)方差

iv)結(jié)論：Bartlett估計(jì)從減少方差的角度對(duì)周期圖法進(jìn)行了改進(jìn)，得到了頻譜的一致估計(jì)。6.3平滑的周期圖法2.窗化法i)思路: 用適宜的窗函數(shù)譜對(duì)周期圖平滑，即：ii)窗函數(shù)的選擇 6.3平滑的周期圖法iii)估計(jì)性能

其中為Bartlett窗。6.3平滑的周期圖法 假設(shè)，于是：iv)結(jié)論：窗化法使頻譜估計(jì)結(jié)果起伏變小，但分辨率變差。6.3平滑的周期圖法3.Welch法思想:綜合分段平均法和窗化法修正1：選擇窗函數(shù)直接對(duì)信號(hào)窗化U為歸一化因子：修正2：分段時(shí)各段之間有重疊。6.3平滑的周期圖法4.譜估計(jì)例如信號(hào)真實(shí)頻譜6.3平滑的周期圖法周期圖估計(jì)的頻譜(N=64)6.3平滑的周期圖法周期圖平均估計(jì)的頻譜(M=64，L=50)6.3平滑的周期圖法周期圖估計(jì)的頻譜(N=128)6.3平滑的周期圖法周期圖平均估計(jì)的頻譜(M=128，L=50)6.3平滑的周期圖法(續(xù)15)平滑的周期圖法總結(jié)估計(jì)的期望值:真值與窗函數(shù)頻譜卷積。分辨率變差：窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度增