導數(shù)的綜合應(yīng)用

教育名言

教人者，成人之長，去人之短也。唯盡知己之所短而后能去人之短，唯不恃己之所長而后能收人之長。——魏源

東方學校數(shù)學組導數(shù)的綜合應(yīng)用導數(shù)的綜合應(yīng)用

導數(shù)的綜合應(yīng)用

東方學校數(shù)學組導數(shù)的綜合應(yīng)用教學目標1、會利用導數(shù)工具研究曲線切線問題以及函數(shù)基本性質(zhì)；2、會利用導數(shù)工具將不等式證明問題及恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值問題，體會轉(zhuǎn)化的思想。導數(shù)的綜合應(yīng)用重點難點教學重點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；教學難點：將求參數(shù)取值范圍、確定函數(shù)零點的個數(shù)、證明不等式問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題。導數(shù)的綜合應(yīng)用

學情分析

該內(nèi)容的授課班級是我校的理科重點班，學生已經(jīng)對函數(shù)導數(shù)及不等式的基礎(chǔ)知識有了一定的了解，具備了對概念和性質(zhì)直接應(yīng)用能力，但缺乏對知識交匯點的掌控能力和綜合應(yīng)用能力。

導數(shù)的綜合應(yīng)用教學方法

用“問題---發(fā)現(xiàn)”教學思想（即從問題入手，以已知條件為依托發(fā)現(xiàn)解題思路和方法的過程）努力實現(xiàn)“知識結(jié)構(gòu)”與“認知結(jié)構(gòu)”的相互促進。

導數(shù)的綜合應(yīng)用教學過程一、知識聯(lián)系

導數(shù)的綜合應(yīng)用

二、正例“同化”

本節(jié)課共選四道例題，從四個方面探討了導數(shù)在函數(shù)與不等式中的應(yīng)用。導數(shù)的綜合應(yīng)用1、利用導數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問題例1：設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當時有極小值；(1)求的值；(2)當x∈[－1,1]時，問:圖象上是否存在兩點使過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．導數(shù)的綜合應(yīng)用分析：列出所有條件，弄清要解決的問題進行知識聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)有用知識點；條件①②圖象關(guān)于原點對稱；③在x＝1處有極小值④f(x)有極小值。問題⑴求a、b、c、d的值問題⑵當x∈[－1,1]時，問:圖象上是否存在兩點使過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論．（2）假設(shè)存在兩點，過此兩點的切線互相垂直．由得∴∵∴∴，這與矛盾．∴不存在這樣的兩點使結(jié)論成立．導數(shù)的綜合應(yīng)用

2、利用導數(shù)研究方程解的個數(shù)或函數(shù)圖象交點的個數(shù)例2：已知是函數(shù)的一個極值點.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當方程有3個解時，求的取值范圍.導數(shù)的綜合應(yīng)用分析：條件①（注意定義域）②是一個極值點.

問題⑴⑵的解答加深對極值點的意義的理解；此題的難點是第⑶問，討論圖象的交點或函數(shù)的零點，關(guān)鍵根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析解決．

導數(shù)的綜合應(yīng)用3、利用導數(shù)證明不等式問題例3：已知函數(shù)(1)求函數(shù)在上的最大值和最小值；(2)求證：當x∈(1，＋∞)時，函數(shù)的圖象在的圖像的下方。導數(shù)的綜合應(yīng)用分析：條件①函數(shù)②隱含條件問題(1)求函數(shù)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)求證：當∈(1，＋∞)時，函數(shù)的圖象在的圖像的下方．要證明的圖象在圖象的下方，這等價于證明，即可證明的最大值小于0，從而轉(zhuǎn)化成用導數(shù)求最值問題．可見等價轉(zhuǎn)化是本題思維的核心．導數(shù)的綜合應(yīng)用4、利用導數(shù)處理不等式恒成立問題例4：已知函數(shù)(1)若試判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若在(1，＋∞)上恒成立，求的取值范圍．

導數(shù)的綜合應(yīng)用分析：條件①②隱含條件問題（1）求導數(shù)→判斷或→確定單調(diào)性．(2)→→求的最大值．導數(shù)的綜合應(yīng)用三、反例“順應(yīng)”不善于轉(zhuǎn)化：如例2（3）不善于將方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點的個數(shù)；例3（2）、例4（2）不善于將幾何語言、恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題來研究;在不等式的證明和恒成立的不等式證明中，常常將恒成立轉(zhuǎn)化為這是錯誤的，因為只是恒成立的充分條件，并非充要條件

導數(shù)的綜合應(yīng)用四、歸納提升方法與技巧1．極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系．區(qū)別：極值是局部概念，只對某個領(lǐng)域有效，最值是全局概念，對整個定義域都有效．聯(lián)系：最值一般是極值點、不可導點和端點函數(shù)值(可取到的話)中的最大值或最小值．最值不一定是極值，極值也不一定是最值．2．利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題是將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．要掌握將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定、求作函數(shù)的圖象等問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題的處理．導數(shù)的綜合應(yīng)用失誤與防范1．注意極大值未必大于極小值，極值僅僅體現(xiàn)在處附近函數(shù)值的變化情況．2．要充分理解列表在研究函數(shù)極值過程中的重要性