《曲線與方程》試卷 省賽一等獎(jiǎng)

《曲線與方程》試卷(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是()\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,45)＝1\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)＝12．平面內(nèi)有定點(diǎn)A、B及動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)命題甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命題乙是“點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓”，那么甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．設(shè)a≠0，a∈R，則拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2a)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))4．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)5．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線x＋2y＝2上，則此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(±eq\r(3)，0)B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(5)，0)D．(0，±eq\r(5))6．設(shè)橢圓eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,m2－1)＝1(m>1)上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)的距離為3，到右焦點(diǎn)的距離為1，則橢圓的離心率為()\f(\r(2),2)\f(1,2)\f(\r(2)－1,2)\f(3,4)7．已知雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，點(diǎn)A，B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|＝m，F(xiàn)1為另一焦點(diǎn)，則△ABF1的周長(zhǎng)為()A．2a＋2mB．4C．a(chǎn)＋mD．2a＋8．已知拋物線y2＝4x上的點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1，到直線3x－4y＋9＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()\f(12,5)\f(6,5)C．2\f(\r(5),5)9．設(shè)點(diǎn)A為拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，點(diǎn)B(1,0)，且|AB|＝1，則A的橫坐標(biāo)的值為()A．－2B．0C．－2或0D．－2或210．從拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△PFM的面積為()A．5eq\r(6)B．6eq\r(5)C．10eq\r(2)D．5eq\r(2)11．若直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k等于()A．2或－1B．－1C．2D．1±eq\r(5)12．設(shè)F1、F2分別是雙曲線eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且·＝0，則|＋|等于()A．3B．6C．1題號(hào)123456789101112答案二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．以等腰直角△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)另一頂點(diǎn)的橢圓的離心率為_(kāi)___________．14．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若＝3，則k＝________.15．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)點(diǎn)M(p,0)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則·＝________.16．已知過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝2，則|BF|＝________.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)求與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有公共焦點(diǎn)，并且離心率為eq\f(\r(5),2)的雙曲線方程．18．(12分)已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．19.(12分)已知兩個(gè)定點(diǎn)A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的點(diǎn)M的軌跡方程．20．(12分)已知點(diǎn)A(0，－2)，B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·＝y(tǒng)2－8.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)(1)中所求軌跡與直線y＝x＋2交于C、D兩點(diǎn)．求證：OC⊥OD(O為原點(diǎn))．21.(12分)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過(guò)點(diǎn)A(1，－2)．(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程．(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．22．(12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y＝eq\f(1,4)x2的焦點(diǎn)，離心率為eq\f(2\r(5),5).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M，若＝m，＝n，求m＋n的值．曲線與方程1．A[2a＝18，∵∴2c＝eq\f(1,3)×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝a2－c2＝72，故橢圓的方程為eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1.]2．B[點(diǎn)P在線段AB上時(shí)|PA|＋|PB|是定值，但點(diǎn)P軌跡不是橢圓，反之成立，故選B.]3．D4．D[P在以MN為直徑的圓上．]5．A6．B[2a＝3＋1＝4.∴a又∵c＝eq\r(m2－m2－1)＝1，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).]7．B[∵A，B在雙曲線的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4∴△ABF1的周長(zhǎng)為4a＋m＋m＝4a＋8．A[如圖所示過(guò)點(diǎn)F作FM垂直于直線3x－4y＋9＝0，當(dāng)P點(diǎn)為直線FM與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，d1＋d2最小值為eq\f(|3＋9|,5)＝eq\f(12,5).]9．B[由題意B為拋物線的焦點(diǎn)．令A(yù)的橫坐標(biāo)為x0，則|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]10．A11．C[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y2＝8x))消去y得，k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0，解得k>－1，由x1＋x2＝eq\f(4k＋2,k2)＝4，解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]12．B[因?yàn)閑q\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，則|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|F1F2|2＝4c2＝36，故|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝36，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝6.故選B.]\f(\r(2),2)或eq\r(2)－1解析設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，當(dāng)以兩銳角頂點(diǎn)為焦點(diǎn)時(shí)，因?yàn)槿切螢榈妊苯侨切?，故有b＝c，此時(shí)可求得離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(c,\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2)；同理，當(dāng)以一直角頂點(diǎn)和一銳角頂點(diǎn)為焦點(diǎn)時(shí)，設(shè)直角邊長(zhǎng)為m，故有2c＝m,2a＝(1＋eq\r(2))m，所以，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(m,1＋\r(2)m)＝eq\r(2)－1.\r(3)解析設(shè)直線l為拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)A，B分別作AA1，BB1垂直于l，A1，B1為垂足，過(guò)B作BE垂直于AA1與E，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，由eq\o(AF,\s\up6(→))＝3，∴cos∠BAE＝eq\f(|AE|,|AB|)＝eq\f(1,2)，∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝eq\r(3).即k＝eq\r(3).15．－p216．2解析設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別是x1，x2，則依題意有焦點(diǎn)F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直線AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.17．解由橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a1＝3，短半軸長(zhǎng)b1＝2，焦距的一半c1＝eq\r(a\o\al(2,1)－b\o\al(2,1))＝eq\r(5)，∴焦點(diǎn)是F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，因此雙曲線的焦點(diǎn)也是F1(－eq\r(5)，0)，F(xiàn)2(eq\r(5)，0)，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題設(shè)條件及雙曲線的性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝\r(5),c2＝a2＋b2,\f(c,a)＝\f(\r(5),2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝1))，故所求雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.18．解設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)．由橢圓的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F(eq\r(3)，0)．直線l的方程為y＝x－eq\r(3).①將①代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，化簡(jiǎn)整理得5x2－8eq\r(3)x＋8＝0，∴x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1x2＝eq\f(8,5)，∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋1)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),5)))2－4×\f(8,5))＝eq\f(8,5).19．解設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)．設(shè)∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，∴tanα＝tan2β，則tanα＝eq\f(2tanβ,1－tan2β).①(1)如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，tanβ＝eq\f(y,x＋1)，tanα＝eq\f(y,2－x)，將其代入①式并整理得3x2－y2＝3(x>0，y>0)；(2)如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，tanβ＝eq\f(－y,x＋1)，tanα＝eq\f(－y,2－x)，將其代入①式并整理得3x2－y2＝3(x>0，y<0)；(3)當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，若滿足α＝2β，M點(diǎn)只能在線段AB上運(yùn)動(dòng)(端點(diǎn)A、B除外)，只能有α＝β＝0.綜上所述，可知點(diǎn)M的軌跡方程為3x2－y2＝3(右支)或y＝0(－1<x<2)．20．(1)解∵A(0，－2)，B(0,4)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x,4－y)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝x2＋y2－2y－8.∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，∴x2＝2y.(2)證明將y＝x＋2代入x2＝2y，得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0，設(shè)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則有x1＋x2＝2，x1x2＝－4.而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4，∴kOC·kOD＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－1，∴OC⊥OD.21．解(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋t，,y2＝4x))得y2＋2y－2t＝0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直線OA到l的距離d＝eq\f(\r(5),5)可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))，解得t＝±1.因?yàn)椋??[－eq\f(1,2)，＋∞)，1∈[－eq\f(1,2)，＋∞)，所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0.22．解(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,